专题训练一等腰三角形的存在性问题

1、专题训练一等腰三角形的存在性问题典藏回顾我们收集、解读近5年全国各地的中考数学压轴题，以全省(市)统一考试的北京、上海、重庆、山西、陕西、河南、河北、江西、安徽、海南和以市为单位统一考试的江苏、浙江、广东、山东、湖北、湖南、福建、四川、辽宁等地的试题为样本，分析各地考试压轴题 的常见类型。等腰三角形的存在性问题是中考数学的热点问题，近五年上海、重庆和江苏、浙江、广东、湖北等省份的部分市考到过这个问题，也是上海各区模拟考试的热点.专题攻略如果 ABC是等腰三角形，那么存在 AB= ACBA= BC,CA= CB三种情况.已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线.解

2、等腰三角形的存在性问题， 有几何法和代数法， 把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快.几何法一般分三步：分类、画图、计算.代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验.针对训练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3 , 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果 DOP1等腰三角形，求点P的坐标.2如图，在矩形 ABCDK AB= 6, BC= 8,动点P以2个单位/秒的速度从点 A出发，沿AC 向点C移动，同时动点 Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两 点中其中一点到达终点时则停止运动.在 P、Q两点移动过程中，当 PQC为等腰三角

3、形时，求t的值.(08南汇25)3.如图，直线y = 2x+ 2与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q,如果 APC是等腰三角形，求点 P的坐标.三年真题4. (12临沂26)如图，点 A在x轴上,OA= 4，将线段OA绕点O顺时针旋转120。至OB的位置.(1) 求点B的坐标;(2) 求经过 A O B的抛物线的解析式;(3 )在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点 P、O B为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求点 P的坐标；若不存在，请说明理由.5. (11湖州24)如图1，已知正方形 OABC勺边长为2,顶点A、C分别在x

4、、y轴的正半轴上，M是BC的中点.RO, m）是线段OCh动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点 D.（1）求点D的坐标（用含 m的代数式表示）；（2）当厶APD是等腰三角形时，求 m的值；（3） 设过P、M B三点的抛物线与x轴正半轴交于点 E,过点0作直线ME勺垂线，垂足为H （如图2）.当点P从0向C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）.图1图26. （10南通27）如图，在矩形 ABCD中, AB= m（m是大于0的常数），BC= 8, E为线段BC 上的动点（不与 B、C重合）.连结DE作EF丄DE EF与射线BA交于点F,设CE=x, BF= y

5、.（1 ）求y关于x的函数关系式；（2）若m= 8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少12（3）若y 上，要使 DEF为等腰三角形，m的值应为多少m两年模拟7. （ 2012年福州市初中毕业班质量检查第21题）沿BC如图，在 ABC中，AB= AC= 10, BC= 16, DE= 4动线段 DE（端点D从点B开始）E到达点 C时运动停止.过点以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点5DPH P5 0025AC .AB2 BC262 82 10此cos ACB,0)在厶 PQC中, CQ= t, CP= 10-2t.第2题图2第2题图3如图1，当CPCQ 时，t 10 2t，解得 t如图

6、2，当QPQC时，过点Q作 QML AC于CM=- PC24 在 Rt QM(中, cos QCM -5CM X，解得CQ t如图3，当PQ PC时，过点P作PNL BC于N则CN= -QC21t.2CN -t4 在 Rt PNC中 cos PCN -525，解得t 80 （秒）CP 10 2t21综上所述，当t为10秒、25秒、80秒时， PQC为等腰三角形.39213 .由 y = 2x+ 2 得，A 1, 0) , B(0 , 2).所以 OA= 1, OB= 2.如图，由 AOBA QOP得 OP： OQ= OB OA= 2 ： 1 .设点Q的坐标为(0 , m)，那么点P的坐标为(2

7、 m, 0).因此 AP= (2 m 1)2, aQ= mi+ 1, PQ= mi+ (2 m)2= 5ni. 当AP= AQ时，AP= aQ,解方程(2 nu 1)2 = n + 1,得m 0或m -.所以符合条件的3点P不存在. 当PA= PQ时，PA= PQ,解方程(2nu 1)2= 5吊，得m 25 所以 P(42.5,0). 当 QA= QP时，qA= qP,解方程 m+ 1= 5m,得 m 1 .所以 P(1,0).2第3题图4. ( 12 临沂 26)(1) 如图，过点 B作BCL y轴，垂足为C.在 Rt OBC中, Z BOG 30 , OB= 4，所以 BC= 2, OC

8、2 3 .所以点B的坐标为(2, 2.3).(2) 因为抛物线与x轴交于O A(4, 0)，设抛物线的解析式为 y = ax(x 4),代入点 B( 2, 2 3) ,2 3 2a ( 6) 解得 a 3 .6所以抛物线的解析式为 y -2x(X 4) X2 X .663(3) 抛物线的对称轴是直线 x= 2,设点P的坐标为(2, y). 当 OP= OB= 4 时，OP= 16所以 4+y2= 16解得 y 2 3 .当P在(2,2.3)时，B、O P三点共线. 当 BP= BO= 4 时，BP= 16所以 42 (y 2、3)2 16 .解得 y1 y22 3 . 当 PB= PO时，PB

9、= PO.所以 42 (y 2同 22 y2 解得 y3 .综合、，点 P的坐标为(2, 2 3) 第4题图5 . (11湖州24) (1)因为PC/ DB所以空 -PMBD DMMCMB因此 PM= DMCP= BD= 2 m 所以AD= 4 m 于是得到点D的坐标为(2，4 m (2)在厶 APD中, AD2(4 m)2， AP22 2 2 2m 4， PD (2 PM )4 4(2 m).当AP= AD 时，(4m)22m 4 .解得im 3 (如图1)2当PA= PD 时，2 m4 424(2 m) 解得m 4 (如图1 2)或m4 （不合题意,舍去）3当DA= DP 时，(4m)24

10、 4(2 m)2 解得m 2 (如图1 3)或m2 （不合题意,舍去）3综上所述，当 APD为等腰三角形时， m的值为3 , 4或2 .另解第（2）题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单: 如图1，当AP= AD时，AM垂直平分PD那么 PCMb MBA所以匹1 因此PC 1，m 3 CM BA 222 如图2，当PA= PM，P在AD的垂直平分线上.所以D” 2PO因此4 m 2m 解得m（3 ）点H所经过的路径长为5 思路是这样的：4如图4，在Rt OHM中，斜边0M为定值，因此以 0M为直径的O G经过点H,也就是说点 H 在圆弧上运动.运动过的圆心角怎么确定呢如图5,

11、 P与0重合时，是点 H运动的起点，/COH= 45,/ CGH= 90.第5题图4第5题图6. ( 10 南通 27)因为/ EDC与/ FEB都是/ DEC勺余角，所以/ EDC=Z FEB又因为/ C=Z B= 90,所以 DC0A EBF因此DCCE更，即m LjxBF x y1 2 8整理，得y关于x的函数关系为y丄X2 -x .m m1 2 1 2 如图1,当作8时，y x2 x -(x 4)22 .8 8因此当x = 4时，y取得最大值为2.-x28x 整理，得 x2 8x 120.m m解得x= 2或x= 6.要使 DEF为等腰三角形，只存在ED= EF的情况.y.得6 （如图

12、2）;得m= 2 （如图3）.因为EBF将x= y = 2代入y将x= y = 6代入y所以CE= BF，即卩x =12m12第6题图37. ( 1) BE t 4 , EF 5(t 4)-8第7题图1 DEF中，/ DEFZ C是确定的.如图1,当兰DE= DF时，DEEF即45(t4)解得t156ABBC101625如图2,当兰ED= EF时，54 -(t 4).解得t1285如图3,当兰FD= FE时，FEAC5(t即84)10解得t0,即D与B重合DEBC416(3)皿卜是厶FDE的中位线,Ml/T DE MN= 2, MN扫过的形状是平行四边形.如图4,运动结束，N在AC的中点，N到

13、BC的距离为3;如图5,运动开始，D与B重合，M到BC的距离为？.4所以平行四边形的高为9，面积为9 244越F第7题图4第7题图58. ( 1) C(4,2 3) , D(1,2 3).(2)顶点E在AB的垂直平分线上，横坐标为5，代入直线y = 3x 2 3，得y _2 .2 2设抛物线的解析式为 y所以物线的解析式为 ya(x -222(x32_2，代入点25)2 仝.2 2C(4,2 .3)，可得 a2.33(3)由顶点E在直线2.3上， 可知点G的坐标为(0,2.3)，直线与y轴正半轴的夹角为30,即/ EGF= 30设点 E的坐标为(m, 3m 2 3),那么 EG = 2m,平移

14、后的抛物线为2.3).y 年(x m)23m 2 3 .所以点F的坐标为(0,令3 m23m如图 1，当 GE= GF时，yr-GE= 2m 所以 12m2 3m 2m .3解得m= 0或3 3 . m= 0时顶点E在y轴上，不符合题意.2此时抛物线的解析式为 y|)2如图2，当EF= EG时,FG= 2 3Xe ,所以3 二.23 m2,3m 2 3m 解得 0 或 3 .32此时抛物线的解析式为2 33 2(x 2)当顶点E在y轴右侧时,/ FEG为钝角，因此不存在 FE= FG的情况.第8题图189. (1)当 D 为 BC 的中点时，ADL BC DEL AC CE - .3(2)如图 1,由于/ ADC=Z ADEFZ 1，/ AD(=Z B+Z 2,Z ADE=Z B,所以/ 1 = Z 2.又因为AB