必修4平面向量数量积考点归纳

1、“平面向量”误区警示“平面向量”概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水现将与平面向量基本概念相关的误区整理如下.向量就是有向线段解析：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. 有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段.若向量AB与CD相等，则有向线段AB与CD重合解析：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量因此，若AB = CD，则有向线段AB与CD长度相等且方向相同，但它们可以不重合.若向量AB / CD，则线段AB / CD解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.故由AB与CD平行，只能得到线段AB与CD方向相同或相反,它们可

2、能平行也可能共线.若向量AB与CD共线，则线段AB与CD共线解析：行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向相同或相反的非零向量.故由AB与CD共线，只能得到线段若a / b,解析：由于零向量与任一向量平行，故当 一 i/、_, L -都为非零向量时，才有若|0i=|b|,则a 解析：由 | a |=| b|,只能确定向量 当a与b不共线时，a = b或a单位向量都相等解析：长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量，由于单位向量的方向不一定相同，故单位向量也不一定相等.若| = 0,则a = 0 解析：y量和实数是两个截然不同的概念，向量组成的集合与实数集合的交集是空集. 故若| a |= 0,则a

3、 = 0，不能够说a = 0.平面向量数量积四大考点解析垃，只能 b / c,则B与CD方向相同或相反，它们可能平行也可能共线.时，向量不一定平行.当且仅当=b 或 a=?a与 b的长度相等，不能确定其方向有何关系. 或a = b都不能成立.考点一考查概念型问题b、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数a b-a-aIkbabab2C例1.已知a、a b ；a, b反向* a b ； a = b评注：两向量同向时，夹角为 因此当两向量共线时，夹角为 考点二、考查求模问题0（或0 ）；而反向时，夹角为n0或n,反过来若两向量的夹角为（或180 ）;两向量垂直时，夹角为0或n,则两向量共线.9

4、0,例2.已知向量a2,2 ,b 5,k，若a b不超过5,贝U k的取值范围是评注：本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。例3.（）已知a,b均为单位向量，它们的夹角为 60 ,那么a 3b =（）A. .7 B. .10 C.、3 D. 4（2）已知向量a cos ,sin ，向量bJ3, 1 ,贝U 2a b的最大值是评注：模的问题采用平方法能使过程简化。考点三、考查求角问题例4.已知向量a +3 b垂直于向量7 a-5 b，向量a -4 b垂直于向量7 a-2 b，求向量a与b的夹角.练习一：数量积（内积）的意义及运算1已知向量4 , e为单位向量，当它们之间的夹角为e方

5、向上的投影与e在a方向上的投影分别为（）练习目的：区别B. 2C.,V3 d. ,22e方向上的投影与e在a方向上的投影，达到正确理解投影的概念.2 .在边长为2的等边ABC 中,).A.2B.-2C. 4 D.-4练习目的：结合图形1,根据投影的意义，理解3.已知|a3,|b| 2,a与b的夹角为60，c=3Jlab|的值；（2）当m为何值时,c与d垂直练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到巩固数量积的运算 目的.练习二：数量积的坐标运算、模及夹角4.直角坐标系xOy中，i, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量.在直角三角形 ABC中,

6、若AB 2, j, AC 3i k ?，则k的可能值个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4练习目的：结合向量垂直的等价关系II5.已知向量| a| 2 , | 2技3 ,Jla求( 1) 14bJra E与4UU练习数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法.b (2 = 3,2)b的夹角练习目的：巩固平面向量的模以及夹角公式，类比向量的运算与实数多项式的运算的关系.6设向量a,b满足|a| 2,| b| 1, a,b的夹角为60，若向量2ta 7b与向量a tb夹角为钝角, 求实数t的取值范围。练习目的：综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时要特别注意特殊情况,

7、才能不遗漏地正确解题.练习三.平面向量的综合应用7. (1)已知 ABC 中，aB a,BCb ,是ABC中的最大角，若4b?Jra练习目的：体会应用平面向量的夹角公式判断三角形的形状.平面向量巩固检测)，其中0的值(k为非零的常数)1 已知 a (cos ,sin ), b (cos ,sin(1) 求证：a b与2 b互相垂直；若ka b与a k b的长度相等，求2.已知a、a = (cos , sin ) , b = (cos,sin16(n)若 (，),=,且 | a+ b | =,求 sin4 445b是两个不共线的向量，且(I )求证：a + b与a b垂直;3设 a e12e?

8、,b3e12e2，其中 e1 e2 且 e1 e1e2 e21(1)计算| a b |的值；(2)当k为何值时k ab与a3 b互相垂直？33xxn4.已知向量 a = (cosqx, s2x), b = (cos2, sin2),其中 x 0,3(1)求a看及方+ b|; (2)若f(x) = ?孑2+ b|的最小值为2,求入的值平面向量数量积四大考点解析考点一考查概念型问题例1已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数（）a b a b a/b；a, b反向 a b a b a b ； a = b.2C分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量

9、加法与减法的平行四边形 法则.解： t a b = I a I b I cos 0由I a b I = | a | b I及a、b为非零向量可得| cos 0| =10 =0或n,. a / b且以上各步均可逆，故命题 （1）是真命题.fMl1若a ,b反向，贝U a、b的夹有为n,. a b =| a | I b| cosn =- | a| I b|且以上各步可逆，故命题（2）是真命题.（3）当a丄b时，将向量a , b的起点确定在同一点，则以向量 a , b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有Ia + b | = | a -b | 反过来，若| a +

10、b | = | a -b |，则以a , b为邻边的四边形为矩形，所以有a丄b，因此命题（3）是真命题.当I a | = | b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有| a c |工| b c | ,反过来由| a | c |I b c|也推不出|a | = | b | 故是假命题夹角为n （或180 ）;两向量垂直时，夹角为90，因此当0或n,则两向量共线例2已知向量a 2,2 ,b5,k，若a b不超过5,则k的取值范围是分析:x, y 则 ay2，或 a.x2 y2，对于求模有时还运用平方法。解：由a b 3,2 k ,b 5，由模的定义，得：922 k 25 解得： 6 k 2，故

11、填 6,2 。综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择（C）.评注：两向量同向时，夹角为0（或0 ）;而反向时，两向量共线时，夹角为 0或n,反过来若两向量的夹角为考点二、考查求模问题评注:本题是已知模的逆向题，运用定义即可求参数的取值范围。例3. （1）已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么a3b =()(2)已知向量B. 10 C.,13 D. 4a cos ,sin ，向量 b 3,则2a的最大值是解:(1) a3b6 a b cos609忻3 9 13所以a 3b.13 ,故选Co(2)由题意,2,a b 2sin 3-一f2i-f2又 2ab4a4a

12、 bb8 8sin 163则2a b的最大值为4。评注：模的问题采用平方法能使过程简化。考点三、考查求角问题例4已知向量a +3 b垂直于向量7 a-5 b，向量a -4 b垂直于向量7 a-2 b，求向量a与b的夹角a |及| b |、a b，而本题中很难求a丨及丨b丨中的两个用另一个表示出来,分析：要求a与b的夹角，首先要求出 a与b的夹角的余弦值，即要求出|出I a |、| b |及 a b ,a ? bf r但由公式cose =可知，若能把a b , I即可求出余弦值，从而可求得a与b的夹角b .解：设a与b的夹角为Ba +3 b垂直于向量 7a -5 b , a -4 b垂直于7 a

13、-2 b ,解之得3b 7a4b 7ab 2=2 a a?b-cose = I =练习一：数量积（内积）1 .已知向量| a |为（）A.235b2bb a2=2 ab2 12a ?b的意义及运算_.2 _ _7a 16a b7a 30a b a2=b2215b028b 0I a I = | b I因此a与b的夹角为4 , e为单位向量，当它们之间的夹角为时,3a在e方向上的投影与在a方向上的投影分别B. 2,c.,2 3,21.答案解答：环e方向上的投影|a|cos3在a方向上的投影|e|cos312.在边长为2的等边 ABC中,的值是（练习目的：区别a在e方向上的投影与 e在a方向上的投影

14、，达到正确理解投影的概念.).B. 2c. 4A.22.答案B解答：由平面向量数量积公式得：AB?BC = | aB|?| bC|COS120 = 2D.-4的值为一2.因此(i)练习目的：结合图形1,根据投影的意义，理解的几何意义.3 .已知|aJla3,|b| 2,a与b的夹角为(2)当m为何值时,60 , c=3| b | cos60 3123.23222 2 3 19JlaJib(2)由C与d垂直，得nroJdJrc*maJla(3o5rrl92512ml34ao又因为| a:3,|b|2,a与b的夹角为60；所以a|a | b |cos60 3 21329代入得m14.29 H 4因

15、此当m 时，c与d垂直.14练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，达到巩固数量积的运算目的.练习二：数量积的坐标运算、模及夹角4 .直角坐标系xOy中，?, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量.在直角三角形ABC中,aB 2i1寸T *P, AC 3Tk j，则k的可能值个数是(A. 1B. 2C. 3D. 44.答案B提示：由题设(k1)j ,(3,k), bC(1,k 1)转化为坐标表示:ABC是直角三角形可以分为三种情况:(3)AC BC, AIbc 3 1k(k0得k 61)0 得 k1) 0即k2 k 30，无解故k的可能有两个值1,

16、 - 6,练习目的：结合向量垂直的等价关系，练习数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法.角夹的Jra与4bJra)72JHIa5.已知向量 |a| 2 , |b| 2启,a t (2、3,2)求( 1) |5nr222Jfa6 耳lb JBlAa2JJaJBraJFa2(22JI a 62 LBr a2Ta所以cos(2 )设夹角为JTa 一一4b)-82Ha2222(2练习目的：巩固平面向量的模以及夹角公式，类比向量的运算与实数多项式的运算的关系.6.设向量a,b满足|前| -, a,b的夹角为60，若向量7b与向量? tb夹角为钝角，求实数t的取值范围。6.解答：由题设JibJr a

17、b|cos60：2 1-12因为向量2ta 7b与向量a tb夹角为钝角,oJfaJIUo2tL4Jao5t解得7 t -2方面,当夹角为2ta时，也有7b=|72 彳a0，所以由向量2ta(0)7b与向量a tb同方向得:因此2t,7t解得：t、-4=、一142、14由于0,所以t0，得t、14 ,时，2因此，当t两向量的夹角为0不合题意2所以，若向量2ta 7b与向量a tb的夹角为锐角，实数t的取值范围是：血1)2 ， 2)练习目的：综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时要特别注意特殊情况，才能不遗漏地正确解题.练习三.7. (1)已知平面向量的综合应用ABC 中

18、，aB,是 ABC中的最大角，若贝o4b?Jra535ABC的形状为可得cos7.答案：锐角三角形提示：由COS0，即的夹角为钝角，所以,ABC为锐角,因此ABC为锐角三角形.练习目的：体会应用平面向量的夹角公式判断三角形的形状.平面向量巩固检测 彳1 已知 a (cos ,sin J, b (cos ,sin(1)求证：证明：)，其中0互相垂直；2 2b (cosb互相垂直2 2 2sin ) (cos sin )0若ka b与a k b的长度相等，求的值(k为非零的常数)解析：ka b (k cos cos , ksin sin )；a k b (cosk cos ,sinksin )Jk

19、 a bJk2 1 2k cos()akbJk2 1 2 k cos()而Jk21 2k cos()Jk2 1 2kcos()cos( )0,2sin2 .已知a、b是两个不共线的向量，且 a = (cos , sin ) , b = (cos , sin ) (I )求证：a + b与a b垂直；(n)若 ()=，且|a+b| =4 44解: (1) / a = (4cos , 3sin ), b = (3cos , 4sin )- |a| = |b| =1,又 T ( a + b )- ( a b) =a2 b 2=| a |2 |b |2 = 0(2)|a + b|2 = ( a + b )2 = | a |2+| b|2 +2 a b = 2 + 2又 a -b = (cos cos3sin sin )=- cos(1./ sini ()=4/ sinsin()5=sin()coscos()sin423225252103.设ae1 2e2,b3e12e2，其中e1e2 且 e1 e1e2 e(1)计算|a b |的值;当