专题三一元一次方程及其应用

1、一元一次方程及其应用 一. 选择题 1 （2015?江苏无锡,第4题2分）方程2x-仁3x+2的解为（） A.x=1 B.x=- 1C. x=3 D. x=- 3 考点：解一元一次方程. 分析：方程移项合并，把 x系数化为1,即可求解. 解答： 解：方程2x -仁3x+2, 移项得：2x- 3x=2+1, 合并得：-x=3. 解得：x=- 3, 故选D. 点评：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系 数化为1，求解. 2. （2015?四川南充，第4题3分）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年 购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置

2、计算机的数量是（） （A） 25 台（B） 50 台（C） 75 台（D 100 台 【答案】C 【解析】 试題分析;首先设去年陶置计算机数壘为x台，则今年购貫计算机的数堇沟血台，根据题意可鶴 =100, 解得；沪麵 则3k=3X 25=75即今年购苴计筐机的数量知5台. 考点：一元一次方程的应用. 3. （2015?浙江杭州，第7题3分）某村原有林地 108公顷，旱地54公顷，为保护环境， 需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%设把x公顷旱地改为林地，则可列 方程（） A 54 - x=20% 108B 54 - x=20% （108+ x） C 54+ x=20% 162D 1

3、08 - x=20%（54+x） 【答案】B 【考点】由实际问题列方程 【分析】 根据题意，旱地改为林地后，旱地面积为54 x公顷，林地面积为108 x公顷, 等量关系为“旱地占林地面积的20%，即54 x 20% 108 x 故选B 4. （ 2015?北京市，第9题，3分）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年 卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（兀） 每次游泳收费（元） A类 50 25 B类 200 20 C类 400 15 例如，购买A类会员卡，一年内游泳20次，消费50+25X 20=550元，若一年内在该游泳馆 游泳的次数介于4555次之间，则最省钱的方式为

4、 A.购买A类会员年卡 B 购买B类会员年卡 C.购买C类会员年卡 D 不购买会员年卡 【考点】一元一次方程 【难度】中等 【答案】C 【点评】本题考查一元 次方程的基本概念。 5. （2015 深圳，第10题 分）某商品的标价为 200元，8折销售仍赚40元，则商品进价 为（）元。 A 140 B 120C 160D 100 【答案】B 【解析】设进价为 x元，则x= 40,解得：x= 120,选B 二. 填空题 1. （2015 湖北省孝感市，第 14题3分）某市为提倡节约用水，采取分段收费若每户每 月用水不超过20mi，每立方米收费2元；若用水超过20吊，超过部分每立方米加收 1元.小

5、明家5月份交水费64元，则他家该月用水m. 考点：一元一次方程的应用. 分析：20立方米时交40元，题中已知五月份交水费64元，即已经超过20立方米，所以在 64元水费中有两部分构成，列方程即可解答. 解答：解：设该用户居民五月份实际用水x立方米， 故 20X 2+ （ x - 20）X 3=64, 故 x=28. 故答案是：28. 点评：本题考查了一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条 件，找出合适的等量关系列出方程，再求解. 2. （ 2015 四川甘孜、阿坝，第22题4分）已知关于x的方程3a- x+3的解为2,则代 数式a2 - 2a+1的值是 1. 考点：一

6、元一次方程的解. 分析：先把x=2代入方程求出a的值，再把a的值代入代数式进行计算即可. 解答：解：关于x的方程3a-x+3的解为2, 2 3 a- 2+3，解得 a=2, 原式=4 - 4+1=1. 故答案为：1. 点评：本题考查的是一元一次方程的解，熟知解一元一次方程的基本步骤是解答此题的关 键. 3. （2015?浙江省绍兴市，第16题，5分）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱 形容器（容器足够高），底面半径之比为1:2:1 ,用两个相同的管子在容器的5cm高度处连 通（即管子底端离容器底5cm）,现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm,如图所示。若 每分钟同时向乙和丙注入相同量

7、的水，开始注水1分钟，乙的水位上升5 cm则开始注入 6 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5 cm 考点：一元一次方程的应用. 注水1分钟，乙的水位上升 注水1分钟，丙的水位上升 5 Vcm 10 亏 cm 设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是 0.5 cm 专题：分类讨论. 分析：由甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为 1: 2: 1，注水1分 5 110 钟，乙的水位上升一cm得到注水1分钟，丙的水位上升 八cm设开始注入t分钟的水量后， 6 3 甲与乙的水位高度之差是 0.5 cm甲与乙的水位高度之差是0.5Cm有三种情况：当乙的水 位低于甲的水位时

8、， 当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，当甲的水位低于乙 的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，分别列方程求解即可. ，底面半径之比为1： 2： 1 , 解答：解：.甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高） 甲与乙的水位高度之差是 0.5 cm有三种情况: 当乙的水位低于甲的水位时, 有?=, 解得：t =分钟； 当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时, 此时丙容器已向甲容器溢水, 即经过分钟边容器的水到达管子底部，乙的水位上升 / 5- !j ， 乙的水位到达管子底部的时间为; 分钟， 钟，一， X-| （十一|） - 1=0- 1 - a+a+1(aM ) C a _ 1)

9、 = ? a+12 1) I (2)先把m当作已知条件求出 x、y的值，再根据足x+y=0求出m的值即可. 解答：解：(1)原式 2 (aH) Ca - =? W2 =a 1, 当a=.时，原式 =1； (2)解关于x, y的二元一次方程组 得 x-2m- 11 3x+5y=nr2 得 y7 - m /x+y=0, 2 m- 11+7- m=0,解得 m=4. 点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 4. (2015?山东潍坊第19题9分)为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器一 商场抓住商机，从厂家购进了A B两种型号家用净水器共 160台，A型号家

10、用净水器进价 是150元/台，B型号家用净水器进价是 350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000 元. （1 ）求A B两种型号家用净水器各购进了多少台； （2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是 A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水 器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元.（注：毛利润= 售价-进价） 考点： 一兀一次不等式的应用；二兀一次方程组的应用. 分析： （1 ）设A种型号家用净水器购进了 x台，B种型号家用净水器购进了y台，根据 “购进了 A、B两种型号家用净水器共 160台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元” 列出方程组

11、解答即可; （2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a 元，根据保证售完这 160台家用净水器的毛利润不低于11000元，列出不等式解答即可. 解答： 解：（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台， 由题意得 X-|-y=L60 , fx=100 解得 y=60 答：A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了 60台. （2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a 元， 由题意得 100a+60X2a11000, 解得a50, 150+50=200 （元）. 答：每台A型号家用净

12、水器的售价至少是200元. 点评：此题考查一元一次不等式组的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴 含的数量关系与不等关系是解决问题的关键. 5. （2015?江苏徐州，第24题8分）某超市为促销，决定对A B两种商品进行打折出售. 打 折前，买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元；打折 后，买50件A商品和40件B商品仅需364元，打折前需要多少钱 考点：二元一次方程组的应用. 分析：设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，根据买6件A商品和3件B 商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元列出方程组，求出 x、y的值，然后 再计算出买

13、50件A商品和40件B商品共需要的钱数即可. 解答：解：设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元， 根据题意得： 3x+4y=32 解得H 则 50X 8+40X 2=480 （元）, 答：打折前需要的钱数是 480元. 点评：本题考查了利用二元一次方程组解决现实生活中的问题.解题关键是要读懂题目的 意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解. 6. （ 2015?山东东营，第19题7分）（第题3分，第题4分） (1)计算： 1津一+ G 兌)+ 3气7 + tai3(r 1 （2）解方程组: xl-jr=6, 2x-y=9. 【答案】：（1）0 ; （2） I解析

14、】 試题分折：（1）尖计算乘方 维对值平片槻三角函致，然后再玻顺厚计算即可， （2）利用如减消元法即可。 试题解析；（T円翦*卩一疔+ 3-Q+tan莎：田十十 （2）+得！ 3=16/.1=5?将耐代人#得】5忙百，二方翟组的解为* J = 考点：1。实数的运算；2。解二元一次方程组。 7. ( 2015? 山东聊城,第18题7分)解方程组 x - y=5 2xty=4 考点： 解二: 兀一次方程组. 专题： 计算题. 分析： 方程组利用加减消元法求出解即可 解答： 解： ， +得: 3x=9, 即 x=3, 把x=3代入得： y=- 2, 则方程组的解为， 沪3 点评： 此题考查了解二兀一

15、次方程组， 加减消元法. 利用了消元的思想， 消元的方法有：代入消元法与 8.( 2015?四川凉山州，第22题8分)2015年5月6日凉山州政府在邛海“空列”项目 考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资亿元，建设40千米的邛海空中列 车据测算，将有 24千米的“空列”轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水 上建设费用比陆地建设费用多亿兀. (1)求每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元 (2)预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1600用，施工方准备租用 大、小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙石 200m3,每辆小车每天运送沙石

16、120m, 大、小车每天每辆租车费用分别为 1000元、700元，且要求每天租车的总费用不超过 9300 元，问施工方有几种租车方案哪种租车方案费用最低，最低费用是多少 【答案】(1),; (2)有三种租车方案，租 5辆大车和5辆小车时，租车费用最低，最低费用 是8500元. 试题分析.(I)首先根据题就 设每千洙軌道的水上建设费用需要A亿元 每干苯陆地建设费用 需丁运元，钱后根据腐空列”项目总共需要5： S亿元、段及每千洙水上建设费用比菇地逮设费用多2亿 元 列出二元Tfctt组，再解方程組，求出每干菲杯空列軌道的水上建设费用和陆览建设费用各需参 少国元舉可. (2)首先根搭題爲设每天租氓輔

17、大车，则需歸10-w辅小车，钱后根据毎天至少需鉴运送沙石1贸脚几 限及每天租车的总费甲不輕用00元列出一元一衩不轸式姐，判断出施工方肓几种租车方峯匸貴后分别 求出毎种租车右貫的费用是多少，列断出哪种租车右案费用最低，最低费月杲务少祁可. 认題解叶 设霉千未杯空列”純值的水上建设餐用需雯；込元 斟千米陆地建设费用需丁亿元, 24tH4C-24v=60.8 ,解得: x-i=0.2 所以舟干菲1空列抒轨道的水上建设费用需赛M亿元，每干米陆地建设费用需1.-I化元 答；脣千来空列”斬道的水上建设费用需寧l.tf亿元,霉千来陆地建设费用需第化元 (2)设每天租覆辆大车,则需要租K -毬辆小车, + 1

18、000m+00Q0-m , T m是正整数， 二m最小值=11, 设购买树苗总费用为 V=20n+5 (31 - m) =15n+155, / k 0, W随 x的减小而减小， 当 m=11 时，W最小值=15X 11+155=320 (元). 答：购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元. 点评：本题考查了列二元一次方程组，一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的解析 式的运用，一次函数的性质的运用，解答时根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系 式是关键. 10. (2015?四川眉山，第24题9分)某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活 动，准备一次

19、性购买若干钢笔和笔记本(每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同)作 为奖品若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元. (1) 购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元 (2) 工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品，根据规定购买的总费用不超过1100元, 则工会最多可以购买多少支钢笔 考点： 一兀一次不等式的应用；二兀一次方程组的应用. 分析： (1)首先用未知数设出买一支钢笔和一本笔记本所需的费用，然后根据关键语“购 买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元”，列方程组求 出未知数的值，即可得解. (2)设购买钢笔的数量为 X,则笔记本

20、的数量为 80 - x，根据总费用不超过1100元，列出 不等式解答即可. 解答： 解：(1)设一支钢笔需X兀，一本笔记本需 y兀，由题意得 解得： 答：一支钢笔需16元，一本笔记本需10元； (2)设购买钢笔的数量为 X,则笔记本的数量为 80 - x，由题意得 16X+10 (80 - x ) 13,不合题意, RO8, 纵向通道的宽为 2m横向通道的宽为im RF=6, RE! PQ四边形 RPC(是长方形， PC=10, REX PC=PR QF=6X 8 , RE=, rP=rE+pW , PE=, 同理可得：QF=, EF=, S四边形REC=X =, 即花坛REC啲面积为13.4

21、4吊.， 点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用即四边形面积求法和三角形面积求法等知识, 得出RP的长是解题关键. 12、(2015?四川自贡，第22题12分)观察下表： 骨口. 序号 1 2 3 * x x x x x x x y y y x x y y x x x x 图形 y x x x y y y e * x x y y x x x x x x x y y y x x x x 我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为 4x y .回答下列问题： .第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第 n格的“特征多项式”为 ； .若第1格的“

22、特征多项式”的值为 一10,第2格的“特征多项式”的值为 一16. 求x, y的值； 在此条件下，第n的特征是否有最小值若有，求出最小值和相应的n值.若没有，请说明 理由 考点：找规律列多项式、解二元一次方程组、二次函数的性质、配方求值等 分析： .本问主要是抓住x、y的排列规律；x在第n格是按n 1排，每排是 n 1个x来排列的；y在第n格是按n排，每排是n个y来排列的；根据这个规律第 问可获得解决. .按排列规律得出“特征多项式”以及提供的相应的值，联立成二元一次方程组来解, 可求出X, y的值 .求最小值可以通过建立一个二次函数来解决；前面我们写出了第n格的“特征多项 式”和求出了 X、

23、y的值，所以可以建立最小值关于 n的二次函数，根据二次函数的性质最 小值便可求得 略解: 第3格的“特征多项式”为 16x 9y ，第4格的“特征多项式”为 25x16y ，第n格的“特征多项式”为 （n 1）2x n2y （ n为正整数）； 24 4x y 10 解之得： X 7 9x 4y 16 26 y 7 .依题意: 2 2 24d 2 26 2 2 2 48 W (n 1) x n y n 1 n n n 7 7 7 7 .设最小值为 W,依题意得： 答：有最小值为 312 丰，相应的 n的值为12. 13.（ 2015?浙江滨州,第20题9分） 根据要求，解答下列问题 （1）解下列

24、方程组（直接写出方程组的解即可）: 的解为 的解为 的解为 (2)以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 . (3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解 口 【答案】(1)-, 【解析】 试题分析：(1)快速利用代入消元法或加减消元法求解; (2)根据(1)发现特点是x=y; (3)类比写出符合 x=y的方程组，直接写出解即可 r荒二 试题解析：解：(i) 1 (2) x=y. (3) 酌情判分，其中写出正确的方程组与解各占 1分. 考点：消元法解二元一次方程组，规律探索 14. (2015?广东佛山,第22题8分)某景点的门票价格如表： 购票人数/人150 51100

25、 100以上 每人门票价/元12108 某校七年级(1 )、(2)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多 于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票， 则一共支付1118元；如果两班联 合起来作为一个团体购票，则只需花费 816元. (1 )两个班各有多少名学生 (2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱 考点： 一兀一次方程的应用. 分析： (1)设七年级(1)班有x人、七年级(2)班有y人，根据如果两班都以班为单 位单独购票，则一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816 元建立方程组求出其解即可； （2）用一张票节省

26、的费用X该班人数即可求解. 解答：解：（1）设七年级（1）班有x人、七年级（2）班有y人，由题意，得 12xH0y=1118 8 （x+y） =816， 解得：厂 答：七年级（1）班有49人、七年级（2）班有53人； （2）七年级（1）班节省的费用为：（12- 8）X 49=196元， 七年级（2）班节省的费用为：（12 - 10）X 53=106元. 点评：本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法 的运用，解答时建立方程组求出各班的人数是关键. 15. （2015湖北荆州第19题7分）解方程组： 1x+3y=7 考点： 解二兀一次方程组. 专题： 计算题. 分析： 方

27、程组利用加减消元法求出解即可. 解答： 解：X 3-得：11y=22，即 y=2. 把y=2代入得：x=1, 则方程组的解为“. lv=2 点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代 入消元法与加减消元法. 2x+y=4 16. （2015湖南邵阳第 19题8分）解方程组：x-y=-l 考点： 解二兀一次方程组. 专题： 计算题. 分析：方程组利用加减消元法求出解即可. 解答：解：-， 工_ y=_ I +得：3x=3，即x=1, 把x=1代入得：y=2， x1 则方程组的解为. 1=2 点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想， 消元的方法有：代入消元法与

28、 加减消元法. 17. (2015 -湖南省益阳市，第 19题12分)大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材 料若干吨，每天生产相同件数的某种产品， 单件产品所耗费的原材料相同. 当生产6天后剩 余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨若剩余原材料数量小于或等于 3吨，则 需补充原材料以保证正常生产. (1) 求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数； (2) 若生产16天后，根据市场需求每天产量提高 20%则最多再生产多少天后必须补充原 材料 考点: 元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用. 分析: (1)设初期购得原材料 a吨，每天所耗费的原材料为 b吨，根据“当生产 6天

29、后 剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料 30吨.”列出方程组解决问题; (2)最多再生产x天后必须补充原材料，根据若剩余原材料数量小于或等于 3吨列出不等 式解决问题. 解答：解: (1)设初期购得原材料 a吨，每天所耗费的原材料为 b吨, 根据题意得: a - 6b=36 解得, a=45 Lb=15 答：初期购得原材料 45吨，每天所耗费的原材料为吨. (2 )设再生产x天后必须补充原材料， 依题意得：45- 16X 15- 15 (1+20% x 10. 答：最多再生产10天后必须补充原材料. 点评：此题考查一元一次不等式组的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴 含的数

30、量关系与不等关系是解决问题的关键. 18. (2015 -湖北省孝感市，第 21题9分) 某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元每天工作8 小时，一个月工作 25天月工资底薪800元，另加计件工资加工 1件A型服装计酬16 元，加工1件B型服装计酬12元.在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型 服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时.(工人月工资=底薪+计件工 资) (1 )一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时(4分) (2) 一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A , B两种型号的服装，且加工 A 型服装数量不少于 B型服装的一半” 设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额 为W元请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺(5分) 考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用. 分析：(1)设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加