实变函数试题库及参考答案

1、实变函数试题库及参考答案(5 )一、填空题1设A, B为集合，则AUB _(B A)UA2设ERn，如果E满足E0 E (其中E0表示E的内部)，贝U E是3设G为直线上的开集，若开区间(a,b)满足(a,b) G且a G,b G，则(a,b)必为G的4设A x|x 2n,n为自然数，则A的基数_ a(其中a表示自然数集 N的基数)5设A, B为可测集，B A且mB ，则mA mB_m(A B)6设f (x)是可测集E上的可测函数，则对任意实数a, b(a b)，都有Ex a f(x) b是7若E( R)是可数集，则mE_O8 设fn (x)为可测集E上的可测函数列，f (x)为E上的可测函数

2、，如果a.efn(x)f(x) (x E)，则 fn(x)f (x) X E (是否成立)二、选择题1设E是R1中的可测集，(x)是E上的简单函数，则 ()(A)(x)是E上的连续函数(B)(x)是E上的单调函数(C)(x)在E上一定不L可积(D (x)是E上的可测函数(A) AI (BUC) (AI B)U(AI C)(B) (A B)I A2 下列集合关系成立的是()(C) (B A)I A(D) AUB AI B3若ERn是闭集，则 ()(A) E0 E(B) E E(C) EE(D) EE三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案)1设E 0,1中的有理点，则()(A)E是可数集(B

3、)E是闭集(C)mE 0(D)E中的每一点均为E的内点2若E( R)的外测度为0,则()(A)E是可测集(B)mE 0(C)E一定是可数集(D)E一定不是可数集3设mE， fn(x)为E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，如果fn(x)f(x),(x E)，则下列哪些结果不一定成立()(A) e f(x)dx存在(B) f (x)在 E上 L-可积a.e(C) fn(x) f (x)(x E)(D) lim fn(x)dx f (x)dxnEE4若可测集E上的可测函数f (x)在E上有L积分值，则()(A) f (x) L(E)与f (x) L(E)至少有一个成立

4、(B) f (x) L(E)且 f (x) L(E)(C) | f (x)|在E上也有L-积分值(D) | f(x)| L(E)四、判断题1. 可列个开集的交集仍为开集（）2. 任何无限集均是可列集（）3设E为可测集，则一定存在F集F，使F E ,且mEF 0.（）4.设E为零测集，则f x为E上的可测函数的充要条件是： 实数a都有E x| f（x） a是可测集（）五、定义题1. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？2. 可测集E上的可测函数与连续函数有什么关系?3. a,b上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系?六、计算题1设 D x1 x为0,，上的有理点0 x为0,上

5、的无理点，求 D x dx.0,12.求 limnIn x n xe cosxdx .0n七、证明题1设E Rn是有界集，则m*E2. R1上的实值连续函数 f (x)是可测函数3.设 mE，函数f(x)在E上有界可测，则f(x)在E上L 可积，从而a,b上的连 续函数是L 可积的4设fn(x)( n 1,2丄)是E上的L可积函数，如果lim|fn(x)0x 0，则fn(x)0nEn实变函数试题库及参考答案(2)本科一、填空题1.= 2. 开集3.构成区间4.= 5.= 6.可测集 7.= 8.不一定成立二、单选题1. D2.A3.B三、多选题1.AC 2.AB 3.ABCD 4.AD四、判断

6、题xxW五、定义题1.答：设fn x , f x是可测集E上的一列可测函数，那当 mE 时，fn x f x ,a.e于 E，必有 fn x f x反之不成立，但不论mE还是mEfn x 存在子列札X ，使xf x ,a.e于 E.因为a, b上的连续函数是有界可测函数，所以L 可积的x近一致收敛于当mE 时，fn x f x ,a.e于E，由Egoroff定理可得fn f x ，反之，无需条件 mE，结论也成立.E上可测函数在2. 答：E上连续函数必为可测函数但E上的可测函数不一定时连续函数，E上是“基本上”连续的函数3. 答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数六

7、、解答题1.证明记E1是0,1中有理数集，E2是0,1中无理数集，则0,1巳 ue2,巳 I e2，mE10, mE21，且 D x 1 R 0Ei所以D x dx 1mE10,10mE20.2.解易知limnln x nxe cosx 0对任意0,nIn x n x e cosx nInf(y)In xy 0，则 f (y)yln x yx y2yln x y ， f (y)0.则 f(n)ln x n是单调减函数且非负（n 3）；又limlimnIn x nlimn x nIn x n dx0，由Levi单调收敛定理得In x nlim dxo 0dxln x n0，即卩nL(E),再由L

8、ebsgue控制收敛定理得limnln x n xe cos xdx nlimnln x n xe cos xdx n0 0dx 0七、证明题1.证明 因为E是有界集，所以存在开区间I，使E I由外测度的单调性，m*E m*I，而m*l | I | (其中11 |表示区间I的体积)，所以m*E2. 证明 因为f(x)连续，所以对任何实数 a，x| f (x) a是开集，而开集为可测集，因此f (x)是可测函数3. 证明 因为f(x)在E上有界可测，所以存在M 0，使|f(x)| M，x E，| f(x)|是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，e| f (x) |dx EMdx M mE故| f (x