导数的概念及运算

1、时磊忖呎导数概念及其意义自主梳理1 函数的平均变化率一般地，已知函数 y= f(x), xo, xi是其定义域内不同的两点，记Ax xi xo, Ay yi 时磊5说-yo= f(xi) f(xo)= f(xo+Ax) f(xo),贝V当 Ax丰 0 时，商=多称作函数y= f(x)在区间xo, xo + Ax(或xo+ Ax, xo)的平均变化率.2. 函数y= f(x)在x= xo处的导数(1) 定义：函数y= f(x)在点xo处的瞬时变化率 通常称为f(x)在x= xo处的导数，并记作 f，(xo)，即.(2) 几何意义函数f(x)在点xo处的导数 f， (xo)的几何意义是过曲线y =

2、 f(x)上点(xo, f(xo)的.导函数y= f (x)的值域即为切线斜率的取值范围.3. 函数f(x)的导函数如果函数y= f(x)在开区间(a, b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a, b)内可导,其导数也是开区间(a, b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作 .4.基本初等函数的导数公式表原函数导函数f(x)= Cf，(x)=f(x)= xa( a q )f， (x) =( a Q )F(x)= sin xf，(x)=F(x)= cos xf，(x)=f(x) = ax (a0,1)f，(x)=(ao,a工1)f(x)= exf，(x) =f(x) = logax(a

3、0, a* 1，且 x0)f， (x) =(a0, a 丰 1,且 x0)f(x)= In xf，(x) = 5.导数运算法则(1)f(x) (x) =；(2)f(x)g(x)=f x頁=g(x)丰 o.6.复合函数的导数(文科不要求)如果函数(X)在点x处可导，函数f (u)在点u= (x)处可导，则复合函数 y=(u)=f (x)在点x处也可导，并且或记作熟记链式法则若 y f (u),u=复合函数求导练习(f (x)/= f (x)yx= yu?ux(X)y=f (x)，则yx= f (u)(x)22x 3(2 x2)3 ；cos( x)；41 .在曲线y=1,门A . Ax + 2Ax

4、2.设y= x2 ex,则y等于A . x2ex+ 2x1y= x 2在点(a,3.若曲线a等于A. 644.若函数则切点的横坐标是In 2A . 2(X)x2+ 1的图象上取一点(1,2)及附近一点Ax-丄-2C. Ax+ 2AxB . 32y In x 2y sin x2In sin(3x1).Ay(1 + Ax, 2+ Ay),则为1 D . 2 + Ax-Ax(B . 2xexC. (2x+x2)a - 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则D . (x+ x2) exC. 16f(x) = ex + ae-x的导函数是奇函数，并且曲线y= f(x)的一条切线的斜率是3,In

5、 2C. 25.已知函数 f(x) = f cos x+ sin x,贝U fR =B . - In 2D .In 2时磊忖呎11(1)f(x)=在x= 1处的导数;Vx利用导数的定义求函数的导数:(2)f(x)=1x+ 2.探究点一利用导数的定义求函数的导数时磊论呎变式迁移1 求函数y= .x2+ 1在xo到xo+Ax之间的平均变化率，并求出其导函数.探究点二导数的运算2求下列函数的导数：(i)y= (1- .x) 1 + 1x ;In x尸 x ；(3)y= xex；(4)y = tan x.变式迁移2 求下列函数的导数：In x(1)y= x2sin x;(2)y= 3xex- 2x+

6、e;(3)y = +1入 I 1时磊Sr亦探究点四导数的几何意义1 34(1)求曲线在4已知曲线y= x3 + 3.点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.变式迁移4 求曲线f(x) = x3- 3x2+ 2x过原点的切线方程.时需Sr彳有效训练练1.求双曲线y丄在点(丄2)处的切线的斜率，并写出切线方程x 2练2.求y x准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1) 直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共

7、点.(2) 曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y= x3在其过(0,0)点的切线y= 0的两侧. 曲线的切线的求法：在点x 1处的导数.课堂陪练A . 12.已知函数A组基础达标.选择题：1 .f 是：)f(x) = x3 + 2x+ 1的导函数，贝U f -()的值是()B. 2C. 3D. 4f(x) = 3x2 , 则 f (x)的值 -定是()+X4.若函数ly/OA3A. X3B. X3 C. X3 +c (c 为常数)D. 3x+c (c 为常数 f /(X)的图象是(f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数X的是(/ 2013、A.(Xc)20122013x/COS

8、X、C. ()Xxsinx cosx2X5.已知曲线.填空题:(c为常数)B.D(X2l nx)2xlnx x(3X) 3Xln33ln x的一条切线的斜率为1,则切点的横坐标为(21C. 一,limf(1 x) f(1)x 0x,lim f(1 2x) f(叭x 0若 f/(1)2012，则 lim f(1 x) f x 0limf(1)f(1 x)=x 04 x函数y=(2x 3)2的导数为函数y e- x的导数为3.若函数f(x)满足，f(x) 1x3f (1) x2x,则 f (1)的值若已知曲线过点 P(xo, yo),求曲线过点P的切线则需分点 P(xo, yo)是切点和不是切点 两种情况求解.(1) 点P(xo, yo)是切点的切线方程为 y yo= f (xo)(x- xo).(2) 当点P(xo, yo)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P (X1, f(X1)；第二步：写出过 P (X1, f(X1)的切线方程为 y f(X1)= f (X1)(x X1);第三步：将点P的坐标(xo, yo)代入切线方程求出X1；第四步：将X1的值代入方程y f(x”= f (X