大一高数复习资料

1、第一章函数与极限第一节函数O邻域（去心邻域）U a,x| x aoU a,x 10 x a第二节数列的极限O数列极限的证明【题型示例】已知数列xn，证明 lim xna【证明示例】N语言1由Xna化简得n g ,N g2.即对0,Ng，当nN时，始终有不等式Xna成立，lim xnax第三节函数的极限Xx0【证明示例】语言1由f XA化简得0X X0gg2.即对寸0,g ,当0XX0时,O xx0时函数极限的证明【题型示例】已知函数 f X，证明lim f x Alim 一 x sinx（特别地,lim x 0 sin xlimlx 0sin xxlim也x xox x0O单调有界收敛准则第二

2、个重要极限:（一般地，limlim f x 0)【题型示例】求值:【求解示例】解：limx2x 32x 1xo)lim2x 1lim2x 1limxlimxlimlim g x，其中2x 122x 12x 2lim2x 1 2x 1e2x2x 1lim红x 2x2x 12x 12 2x 1lim2 x 12 x 12lim2x 12xlim1x 122x 122x 121 x 12x 1lim2x 1e2 xh1X始终有不等式 f x A 成立, lim f x AX x0O X时函数极限的证明【题型示例】已知函数f X，证明lim f x AX【证明示例】X语言1由f x A化简得：x g

3、,Xg2.即对0, X g，当|x X时，始终有不等式f x A成立，- lim f x AX极限存在准则及两个重要极限第四节无穷小量与无穷大量O无穷小与无穷大的本质函数f x无穷小 lim f x 0函数f x无穷大 lim f xO无穷小与无穷大的相关定理与推论（定理三）假设f x为有界函数，g x为无穷小，则 lim f x g x 0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f x 为无穷大，则f 1 X为无穷小；反之，若f X为无穷小，且f x 0,则f 1 X为无穷大【题型示例】计算：lim f x g x （或x ）x x01 . f x W M 函数f x在x x0的任一去心O夹逼

4、准则第一个重要极限：lim1x 0 Xc.sin x 0, si nx x tanx lim12x 0 x邻域U x0,内是有界的；（t f x w M，函数f x在x D上有界；）2. lim g x 0即函数g x是x x0时的无穷小；x x022211(lim g xx3 由定理可知0即函数时的无穷小;解:limxlimx x（lim f xx无穷小量的阶O等价无穷小（2帅2x 32x 1lim空丄x 2x 1士丄X 12 2x 12x 12帅2x 12x2x 12x 12x 1P65/P77)3xtan x sin x 2 （外加此公式）（乘除可替，加减不行）In 1 x xln 1

5、xlim厂x 0 x2 3x2呵lim2x 1e【题型示例】求值:【求解示例】解：因为x 0,即x0,所以原式 limln1 x2 xln1 x0 - 22x 22x 11 x In 1 x limx 0 xx 322x 12x 12limx 12x 1lim2x2x 121e1 x x lim x 0 xx 3x 3 I ox 3 X2【求解示例】解：因为 x式 lim x-3limx 3 x 9 x 3 x【题型示例】求值limxx 1 lim x 0 x 33x13第五节函数的连续性o函数连续的定义lim f x lim fx x0x x0o间断点的分类第一类间断点（左右极Xo限存在）跳

6、越间断点可去间断点（不等）（相等）93，从而可得xx 3lim3x3 x 3x 33，所以原1x 3牛亠的可去间断点）x 9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：0x 3 0 x 3解：lim 2 limx 3 x 9 L x 3（其中x 3为函数f x第二类间断点 无穷间断点（极限为）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）e2xx 0f X, x 0应该怎样选a xx 0【题型示例】设函数择数a，使得【求解示例】成为在R上的连续函数?lim 丄-x 3 2x 6o连续函数穿越定理 （定理五）若函数x2 9（复合函数的极限求解） f x是定义域上的连续函数,么，lim fX xf

7、 lim xX x0【题型示例】求值:【求解示例】lim J 3 Jim 手 3x 3Yx2 9 Vx 3x2 9x 12x 3limx 2x 1【题型示例】求值:【求解示例】1 .6f 01 f 0e202 由连续函数定义e1elimx 0lim f xx 0闭区间上连续函数的性质O零点定理【题型示例】证明：方程f介于a与b之间【证明示例】1.（建立辅助函数）函数闭区间a,b上连续;g x C至少有一个根2 . a b 0 (端点异号)3 .由零点定理，在开区间a,b内至少有一点4 这等式说明方程C在开区间a,b内至少有一个根第二章导数与微分第一节 导数概念（导数公式表 P111）O高等数学

8、中导数的定义及几何意义解：yarcs inearcsi 门.歼 1 22eXa2a2处可导，求a,b【求解示例】1. f 001f 0ef 0af 0f 02由函数可导定义f0f0 a 1,b2【题型示例】求yf X在X【题型示例】已知函数f XX e1X0亠c在x 0axbX000 “e1e 12be0 12f 0 a 1f 0 f 0 b 2（或：过y f x图像上点a, f a处的切线与法线方程）【求解示例】1. y f xy |x af:a2.切线方程：yf af a x a法线方程：yf a1x af aa处的切线与法线方程第二节求导的基本法则O函数和（差）、积与商的求导法则1. 线

9、性组合（定理一）：（u v） u v特别地，当1时，有（u v） u v2. 函数积的求导法则（定理二）：（uv） u v uv3函数商的求导法则（定理三）：uu v uv2vvO反函数的求导【题型示例】求函数 f 1 X的导数【求解示例】由题可得 f X为直接函数，其在定于域 D上单调、可导，且 f x 0 ； f 1 XO复合函数的求导法则（P习题2.2）【题型示例设y in earcsi厂x_a2，求y【求解示例】arcs in. ：x2 1ee2 Xarcsine 2xarcs in x2 1 e1arcsin . x2 1eXXarcs in :：x2 122e. x a,X21、2

10、 X2i 22x ax22 aO f n Xf n1X（或nn 1d y d y ) dxdx【题型示例】求函数 yln 1X的n阶导数1【求解示例】y1X11 X12y1 x11X23y11 x121 x高阶导数y n （ 1）n（n 1! （1 X） n第三节隐函数及参数方程型函数的导数 O隐函数的求导（等式两边对 X求导）【题型示例】试求：方程y x ey所给定的曲线 C :y y x在点1e,1的切线方程与法线方程【求解示例】由y x ey两边对x求导即y xey化简得y 1 ey y11y11 e1e切线方程：y11x 1 e1 e法线方程：y11 e x 1O参数方程型函数的求导【

11、题型示例】设参数方程x t，求dyy t dxd2ydy【求解示例】1. dyt 2.dxtdxdx2t第四节函数的微分A 属于两大基本不定型（9,）且满足条件,0则进行运算：limx a g xO基本初等函数微分公式与微分运算法则dy f x dx第六节微分学中值定理O罗尔定理（1）在闭区间a,b上连续（2）在开区间（a,b ）内可导（3）f（a）=f（b）则至少存在一点在（a,b ）使f（x）内可导O拉格朗日中值定理【题型示例】证明不等式：当x 1时，ex e x【证明示例】1.（建立辅助函数）令函数 f xex，则对 x 1 ,显然函数 f x在闭区间 1, x上连续，在开区间1,x上可

12、导，并且f xex ；lim x a g x（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B . 不属于两大基本不定型0 型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：【求解示例】解叽x l nxlim xa x 0(一般地，（转化为基本不定型）lim0叽X lnxln x1 lxln x lim0lim0X1x2xIn x0,其中x e1 ex 1e成立，又e1e，:x e ex 1 e e x e,化简得x ee x,即证得：当x 1 时，ex e x2 .由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式【题型示例】证明不等式：当x 0时，In 1 x x【证明示例】1.（建立辅助函数）令函数f x In 1

13、x，则对x 0 ,函数f x在闭区间0, x上连续，在开区1间0, 上可导，并且f x1 x2 .由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式ln 1 x ln 101 、x 0成立，1化简得ln 1 x1x，又0,x ,1f1 ,In 1 x1 x x,1即证得：当x 1时，ex e x第七节罗比达法则O运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤1. 等价无穷小的替换（以简化运算）2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比 达法则的三个前提条件【题型示例】求值:lim 1x 0 sinxx【求解示例】解: lim1 1x sinxxsin xlimlimx 0sin x xx 0 x sin xx 0

14、2 x000xsin x1 cosx01cosxsinx 亠limlimlimlim0L x 02 xx 0 2x Lx 02xx 02型（通分构造分式，观察分母）00型（对数求极限法）【题型示例】求值：lim xxx 0【求解示例】解：设y xx,两边取对数得：Iny ln xxxlnln xln x1x对对数取x 0时的极限:lim ln ylim lnx limx 0x 01 L x 0x1”lim ln ylim lim x 0,从而有 lim y lim e y ex 0e0 1x 01x 0x 0x 02x(4)1型(对数求极限法)【题型示例】求值：lim cosx sinx xx

15、 0【求解示例】解：令y1cosx sinx x,两边取对数得In yIn cosx sinx对In y求x0时的极限，limln yx 0In cosx sinx limx 0f x00f xZ极大值极小值Z4 .函数f x的单调递增区间为,1 , 2,00 ln cosx sinx limL x 0x” cosx sinx limx 0 cosx sinx1 0F 01,从而可得lnylim lny1lim y= lim el yex 0 e1 ex 0 x 00型（对数求极限法）tanx1【题型示例】求值：limX 0 x【求解示例】tan x11解：令y -，两边取对数得lny ta

16、nx ln -xx对ln y求x0时的极限，xim0lnylim tan x lnx 0单调递减区间为1,2【题型示例】证明：当 x0时,xe x 1【证明示例】1.（构建辅助函数）设xexx 1 ,(x 0)x2.x e1 0,(x 0)x0 03 .既证：当x0时，xe x1【题型示例】证明：当 x0时,In 1 xx【证明示例】1.（构建辅助函数）设xln 1 xx , ( x 0)moH XXlnXln1lim x 0sec xtan2 xX2sinmoH X从而可得lim y= lim e yx 0 丿 x 0cosx0,13 .既证：当x 0时，In 1 x xO连续函数凹凸性【题

17、型示例】试讨论函数y 1 3x2 x3的单调性、极值、 凹凸性及拐点【证明示例】O运用罗比达法则进行极限运算的基本思路0（i）0001y3x6x3x x 21 .y6x6 6x1入y3xx 20为 0,x222 .令解得：y6x 10x 1通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前） 第八节函数形态研究O连续函数单调性（单调区间）【题型示例】试确定函数f x 2x3 9x2 12x 3的单调区间【求解示例】1.V函数f X在其定义域R上连续，且可导2 f x 6x 18x 122 .令 fx 6x1x2 0，解得：

18、x1 1,x2 23.（三行表）x,111,222,3 .（四行表）x(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y070y/PIy IV1JI(1,3)54 .函数y 1 3x2 x3单调递增区间为（0,1）, （1,2）单调递增区间为（，0） , （2,）;函数y 1 3x2 x3的极小值在 x 0时取到， 为 f 01,极大值在x 2时取到，为f 25;函数y 1 3x2 x3在区间（,0） , （0,1）上凹, 在区间（1,2）, （2,）上凸；函数y 1 3x2 x3的拐点坐标为 1,3函数的极值和最大、最小值O函数的极值与最值的关系设函数f x的定义域为 D，如果 xM的某个邻o域U

19、 xMD，使得对x U Xm ，都适合不等式f X f Xm ，我们则称函数 f X在点XM, f XM处有极大值 f Xm ；令 XM XM1, XM 2，XM3，.，XMn则函数f X在闭区间a,b上的最大值 M满足:假设在定义区间I上，可导函数F x的导函数 为F x ,即当自变量x I时，有F x f x或maX f a , XM 1, XM 2 , XM 3 ,., Mn , f b设函数f x的定义域为D ,如果Xm的某个邻域U XmD ,使得对 XoU xm，都适合不等dF x f x dx成立，则称 F x为f x的一 个原函数原函数存在定理：如果函数f x在定义区间I上连续，

20、则在I上 必存在可导函数 F x使得F x f x，也就是 说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念在定义区间I上，函数f x的带有任意常数项C的原函数称为f x在定义区间I上的不定积分， 即表示为： f x dx F x CXm，f X称为被积函数，f X dx称 x则称为积分变量）我们则称函数f X在点xm, f xm 处有极小值Xm；令Xm则函数f XXm1, Xm2 , Xm3，Xmn在闭区间a,b上的最小值 m满足:m min fa , Xm1, Xm2 , Xm3，,【题型示例】求函数x 3xXmn,f b ；x3在 1,3上的最值（ 称为积分号，为积分表达式，O基本

21、积分表（P208、P213很重要）O不定积分的线性性质（分项积分公式）k f x k2 g x dx k1 f x dx k2 g x dx 换元积分法O第一类换元法（凑微分）（P226）（dy fdx的逆向应用）x dx【求解示例】1.v函数f在其定义域1,3上连续，且可导【题型示例】求3x22.令 f x【求解示例】1解： dxa x1,X2【题型示例】arcta显 C a aX11,111,3f X00f X极小值Z极大值解得：X13.（三行表）a1 dx 2x 14又 f 12, f12, f 318- f X max函数图形的描绘2,f Xm.f 318第三章一元函数积分学第四节不定

22、积分的概念与性质（积分表P208/P213）O原函数与不定积分的概念原函数的概念：【求解示例】解：f 1 dx2x 1.2x 1 CO第二类换元法（去根式 P216）（dy f x dx的正向应用）对于一次根式（a 0,b R ）：1 d 2x .2x 12 2x-d 2x 11 ax b :令 t ax b，于是则原式可化为t对于根号下平方和的形式（aa2 x2 :令 x ata nt （-2t2x 一0 ）：t 2），x于是t arctan，则原式可化为a对于根号下平方差的形式（aasect解：exx2dx2 x2 x 2 xx e dx x de x e0 ）：exdx x2ex 2 x

23、 d exa. a2 x2 :令 x a si nt （2xexx2 xe dx x e2xex 2ex【题型示例】求ex sin xdxn- x是t arcsin，则原式可化为aa cost【求解示例】解: e sin xdxxe d cosxxe cosxcosxdb. x2 a2 :令 x asect （ 0【题型示例】aarccoA，则原式可化为x1dx （一次根式）2xata nt ；xe cosxxe cosxxe cosxxxe cosxdx e cosxxxe sinx sinxd exxe sinx e sin xdx即：ex sin xdxxx .e cosx e sin

24、xsin xsin xd【求解示例】解: 1dx2x 1t J2TT1 21x t22 2dx tdt1 tdt dt t t【题型示例】求a2 x2dx（三角换元）【求解示例】解：a2 x2 dxex sin xdx【题型示例】兰 t Isin2t2 2a sint（刁 t _）xt arcs in _adx a cost2C t22 2 xa cos tdtsin t cost C2a1 cos2t dt2【求解示例】2dxx 1xdxO分部积分法设函数U（P228）f x , vx具有连续导数，则其分部积分公式可表示为:udv uv vdu分部积分法函数排序次序：O运用分部积分法计算不定

25、积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序;就近凑微分：（v dx dv）使用分部积分公式：udv uv vdu“反、对、幕、三、指”展开尾项 vdu v u dx，判断a .若 v udx是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b .若 v udx依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现 容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环， 则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求 ex x2dx【求解示例】1 x .e sin x cosx22xdx （构造法）x 11 x x 1

26、1dx1dxdxx 1O定积分的定义bnf x dx lima 01 1（f x称为被积函数,则称为积分变量，dxx 1i Xjln x 1 Cf x dx称为被积表达式，x a称为积分下限，b称为积分上限，a,b称为积分区间）O定积分的性质bf x dxaaf x dxabkf x dxa（线性性质）dux dxbk1 f x k2g xdxkibf x dxabk2 g x dxa（5）（积分区间的可加性）bcf x dx f x dxaa若函数f x在积分区间bf x dxca, b上满足f x 0 ,121（推论一）x dx若函数f x、函数g x在积分区间 a,b上满bb足 fx g x，贝U f x dx g x dx ；aabb（推论二） a f x dx a f x dxO积分中值定理（不作要求）微积分基本公式O牛顿-莱布尼兹公式（定理三）若果函数 F x是连续函数f x在区间0 2x 12 0 2x 121In5 In1ln 522（第二换兀法）设函数fx C a, b ,函数xt满足，使得a,b ;b.在区间,或，上，ft ,b则：fx dxfttdtt连续a【题型示例】求- 2 1 解: dx1 2丄 d 2x 1a,b上的一个原函数，则b f x dx FaO变限积分的导数公式（上上导一下下导）d xf t dtdx x【题型示例】