圆锥曲线的弦长公式及其推导过程

1、圆锥曲线的弦长公式及其推导过程关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y kx b代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标 A xi, yi ,B X2, y，利用韦达定理及弦长公式 (1 k2)(x1 x2)2 4x1x2求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与 曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较 而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为 简捷.一、椭圆的焦点弦长2 2若椭圆方程为X2y21(a b 0)，半焦距为c0,焦点Fi( c,0), F2(c,0)，设过Fia2b2的直线I

2、的倾斜角为,l交椭圆于两点Axi,yi ,B X2,y2 ,求弦长|AB .解：连结 F2A, F?B，设 RAI x,|Fi B|由椭圆定义得|F2A2a xFqB 2a y，由余弦定理得x2(2c)2 2x 2c cos (2ax)2，整理可得xb2，同理可求a c cosb2得ya c cos，则 |ab|b2b22ab2x y22 厂；a c cos a c cos a c cos同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为AB2ab22 22a c sin(a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距)结论：椭圆过焦点弦长公式:AB2ab2222a c cos2ab2a2c2 sin2(焦点在x轴上)

3、,(焦点在y轴上).二、双曲线的焦点弦长2 2设双曲线x2y21 a 0,b 0,其中两焦点坐标为F, c,0）, F2（c,0），过Fi的直线I的a b倾斜角为，交双曲线于两点Axi，yi ,B X2，y2，求弦长|AB|.b解： (1)当 arctan aarctan 时，（如图 2） a直线I与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连FqAB，设|FiA x,|FiB由双曲线定义可得F2A x 2a, F2By 2a，由余弦定理可得x2(2c)2 2x 2c cos (x 2a)2, y2(2c)2 2y 2c2cos( ) (y 2a)整理可得xa c cosy a ccos，则可求得弦长

4、a c cosc cos2ab22 2 2 a c cos时，如图3,b arcta n aarcta nb 或a直线l与双曲线交点A X1,y1 ,B X2,y2在两支上，连FAF2B,设|戸円 刈尺耳y,则F2A x 2a,|F2B y 2a，由余弦定理可得X2 (2c)2 2x 2c cos (x 2a)2, y2 (2c)2 2y 2c cos (y 2a)2,整理可得，xb2b2ccos a，yc cosb2b2AB y xc cos a c cos2ab22 2 .cos a因此焦点在x轴的焦点弦长为AB2ab22 2 2 a c cos 2ab22 2 c cosa2(0b (a

5、rcta n a arcta n b 或 ab arcta n-),ab arcta na).同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式2ab2AB a2 2 (0 c sin2ab22 . 2 2 c sin aarcta n b 或 a(arcta n aarctan?a arcta n). a),其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距,为AB的倾斜角.三、抛物线的焦点弦长若抛物线y2 2px(p 0)与过焦点F(号,0)的直线1相交于两点AXl，yi，Bx2，y21的倾斜角为，求弦长|AB|.(图4)图4解：过A、B两点分别向x轴作垂线AA、BB, A、B为垂足，设I FA x,|FB则点A的横

6、坐标为x cos，点B横坐标为子ycos，由抛物线定义知x cosy cosy,即x P1 cosp1 cosp1 cos1 cos2p1 cos22p 2sin同理2px(p 0)的焦点弦长为AB2p 2 sinx2 2py(p 0)的焦点弦长为AB 2二，所以抛物线的焦点弦长为cos2p (焦点在X轴上),IABsi22P (焦点在y轴上). cos由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握圆锥曲线的弦长公式一、椭圆：设直线与椭圆交于R(xi,y i),P2(X2,y2),且PR斜率为K,贝U|P iP2|=|x 1-X2| (1 K2)或|PiP2|=|y

7、1-y 2| (1 1/K2) K=(y 2-y i)/(x 2-x 1)=.(1 k2)(X1 X2)2 4x1X2二、双曲线：设直线与双曲线交于P1(X1,y1),P2(X2,y2),且RR斜率为K,贝U|P 1P2FIX 1-X2I (1 K2)或尸刊二“ 1-y2| (1 1/K2) K=(y2-y 1)/(x 2-X1)=.(1 k2)(x1 X2)2 4x1X2三、抛物线：(1) 焦点弦：已知抛物线y2 =2px,A(X1,y1),B(x 2,y,AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x 1+X2+P 或 |AB|=2p/(sin 2) 为弦 AB的倾斜角或AB| 2Pk2 (k为弦AB所在直线的斜率)1 k(2) 设直线与抛物线交于R(X1,y