扇形、圆柱、圆锥面积公式

1、扇形、圆柱、圆锥面积公式扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图学习目标1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶 嵌等。2. 扇形面积公式：曇亠网 须 2n是圆心角度数，R是扇形半径，I是扇形中弧长。3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360形成的几何体，侧面展开是矩形，长为底 面圆周长，宽为圆柱的高-J r底面半径 h圆柱高4. 圆锥侧面积圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转 3600形成的几何体。侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它们相等。6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母

2、线，知道可以 通过解高、母线、底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有关问题。7. 圆柱圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。如图所示，若圆柱的底面半径为r，高为h,则：静二2帀诲 去=內4 2耳 =2刃响+ 27?1 =（虫+ f）8. 圆锥圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲 面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线， 扇形的弧长是圆锥底面的周长。因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。如图所示，若圆锥的底面半径为 r，母线长为I，则二丄八2皿二曲， 2去=输+ g腹

3、=祖+叶丄=押/ +重点、难点扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用【典型例题】例1.已知如图1,矩形ABCDK A吐1cm, BO2cm,以B为圆心，BC为半 2径作圆弧交AD于F,交BA延长线于E,求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面 积。图1解：tAB= 1, BO2, F点在以B为圆心，BC为半径的圆上， BF= 2,.在 Rt ABF中，/ AFB= 30,/ ABF= 603602 =7T;2例2.已知扇形的圆心角150,弧长为乂沱汽，则扇形的面积为。解：设扇形的面积为S,弧长为I，所在圆的半径为R,2CV?二由弧长公式，得:由扇形面积公式,1刃戚180=240tf，故填

4、240打点拨：本题主要考查弧长公式-f和扇形面积公式工例3.已知弓形的弦长等于半径 R,则此弓形的面积为 。（弓形的弧为劣弧）。解：弓形弦长等于半径R.弓形的弧所对的圆心角为6060加工_品扇形的面积为亠 。丄R2 sin=R2三角形的面积为-弓形的面积为1 八。即 丄 _ 。故应填-。点拨：注意弓形面积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面积与三角形面积 的和或差。本题若没有括号里的条件，则有两种情况。例4.若圆锥的母线与底面直径都等于a,这个圆锥的侧面积为解：圆锥的底面直径等于a底面半径为-2真* = JEI底面圆的周长为-。沥青保温泵又圆锥的母线长为a,* TSi* a JEr圆锥的侧面积为

5、二二故应填-点拨：圆锥的侧面积即展开图的扇形面积，可利用扇形的面积公式或S二-IR2求得。例5.如图2所示，0A和OO是O0中互相垂直的半径，B在；上,弧二:的 圆心是0,半径是00,。Q与。O O0、0A都相切，0B6,求图中阴影部分 的面积。图2解：设。Q与。OO 0、0A分别切于点 D C、E,设。Q的半径为r，连结OQ, QE,过点0作QF丄00于F,连结OB 0B 0(0 00= 6,=（ +輕）：_（百_尸尸二.Sa 二卜 w=1 X 6X2=676r又1- - -心,ra +8r- 9= 0 I孑，（舍去）3GR螺杆泵又v是等边三角形 ?-和扇形的面积相等且都等于门 。沥青齿轮泵

6、n n. 、5所组成的图形面积为扇形 OBO和扇形OOB的面积之和减 去三角形OOB的面积，即：-7T* 62 = 9jt又V扇形OAO勺面积为：沥青泵.阴影部分的面积为: rm 宀-l =沁-12774-97- 7T=9a/3 -Ah点拨：本题比较复杂，考查的知识面比较多，要正确作辅助线，找出解题的思路例6.在半径为2的圆内，引两条平行弦，它们所对的弧分别为120。和60 求两弦间所夹图形的面积及周长解：分两条弦在圆心的同侧或两侧这两种情况:如图3所示，由题意上-(Qd = 60则/AO4 120,/ CO氐 60又 AB/ CDAOC=Z BOD又/ AOCk/ BOD= 180AOC=Z

7、 BO氐 90又g鋅 A WO ZAOB=12 2e = 1 x OCX CD ” sin ZCODa cup 21 片=X 2 X 2 乂匚=、R2 2故所求面积为； = - - 1 比.：，出、=3十站3十JT十7T=2（屈阎又/ AOG 90,息的长二丄圆的周长二丄X 2x jtX 2 = 1* * ?n同理JZ-二又 OCD是等边三角形， CX OC= OB 2AB = 2 OA* sin60（ 又=2和”所求的周长一 -: :=2（加+J5 + 1）如图4所示，由第一种情况，得所求面积:弓总禹启34X2X2X4 r 2 r 7T V? JT+(-j3332=-aT3n c所求周长-=

8、2 一琴皆3 3=2(洁+14申点拨：要注意本题的两种情况，另外，弧长公式和扇形以及弓形的面积求法 要求正确掌握，熟练运用。沥青保温泵例7.如图5所示，已知正方形的边长是4cm,求它的内切圆与外接圆组成的 圆环的面积。（答案保留-）（1999年广州）解：设正方形外接圆、内切圆的半径为 R、r，面积为1 -常见错误：此题最容易产生的问题是找不出正方形边长的一半与两圆的半径之间的勾股关系。即不会运用圆内接正方形与圆外切正方形的性质来解题。这一点读者应认真体会。例8.如图6所示，已知 ABC内接于O 0,且A吐BC= CA= 6cmA(1) 求证：/ OBC= 30;(2) 求OB的长(结果保留根号

9、)；(3) 求图中阴影部分的面积(结果保留 新)解：(1)A吐 BC= CA / A= 60/ BOG 120。，又T O吐 OC=-(ISO* -120* ) = 30*/ OBC 二(2)过 O作 ODL BC于 D,T OB= OC BC= 6cmBD=-3C=如cos 乙 OBD cos30V3(3)上-*- I 即阴影部分面积是4-V 。 3GR螺杆泵常见错误：此题常见的问题是不会运用正三角形这一条件，从而无法证明/ OBG 30;当然，解直角三角形失误，求扇形面积时公式记错产生的错误，也 是考试中的常见错误，应引起警惕。沥青齿轮泵例9. 一个圆锥的高是10cm侧面展开图是半圆，求圆

10、锥的侧面积。点悟：如图7所示，欲求圆锥的侧面积，即求母线长I，底面半径r。由圆锥 的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即 Rt SOA且SO 二10, S心I，OA r，关键找出I与r的关系，又其侧面展开图是半圆，可得关込F系-，即一 _*。解：设圆锥底面半径为r，扇形弧长为C,母线长为I，C = f 班=5由题意得i得在 Rt SOA中，由、得:3所求圆锥的侧面积为例10.圆锥的轴截面是等腰 PAB且P心PB= 3, A吐2, M是AB上一点， 且PMh 2,那么在锥面上 A M两点间的最短距离是多少点悟：设圆锥的侧面展开图是扇形 PBB, A点落在A点，则所求A、M之间

11、的最短距离就是侧面展形图中线段 AM的长度。rX _ 二 360s X 二 1206 解：如图8所示，扇形的圆心角二360丿-；图8/ APB = 60，在 A卩M中，过 A作 AN丄 PM于 N,AiZU1 wp,J占矿+阿【模拟试题】(答题时间：40分钟)、填表(1)已知：正n边形边长为a正n边形中心角半径边心距周长面积n = 3n = 4n = 6(2)已知：正n边形半径R正n边形中心角半径边心距周长面积n = 3n = 4n = 6二、填空题：1. 如果扇形半径长3cm圆心角120则它的面积是cr2。2. 若圆锥母线长5cm高3cm则其侧面展开图的圆心角是 度。3. 若圆锥底面半径为3

12、cm母线长5cm则它的侧面展开图面积是2cm。4. 有一圆柱状玻璃杯，底面半径3cm高为8cm今有一长12cm的吸管斜放入杯中，若不考虑吸管粗细，则吸管最少露出杯口处的长度是 cm5. 用一个半径为30cm圆心角为120的扇形纸片做成一圆锥侧面，那么圆锥底面半径是cm6. 如图1,正方形ABCD边长为2,分别以AB BC为直径在正方形内作半圆,则图中阴影部分面积为 方单位。图17. 如图2, A吐2cm, / AO4 90, AO= BQ 以O为圆心，OA为半径作弧AB,以AB为直径做半圆AmB则半圆和弧AB所围阴影部分面积是2cm。08. 若圆锥侧面积为1亍加用，母线长5cm,则圆锥的高为

13、cm9. 圆柱表面积为孔尬加1，它的高为2cm,则底面半径为cm10. 矩形ABCD中，AC= 4cm / ACB= 30，以直线AB为轴旋转一周，得到圆柱表面积为C&三、解答题：11. 已知扇形的半径为，它的面积恰好等于一个半径为： - 的圆面 积，那么这个扇形的圆心角为多少度 沥青保温泵12. 如图3,已知半圆O,以AD为直径，AD= 2cm B C是半圆弧的三等分 点，求图中阴影部分面积。13. 已知如图，割线 PCCH圆心O,且PD= 3PC PA PB切。O于点A、B，/ PAB= 60，P心八，AB与PD相交于E,求弓形ACB的面积。7. 18. 4cm9. 3cm【试题答案】、填

14、表:(1)正n边形中心角半径边心距周长面积n = 3120a.363a4n = 490 a2a24an = 660 a祚口26a2(2)正n边形中心角半径边心距周长面积n = 3120羽RRT3翻R4n = 490忑R4y2R2炉n = 660 R26R2、填空题：1.轨2. 2883. -jT4. 25. 106.在 Rt OAP中,邑4三4羽，AAPO = 3010(24 +三、解答题：11. 解：由题意，设所求圆心角为二,则3GR螺杆泵G二时答：所求扇形圆心角为6012. 解：连结OB OC沥青齿轮泵/ -1：1_I. i I 沥青齿轮泵=+用弓鳳=A5_ 60 貫* 1_ 36-(cwa)6沥青泵13. 解：