导数中含参数单调性及取值范围

1、共享知识分享快乐应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点；利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题；利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点；将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考 压轴题一.含参数函数求单调性(求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域；(2)求导数；(3)令导数大于0,解得增区间，令导数小于0,解得减区 间.)22 a* + a _ 1例1 (2012西2)已知函数f(x) = a 2 &-，其中a R .x2 +1(I)当a =1时，求曲线y=f(x)在原点处的切线方程；(U)求f (

2、x)的单调区间.(I)解：当a 1时,f(x)二寻x +1_2(x1)(x-1)(x2 1)2f (0)=2 ,得曲线 y = f (x) 在原点处的切线方程是2x - y = 0()解:f(X)= -2(x a)(ax1)x21当a二0时,f(X)二半所以f (x)在(0,二)单调递增，在(-：, 0) 单调递减.卑微如蝼蚁、坚强似大象1(x+a)(x_)当 a = 0 , f (x) - -2a2x +1，f(x)与 f (x) 的情况如下: a当 a0 时，令 f (x) = 0，得 Xr = 一a，x2xxjx(xm)X2(X2, +=)f (x)0+0f(x)f (Xj/f(X2)故

3、 f(x) 的单调减区间是(一, a)，(，十处)；单调增区间是(a, ).7分aa当 a : 0 时，f (x)与 f (x) 的情况如下：X(-00, X2)X2(X2)X1(X1, +旳)f (x)+00+f(x)/f (X2)f(x)/1 1 所以f (X) 的单调增区间是(qci,_)；单调减区间是(_，a)，(_a,七左)- aa10分(m)解：由(:n)得， a - 0时不合题意.1当a 0时，由(口)得，f (x)在(0, )单调递增，a1在(,七左)单调递减，所以a f (X)在(0,：) 上存在最大值f($ =a20 a1 -ax0为f (x)的零点，易知Xo，且X0a1从

4、而 x x时，f (x)0 ； X :： x 时，f (x) ： 0-a若 f (x)在0, ：；3) 上存在最小值，必有 f (0) _ 0，解得一1 _ a _ 1 所以a0时，若f (x)在0, +匚)上存在最大值和最小值，a的取值范围是(0,1，12分当a cO时，由(口)得，f (x)在(0,-a)单调递减，在(_a,七边)单调递增，所以 f (x)在(0,：) 上存在最小值f(a) 7若 f (x)在0,：) 上存在最大值，必有 f (0)0 ，解得所以a : 0时，若f (x)在0,川匕丁)上存在最大值和最小值,综上，a的取值范围是(一八：； U(0,1 14分2 设函数f(x)

5、=ax (a+1)In(x+1)，其中aA-1，求f(x)的单调区间.【解析】由已知得函数 f (x)的定义域为(.七比)，且f(x) _，(丿_ X北aX(a_1),(1)当二兰a兰0时，f (x) 0，函数f (x)在(一1,讼)上单调递减，当a 0时，由f(x) =0,解得x _ 1aX(-1丄) a1 a1C,唸)af(x)0+f(x)极小值从上表可知当f (X)、 f( x)随X的变化情况如下表1 1Xw(1 ,丄)时，f (x) 0,函数f (x)在(T1)上单调递减.，a，aX壬(丄，讼)时，f(x) A0,函数f (x) 在 (丄，讼)上单调递增. a，a，1 综上所述：当 兰

6、a兰0时，函数f(x)在(7,丘)上单调递减.当aA0时，函数f (x)在(一1丄)上单调递减，函数f (x)在(丄 咼)上单调递 aa增.3已知函数f(xx2 2a 1,其中a 0.x(I)若曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线与直线y =1平行，求a的值;(II)求函数f(x)在区间1,2上的最小值.解:f(x)” 聲x33、2(x a )2x2分33分(I)由题意可得 f (1)=2(1 -a) =0 ，解得a二1，此时 f(1)=4 ，在点 (1,f(1) 处的切线为y = 4，与直线y = 1平行故所求a值为1.4分(II)由 f g 0 可得x a， a 0，5 分当0 : a

7、 0x -1.2分当 a = 0时 f (x)x当 0 ： x ：1 时，f (x) : 0当 x 1 时，f (x) . 0.4分故 f (x) min = f (1) = 1 .5分” 1 1(n)由 f(x)=p+ax x2ax x -12x由题意可知a =0 时，f (x)=x _1，在2, ：)时，f (x) 0符合要求.7分2当 a : 0 时，令 g(x)二 ax x -1故此时 f(x) 在 2,：) 上只能是单调递减4a +2 1.9分f (2)乞0即0解得a44a ：；2 11当a 0时，f (x)在2,亠)上只能是单调递增f (2) _ 0即0,得a -44.11分.13

8、分根据性质求范围)(零点例(2012昌平2)已知函数f (x) =41 n x ax6x b ( a , b为常数)， 且x = 2为f (x)的一个极值点.(I)求a的值；(n)求函数f (x)的单调区间；(川)若函数y=f(x)有3个不同的零点，求实数 b的取值范围.解：(I )函数f (x)的定义域为(0,心)1分：f x)= 2ax - 62分x-f (2)=2 4a -6=0，则 a = 1. 4分2(n)由(I)知 f (x) = 41 n x x -6x b4二 f x0 =2x 62x2 - 6x 42(x2)(x1)x由 f x( 0 可得 x 2 或 x 1，由 f X)

9、0 可得 1 x 0由题意可知丿则 5 cb 841 n2f (2) =41 n28+bcO14分x + a最值 例(2012海2)已知函数f (x)二三 2 ( a = 0, a R ).x2 +3a2(I)求函数f (x)的单调区间；(n)当a =1时，若对任意 捲公2 -3：)，有f (xj - f(X2) 一 m成立，求实数(x - a)( x 3a)小值解：f (x)22 2.(x +3a )令 f (x) = 0，解得 x = a或 x = -3a - 2分m的最x(严-3aa(-3aaa(af (x)-0+0f(x)极小值/极大值(i)当 a 0时，f(x), f(x) 随着x的

10、变化如下表函数 f(x) 的单调递增区间是 (3a,a) ，函数 f(x) 的单调递减区间是 (一o,3a)，(a,*)- 4分当a : 0时，f (x)， f (x)随着x的变化如下表X(-00, a)a(a, da)-3af(X)0+0f (X)极小值/极大值函数 f(x) 的单调递增区间是 (a, -3a) ，函数 f(x) 的单调递减区间是(一匸”,a),(-3a卄)(-3a,：).(叮当a二1时，由(I)得 f (X) 是 (-3,1) 上的增函数，是 (1,：) 上的减函数又当X +1x 1时，f(x八严0.所以所以所以11f (x)在一3, ：)上的最小值为f ( 一3)，最大值

11、为f(1)62对任意 X1X -3, ：), f(xj - f 区)乞 f(1) f(3) = 2.32对任意刘，X2 -3,：)，使f (人)一 f(X2)乞m 恒成立的实数 m的最小值为一. 310分13分1不等式例3 (2012房山1)设函数f (x) - - - x3亠2ax2 - 3a2x亠a(a三R). 3(I)当a =1时，求曲线y二f (x)在点3, f (3)处的切线方程；(n)求函数f (x)的单调区间和极值;(川)若对于任意的(3a,a)，都有f(x) ：a 1，求a的取值范围极值例4 (2012丰台1)已知函数f(x-xax21 (aR).3(I)若曲线y=f(x)在(

12、1, f(1)处的切线与直线 x+y+仁。平行，求a的值； (n)若a0，函数y=f(x)在区间(a, a 2-3)上存在极值，求a的取值范围；(川)若a2，求证：函数 y=f(x)在(0, 2)上恰有一个零点.(单调性)已知函数 f (x) x3 mx2 -3m2x T (m 0).(I)若m =1，求曲线y = f(x)在点(2, f (2)处的切线方程；(n)若函数f(x)在区间(2m-1,m 1)上单调递增，求实数 m的取值范围.(2012朝2)设函数丄2a2f (x)二 aln x(a = 0).x(I)已知曲线 y二f (x)在点(1,f(1)处的切线丨的斜率为2-3a，求实数a的

13、值;(n)讨论函数 f (x)的单调性；1 3285解：当 m = 1 时，f (x) ： x x -3x 1, f (2) ：4-61-333f(x)二 x2 2x3，f(2) 44 3=5.3 分所以所求切线方程为5y 5(x - 2)即 15x - 3y - 25 二 0 -32 2“)f (x)二 x 2mx -3m 令 f(x)二 0，得 x 二-3m或x 二 m.x(_oo,_3m)-3m(-3m, m)m(m,址)f(x)+00+f(x)单调增极大值单调减极小值单调增由于 m 0，f (x)，f(x) 的变化情况如下表:所以函数f (x)的单调递增区间是(ci，3m)和(m, +

14、).9分要使 f(x) 在区间 (2m 1,m +1) 上单调递增，应有m仁一 3m或2m -仁m ,解得m三或m 1.ii分4又m 0且m1 2m 一1,佗分即实数m的取值范围13分基本性质(川)在(I)的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f(x)3-x .单调区间(2012门头沟2)已知函数f (x) =X3 ax2 bx-1在X=1处有极值-1.(I)求实数a, b的值；(II)求函数g(x) =ax Inx的单调区间(2012东1)已知x =1是函数f (x) =(ax2)ex的一个极值点.(I)求实数a的值；()当 x1, x2 - 0,2 1 时，证明：f (xi) -

15、f(X2)冬 e实用(2012西城一模)如图，抛物线 y =x2 9与x轴交于两点A,B，点C,D在抛物线上(点C在第一象限)，CD / AB .记|CD | = 2x，梯形ABCD面积为S .(I)求面积S以x为自变量的函数式；(n)若LCD! _ k，其中k为常数，且0 ： k ： 1，求S的最大值. | AB|2(I)解：依题意，点C的横坐标为x，点C的纵坐标为yC - -x :;9 .1分2点B的横坐标xb满足方程-Xb 9二0，解得xb = 3，舍去Xb 二-3 . 2 分 所以 S -(ICD ! ! AB !) yC =*(2x 2 3)(x2 9) = (x 3)(x2 9).4分由点 C在第一象限，得0 c x c 3.2所以S关于x的函数式为 S = (x+3)(x +9)，0cxc3.0 ： x 3,(n)解 :由及 0 ： k : 1，得 0 ： x 乞 3k .记 f (x) =(x 3)( X29), 0 ： x _3k8分9分则 f (x)二-3x2 6x 9 = 3(x 1)(x 3).令 f