[信息与通信]通信网理论基础ch2 通信信源模型.ppt

1、第二章 通信信源模型和 M/M/1排队系统 2.1泊松过程 n2.1.1 Poisson过程 n下面通过描述到达电话交换机的呼叫流 来引入Poisson过程。 n到达交换机的电话呼叫流或顾客在一定 条件下满足下面几个条件： n（1）平稳性:在区间 内有k个呼叫 到来的概率与起点a无关，只与时间区间 的长度有关，这个概率记为 n（2）无后效性：不相交区间内到达的呼 叫数是相互独立的； n（3）普通性:令 表示长度为t的区间 内至少到达两个呼叫的概率， 则 n（4）有限性：在任意有限区间内到达有 限个呼叫的概率为1，即 taa, )(),(tPtaaP kk )(t 1)( 0 tP k k )(

2、)(tot 0t n这种输入过程容易处理，并且应用广泛， 被称为Poisson过程。 n下面定理2-1描述了Poisson过程的特点， 并且（2-1）计算了在长度为t的时间内到 达k个呼叫的概率。 n定理2-1 对于Poisson呼叫流，长度为t的 时间内到达k个呼叫的概率 服从 Poisson分布，即 n ， （2-1） n其中 0为一常数，表示了平均到达率 或Poisson呼叫流的强度。 )(tP k e t k k k t tp ! )( )( , 2 , 1 , 0k n在参数t固定的情况下， 如果用 表达 内到的呼叫数 n例2-1：计算 的方差 和期望。 )(tNt , 0 )(tN

3、 nPoisson过程是一个很简单的随机过程， 有许多良好的性质，在一定条件下将被 用来模拟到达网络节点的电话呼叫流或 数据包流，模拟到达网络的各种信源。 nPoisson过程在任何时间区间内的到达率 都是一样，如果到达率随着时间变化， 在习题2.9中有一个广义Poisson过程，它 的到达率可以随着时间变化。 2.1.2 Poisson过程的性质 n性质2-1：m个Poisson流的参数分别 为 ， ， ，并且它们是相互 独立的，合并流仍然为Poisson流，且参 数为 。 n这个性质也就是说独立的Poisson过程是 可加的。 1 2 m m 21 n性质2-2：参数为 的Poisson流

4、 到达交换局A后，每个呼叫将独立去两个 不同方向，且去两个方向的概率分别为 n n则Poisson流被分解为两个独立的Poisson 流，参数分别为 21 21 和 i i P 2 , 1i 2.2 Poisson过程和负指数分布的关系 n随机变量X满足 ，或分布函 数为： n n这个分布被称之为参数 的负指数分布。 n这个分布的概率密度函数为： t etXP 0,1 tetXP t 0,)( tetf t x n例2-2：计算参数为 的负指数分布的均值 和方差 。 n关于负指数分布，有如下无记忆特性： n性质2-3：假定 服从参数为 的负指 数分布，对任意 有 n X 0, st sXPtX

5、stXP n这个性质实际上表明负指数分布的残余 分布和原始分布服从一致的分布，这个 性质也被称为无记忆性。 n可以证明具有性质（2-3）的连续分布一 定是负指数分布。 X n性质2-4：假设 为相互独立的两个负 指数分布，参数分别为 ，令 则： n（1） 是一个以 为参数的负指数 分布； n（2） 的分布和 谁是较小数无关； n（3） 21,T T 21, ),min( 21 TTT T 21 T i T 21 1 21 tTTTP n定理2-2：一个随机过程是参数 的Poisson 过程的充分必要条件为呼叫到达间隔 相互独立，且服从相同参数 的负指数分 布。 2 , 1,iX i 2.3生灭

6、过程 n生灭过程是一种特殊的离散状态的连续 时间马尔可夫过程，或被称为连续时间 马尔可夫链。 n生灭过程的特殊性在于状态为有限个或 可数个，并且系统的状态变化一定是在 相邻状态之间进行。 n生灭过程的极限解或稳态解有很简单的 形式。 生灭过程定义 n如果用 表示系统在时刻 的状态， 取非负整数值。如果 ，称在时刻 系统处于状态 。当满足下面几个条件 时系统称之为生灭过程。 n（a）在时间 内系统从状态 转移到 的概率为 ，这里 为在状态 的出生率； )(tNt )(tN ktN)(t k ),(ttt)0(kk 1k)( tot k k k n（b）在时间 内系统从状态 转移到 的概率为 ，

7、这里 为在状态 的死亡率； n（c）在时间 内系统发生跳转的 概率为 ； n（d）在时间 内系统停留在状态 的概率为 ； ),(ttt) 1(kk 1k )( tot k k k ),(ttt )( to ),(ttt k )()(1tot kk 生灭过程的状态转移图 生灭过程的稳态分布 n首先 ， 表示系统从 状态 经过时间 后转移到 的条件 概率，则 n )()(ktNPtpk)(tpik t i k 0 1)(, 0)( k ikik tptp 稳态分布必要条件 011 0 12 0 1 0 1 1 00 1 1,1, ,1,2,3,. (1) , (1) k k k kk k k kk

8、k k k pp k p ppp 令有 形式上，从而稳态分布为 ，。 极限定理 n定理2-3：对有限状态的生灭过程或对满 足条件 n n的可数状态的生灭过程，稳态分布存在， 且与初始条件无关。 k k k kk 1 n关于生灭过程中微分方程和稳态方程的 建立可以依照下面图2-3简单完成 2.4 M/M/1排队系统 2.4.1排队系统概念 n在实际应用中，有一大类被称之为随机 服务系统或排队系统。在这些系统中， 顾客到来的时刻与进行服务的时间都是 随机的，会随不同的条件而变化，因而 服务系统的状况也是随机的，会随各种 条件而波动。 n在电信网络中，交换机就可以看成一种 随机服务系统，对于不同的电

9、信网络， 未来将使用不同的排队系统模拟不同的 电信业务交换机进行分析。 n在下图的图2-4中表达了一个排队系统的 模型。 n在图2-4中，外界到来一个顾客流，当顾 客到达系统后，如果有空闲的服务员就 得到服务。如果没有空闲的服务员，有 两种可能情况，或者可以排队等待，或 者系统拒绝该顾客。 n要仔细描述一个排队系统，主要需要描 述3个方面的内容：（a）输入过程；（b） 服务时间；（c）排队方式等。下面使用 一个随机点移动模型来说明关于排队系 统的模型和假设 . 排队系统的假设 n在轴上有一些点从左向右做同速率的匀 速直线运动，图2-5中的 表示顾 客到达排队系统的到达间隔，它们均为 随机变量；

10、 表示不同顾客的服务 时间，它们也是随机变量，关于 ， 满足下面3个假设： , 2 , 1 tt , 2 , 1 ii t和 n（1） n（2） n（3） n在上面这个假设的基础上，排队系统将 相对容易处理并可以根据 将不同 的排队系统分类。 独立同分布； , 2 , 1,i i t 独立同分布； , 2 , 1,i i 独立；和 ii t ii t和 n首先，输入过程和服务时间可以分别使 用一个分布来表示；一般，M表示到达为 Poisson过程或服务时间为负指数分布， G表示一般分布，D表示确定性分布等等。 n在排队方式和队列的内容中主要包括服 务员的数目，系统中等待顾客的排队方 式和队列的

11、容量等。 n排队的方式可以有先进先出（FIFO）， 后进先出（LIFO），优先级服务和随机 服务等不同方式。 n队列的容量表示系统中对顾客总数的限 制，如果队列的容量和服务员数目相同， 表明系统不可以等待为即时拒绝系统； 如果队列的容量为无限大，系统为不拒 绝等待系统等。 n关于不同排队系统的记法采用肯德尔 （D.G. Kendall） 的记号A/B/C/D/E。A 表示输入过程；B表示服务时间；C表示 服务员数目；D表示系统的容量；E表示 排队规则，其中D/E的缺省表示容量无限 大和FIFO方式。如M/M/s， G/G/1等。 n对于排队系统到达率 ，服务 率 ，有时服务率也被称为离去率。

12、n对于排队系统的分析，主要希望得到： （1）队长分布或其各种统计值及其估计； （2）等待时间分布或其各种统计值及其估 计。 1 tE 1 E 2.4.2 Little公式 nLittle公式描述了任意排队系统满足的关 系，下面通过简单描述来说明该公式。 n如果 表示系统中的平均顾客数， 表 示顾客在系统中的平均时间（这个时间 有时也被称为系统时间）， 表示单位 时间到达系统的顾客数，对于任意排队 系统，有 NT TN 2.4.3 M/M/1 n假设M/M/1的到达过程为一个参数为 的Poisson过程，服务时间是参数为 的负指数分布，如果用系统中的顾客数 来表征系统的状态，容易验证这是一个 生灭过程，并且 k 0 , 2 , 1 0 k k k n 令 ，根据生灭过程的性质 n在 时 nM/M/1的队长分布 0 pp k k 1 1 1 1 p 1 0 k k )1 (p k k , 2 , 1 , 0k n稳态时，队长的均值和方差可以分别求 解如下： n顾客停留在系统中的平均时间 ： 1 )1 (p 00k k k k kkNE 22 2 2 2 2 0 2 )1 ()1 ()1 ( )(p NEkNVar k k 11 sE