专题几何不等式

1、专题：几何不等式平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系.由于这些不等关系出现在几何问题中， 故称之为几何不在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定 理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理， 通过几何、三角、 代数等解题方法去解决几何不等式问题. 这些问题难度较大，在解题中除 了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点 和性质.几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积 不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理， 还 需用到一些图形的面积公式.下面先给出几个基本定理.定理1

2、在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边.定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然.定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也 大，反之亦然.定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶 点距离之和.定理5自直线I外一点P引直线I的斜线，射影较长的斜线也较长， 反之，斜线长的射影也较长.说明 如图2-135所示.PA PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影，若 HA HB贝U PA PB若PA PB贝U HA HB事实上，由勾股定理知pA-hAppOhb2 ,所以pA-pbTAhb2.从而定理容易得证.定理6在厶ABC中，点

3、P是边BC上任意一点，则有PAC max AB, AC，当点P为A或B时等号成立.说明max AB, AQ表示AB AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PHC BH由上面的定理5知PAC BA 从而PAC max AB, AC.同理，若P在线段HC上，同样有PAC maxAB AQ例1在锐角三角形ABC中, AB AC AM为中线，P为厶AMC内一点,证明：PB PC（图 2-137）.证 在厶AMBWAMC中, AM是公共边，BM=M,且ABAC,由定理3 知，/ AMZ AMC 所以/ AMC：90.过点P作PH! BC，垂足为H,则H必定在线段BM的延长线上.如果

4、H在线段MC内部，则BH BM=MHC如果H在线段MC的延长线上，显然BH HC所以PB PC.例2已知P是厶ABC内任意一点（图2-138）.求证：舟(a-Fb + c) c, PB+ POa, PC+ PAb.把这三个不等式相加，再两边除以2,便得PA+PB + PC |+ O .又由定理4可知PA+ PB a+ b, PB + PCV b+ c,PC+PV c + a.把它们相加，再除以2,便得PA+ PB+ PCV a+ b+ c.所以| (a-Fb+c) PA-FPB+PCa+b + c.(2)过P作DE/ BC交正三角形 ABC的边AB, AC于D, E,如图2-138所示于是PA

5、 max AD, AEE = AD,所以PB B DP, PC P曰 EC,PA PB+ PC DC 且 AB+ AC=D+DC 若 AC与 BD相交于 E,求证：AE DE证在DB上取点F,使DF=AC并连接AF和AD由已知2DBDB+DC=AB+AC=2AC所以DB AC由于 DB DC=A+ AC=2AC 所以DC+ BF=AC=AB在厶ABF中,AF AB-BF=DC在厶ADCffiA ADF中，AD=AD AC=DF AF CD由定理3,Z 1Z 2,所以AE DE例4设G是正方形ABCD勺边DC上一点，连结AG并延长交BC延长 线于K,求证：1-（AG+AK）AC.分析 在不等式两

6、边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所对应的三角形，转化为角的不等式，即构造以4（AG+AK）利AC2为边的三角形.证如图2-140，在GK上取一点 M 使GM=MK则g（AG +AK） =AM.在Rt GCKK CM是 GK边上的中线，所以/ GCMH MGC而/ ACG=45，/ MGZ ACG 于是/ MG45，所以/ ACM/ ACGbZ GC 90SE-140由于在 ACM中/ ACM/ AMC所以AMAC.故|（AG + AK）AC.例5如图2-141 .设BC是 ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O, AO BQ C0分别交对边于A , B , C.证明：0A+ OB +

7、 OC v BQ(2)0A + OB +OC max AA , BB , CC .证(1)过点O作OX OY分别平行于边AB AC,交边BC于X, 丫点, 再过X, Y分别作XS, YT平行于CC和BB交AB, AC于S, T.由于 OXYo ABC所以XY是 OXY的最大边，所以OA v max OX OY XS=OC .同理所以OA + OB + OC v X许 BX+ CY=BC”5 OA1 OB OC 由工令巫莎“而7由于OA1 OB:I OC dM + V Z 1- 1AA BB1 CC所以OA + OB +OC =x AA +y BB + z CCZ DBC求证：/ACBZ ABC

8、图 2-142).证 在厶BCD中，因为/ DC/ DBC所以BDCD在厶DMBfA DMC中, DM为公共边，BM=M,并且BD CD由定理3 知，/ DMZ DMC 在厶 AMBWAMC中, AM是公共边，BM=M,C且/ AMB Z AMC由定理3知，ABAC所以/ ACBZ ABC说明 在证明角的不等式时，常常把角的不等式转换成边的不等式.例7在AABC中，若AB求证JZACBAB,所以/ BZ C.作/ ABDM C,如图-143所示.欲证ZACE 丄/A3G 只需uEZACB2BD AB即 BC 2BD又 CD BC-BDBC+ CD 2B BC-BD所以所以CD BD从而命题得证

9、.例8在锐角 ABC中，最大的高线AH等于中线BM求证：/ BV60（图 2-144）.证 作MH丄BC于H，由于M是中点，所以于是在Rt MFB中,/ MBI430。延长BM至 N,使得MN二BM则ABCh为平行四边形.因为 AH为最 大高，由三甬形的面积公式（3 = 1 = =|chc3知，BCSA ABC中的最短边，所以AN=BC： AB从而/ ABN： / ANB=/ MBC=30 ,/ B=/ ABM/ MB： 60.下面是一个非常著名的问题一一费马点问题.例9如图2-145 .设OABC内一点，且/ AOB/ BOC/ COA=120 ,P为任意一点（不是O）.求证：PA PB+P

10、C OA+OB+OC证过厶ABC的顶点A, B, C分别引OA OB OC的垂线，设这三条垂线的交点为Ai, Bi, C（如图2-145），考虑四边形AOBC因为/ OA/OBO90,/ AOB=120 ,所以/ C=60.同理，/ A二/Bi=60.所以 A1B1C伪正三角形.设P到厶ABG三边BC, CA , AB的距离分别为 ha, hb, he,且厶ABC的边长为a,高为h.由等式SA ABC=SA PBC+SA PCA + SA PAB知-ha = f +丄屛 h a + hr a22 Q 2 L 2 c所以 h = ha+ hb + he .这说明正厶ABC内任一点P到三边的距离和

11、等于 ABC的高h,这是一个定值，所以OA 0聊 OC=h=e值.显然，PA+ PB+ PO P到厶A1B1C1三边距离和，所以PA+ PB+ PO h=0外 0聊 0C这就是我们所要证的结论.由这个结论可知0点具有如下性质：它到三角形三个顶点的距离和小 于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点.练习二十三1. 设D是厶ABC中边BC上一点，求证：AD不大于 ABC中的最大边.2. 人“是厶ABC的中线，求证：3. 已知 ABC的边BC上有两点D, E,且BD=CE求证：AB+ AOAD + AE4. 设厶ABC中, / CZ B，BD CE分别为/ B与/ C的平分线，求证：BD CE5.