幅相频率特性

1、5. 2 幅相频率特性(Nyquist图)开环系统的幅相特性曲线是系统频域分析的依据，掌握典型环节的幅相特性是绘制开环系统幅相特性曲线的基础。在典型环节或开环系统的传递函数中，令s二j即得到相应的频率特性。令-由小到大取值，计算相应的幅值A ( )和相角：(),在G平面描点画图，就可以得到典型环节或 开环系统的幅相特性曲线。5. 2.1典型环节的幅相特性曲线图5-8 比例环节的幅相频率特性1.比例环节比例环节的传递函数为G (s) =K(5-22)其频率特性为G ( r) =K jO = KeA(尸 G(j )二K()G(j )二0(5-23)比例环节的幅相特性是G平面实轴上的一个点，如图5-

2、8所示。表明比例环节稳态正弦响应的振幅是输入信号的K倍，且响应与输入同相位2微分环节微分环节的传递函数为G(s)二 s(5-24)G( j J =0 j-A( )二 1 (0 二90其频率特性为(5-25)微分环节的幅值与成正比,相角恒为90。当二0 时，幅相特性从G平面的原点起始，一直沿虚轴趋于节处，如图5-9曲线所示3 积分环节积分环节的传递函数为G(s)二 1S(5-26)其频率特性为1 J90 =G (j )二0 co PR1 )AC)二-co Ja. ROi图5-9微、积分环节幅相特性曲线(5-27)积分环节的幅值与成反比，相角恒为-90。当：时，幅相特性从虚轴-“处出 发，沿负虚轴

3、逐渐趋于坐标原点，如图4惯性环5-9曲线所示。节惯性环节的传递函数为G(S)(5-28)其频率特性为G( jearcta nT.1 T2 B2(5-29) 申(国)=-arct anT 当，二0时，幅值A()二1,相角VHO ；当可以 乂时，A( ) = 0, ; ( )-90o证明，惯性环节幅相特性曲线疋 曰一个以(1/2, j0)为圆心、1/2为半径的半圆。如图5-10所示。证明如下：1G(j)一尹，二 U 二 X jY c T? 2其中X鼻1 T(5-30)YT 厂一 TX(5-31)1j2 2由式(5-31)可得V(5-32)将式(5-32)代入式(5-30)整理后nJ得X2(5-33

4、)M j0()图 5T0 Mat lab 程 序g=tf (1, 1 1);nyquist (g); axis ( square);图5-10惯性环节的极点分布和幅相特性曲线式(5-33)表明：惯性环节的幅相频率特性符合圆的方程，圆心在实轴上 1/2 处，半径为1/2。从式(5-31)还可看出，X为正值时，Y只能取负值，这意味着曲线限 于实轴的下方，只是半个圆。例5-1已知某环节的幅相特性曲线如图5-11所示，当输入频率二1的正弦信号时，该环节稳态响应的相位迟后30,试确定环节的传递函数解根据幅相特性曲线的形状，可以断定该环节传递函数形式为KG(j依题意有因此得所以A(0)二 G(j0)二 K

5、 二 10：(1) - _arctanT - 30K 二 10, T 二 3 3G(s)二10V3 s 1 3惯性环节是一种低通滤波器，低频信号容易通过，而高频信号通过后幅值衰 减 较大。对于不稳定的惯性环节，其传递函数为1G(i)Ts1其频率特性为(5-34)1A)G( j )1T+jT 怕茁二一180+ arctariPq当=0时，幅值A(J =1,相角r ()=180 ;当川二二时，A(.) =0,(H) = -90 o图5-12程序 g二tf(i, i-11)；nyquist(g);axis C square)图5-12不稳定惯性环节的极点分如和幅相特性分析s平面复向量s - 5 (由

6、Pl二1T指向s二)随增加时其幅值和相角 的变化规律，可以确定幅相特性曲线的变化趋势。如图 5-12 Q)、(b)所示。可见，与稳定惯性环节的幅相特性相比，不稳定惯性环节的幅值不变，但相角 不同。5. 一阶复合微分环节一阶复合微分环节的传递函数为 G( s)= Ts 1(5-35)其频率特性为G(j 戶 1 jT, IT22eJ 31113A()二 1 T22 )(5-36)-arctanT一阶复合微分环节幅相特性的实部为常数1,虚部与成正比，如图5-13曲线 所示。不稳定一阶复合微分环节的传递函数为G(s)二Ts -1(5-37)其频率特性为GG( j ) = T jT 31A)二1 +T

7、2 时？(5-38)(J 二180 -arctanT,-1IJ01幅相特性的实部为-1,虚部与成正比，如图11 *5-13曲线所示。不稳定环节的频率特性都是图5-13 -阶微分环节的非最小相角的。幅相频率特性6.二阶振荡环节二阶振荡环节的传递函数为2T2s2+2TM+1式中，n二1 丁为环节的无阻尼自然频率；为阻尼比，0：特性为:1(5-39):lo相应的频率G(j )二12(l_r) j2 (5-40)AC22(5-41)2 _(_ arctan22n当二0时当二.G( J0) 7 0时 当-：:时 分析二阶振荡环节极点分布以及当G(n 戶 1/(2 0 9G(j：)二 0 - 1 80S

8、= i - iOr i：:变化向量S - Pi、S-P2的模和相角的变化规律，可以绘出G(j )的幅相曲线。二阶振荡环节幅相图5-14 振荡环节极点分布和幅相频率特性特性的形状与值有关，当值分别取0.4、0. 6和0.8时，幅相曲线如图5-14所示。图 5-14 Mat lab 程序ks=0. 4 0. 6 0. 8 ;om=10;for i=l:3num=om*om;den=l 2*ks(i)*om om*om;nyquist (num, den); axis( square) ;hold on; end(1) 谐振频率y和谐振峰值Mr由图5-14可看出，值较小时，随二Or变化，G( j )

9、的幅值A(-)先增加然后再逐渐衰减直至0。A(J达到极大值时对应的幅值称为谐振峰值，记为血，对应的频率称为谐振频率，记为“以下推导血、十的计算公式，因为1A(co) = G( j 0)| = |2=(5_42)j卜空笙2轻对应的振荡环节存在飞和Mr ；当减小时，、增加，趋向于值，Mr则越来越 大,趋向于:;当二0时，Mr =2,这对应 无阻尼系统的共振现象。(2) 不稳定二阶振荡环节的幅相特性不稳宗一阶振荡环书的传谭雨数为2g(s)二0rS- -2 S 图 5-15 Matalb 程序ks=O. 04:0. 01:0. 707;for i二l：le ngth(ks)Mr (i) =1/(2*k

10、s (i) *sqrt (1 ks(i)*ks(i);end1尸，14 J 其频率特性为2二-360 atctan 4-A)(同稳定环节)不稳定二阶振荡环节的相角从一 360连续变化到-180o不稳定振荡环节的极点分 布与幅相曲线如图5-16所示。(3) 由幅相曲线确定G(s)5-17所示，试确定环节的例5-2由实验得到某环节的幅相特性曲线如图 传递函数G(s),并确定其-，、M 一解根据幅相特性曲线的形状可以确定G(s)的形式S)卅IG(b)图5-16不稳定振荡环节的极点分布与幅相曲线图其频率特性为A(o) =K* CO2 1r(5-45):()二一arctan将图中条件A(0)二2代入式(

11、5-45)得将：:(5) =-90代入式(5-46)得A) 代入式巴有厂彳2 _ nCO 21 一 2(0.(5-46)G(s)2 12s、2 5s、535023. 33s 25由式(5-43) Or =0n-2孑=5i_2x(y由式（5-44）M12J1-冬2 1 J Y 8 2汉一和1- 3l)-1800 -360 =i-s| JRL/inKG3 (j co)3(jc)H +l)(j+l)妙-270 :0三-450 :rV：当系统在右半s平面不存在零、极点时，系统开环传递函数般可写为炉 1 心 1) , 1)(、rz(n m)sWs+1) (T2S+I)(TyS+1)开环幅相曲线的起点G( jO )完全由K,确定，而终点G(产)则由n-m来确定u=0时G(jO)90 0 时G (产)=0 - -90 (n m)而二o ,二过程中gg)的变化趋势，可以根据各开环零点、极点指向s二r的矢 量之模、相角的变化规律概略绘出。例5-4已知单位反馈系统的开环传递函数为k(l +2s) s2(0. 5s1)(试概略绘出系统开环幅相曲线解系统型别V二2,零点一极点分布图如图5-22(a)所示。显然(1) 起点G( jO ) - ； -180(2) 终点Gk(j： J 二0. -270(3) 与