高中数学必修4知识点总结03三角恒等变换

1、高中数学必修4知识点总结03三角恒等变换【编者按】变换是数学的重要工具，在初中，接触过大量的只变其形不变其质”的代 数变换，本章要学习的三角恒等变换也是只变苴形不变英质”的，可以揭示某些外形不同 但实质相同的三角函数式之间的内在联系，是解决数学问题的重要手段。三角恒等变换的学 习，注重考察学生思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力 和综合分析能力。教材要求：用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其 他的三角恒等变换公式，能运用这些公式进行简单的恒等变换。1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin（a 土 0） = sinacos0cosasin 0 ；

2、cos 土 0) = cosacos0干sinasin 卩；远00)=竺空型1 + tan cr tan 0其中两角和与差的正切公式的变形：tan a-tan0 = tan(Q-0)(1 +tan a(an0)tan a +tan 0 = tan (a+ 0)(1-tana tan 0)2. 二倍角公式sin2a = 2sinacosa = 1 sin2a = sin2 a + cos2 a2sinacosa = (sincrcoscr)22 。 。 .0cos2a = cos a-siiT a = 2cos a-l = l-2sirT a=升幕公式 1 + cosa = 2 cos2 J c

3、ost? = 2 sin2 2 2存 八亠 ? cos 2a +1 . 1-cos 2a二 降幕公式 cos a =,sirr a =.2 2a2 tan atan 2a =1-tanker附注：在学习上述公式时应注意以下几点:（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉;（2）善于拆角、拼角如 Q = (a+0)-0,2a = (a + 0)+(G-0),2G+0 =(G+0)+Q（4）要时时注意角的范|卞3. 三角函数式的化简（1）常用方法：直接应用公式进行降次、消项：切割化弦，异名化同划，异角化 同角：三角公式的逆用等。（2）化简要求：能求岀值的应求出值：使三角函数种数

4、尽量少；使项数尽量少： 尽量使分母不含三角函数：尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幕公式.1 .，1-cos2a 1 + cos2asin a cos a = sin 2a, sin- a =,cos a =；2 2 2（2）辅助角公式asinx + bcosx = yja2 +b2 -sin（x4-）其中 sin （p = /, cos （p = 三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利 用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题：（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的 关键在于“

5、变角”，如a二（a + 0）-0,2a = （a+0）+（a-0）等，把所求角用含已知角的 式子表示，求解时要注意角的范羽的讨论：（3）给值求角：实质上转化为给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求 角的范用及函数的单调性求得角。 三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为 简、左右同一等方法，使等式两端化异”为同”，即利用三角公式进行化名，化角，改 变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用 代入法、消参法或分析法进行证明。（3）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反

6、证法、分析法，利用函数的单调性,6. 解答三角恒等变换髙考题的策略（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。7. 变为主线、抓好训练变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是.在训练中，强化变意识是关键，但题目不可 太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行 归类，并进行分析比较，寻找解题规律。8. 三角恒等变换相关的拓展知识（1）半角公式与万能公式:万能公

7、式:1 tan2 21 + W 2a2tan sin a =2; cos a =1 + tarr 2积化和差公式：sin a - cosp = + sin (a + 0)+ sin(a /?)1 厂.-1cos a sin 0 = sin(a + /?) sin(a Q)cos a cos P = cos ( a + 0) + cos (a - /?)sin a - sin /7 = cos (a + 0) cos (a - 0 )2L J和差化积公式： c a +卩 cc psin a+sin 0 = 2 sin cos2 2 c a + Q . ct 卩sin a sin 0 = 2 co

8、ssin2 2门 ca + Qa Bcos a+ cos 卩=2 coscos22cos a cos p 2 sin 十sin _2 2(2)三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设 条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: 1)角的变换:在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与 角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：22負数名魏轍:三角变形中，常常需要变函数冬称为同名函数。如在三角函数中正余弦 是基础，通常化切为弦，变异划为同夕z3

9、、)赏数代換:在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如 常数“L的代换变形有：1 =sin公武变羽:三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。(3) 常用的三角恒等式sin 3a = 3 sin a-4sin5 acos 3a =4cos a-3cosasin2 a-sin2 0 = sin(a + 0)sin(a-0) = cos2 0-cos act创 sin 2%cos a cos 2a cos 4a.cos 2 a =: n+l sin a aaasin acoscos - cos= 82n a + cos a = tan a cot a = sin 90 = tan 45占 aaI cos = cos 丄丄*942摄的变換:降幕是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幕处理 的方法。工 cos(.v += COS A + cos(x + )+ + cos(x + nd)=sin(?i + l)d) cos(.v + /u/)sin d. z . z 八.z 八 sin(?i + l)J)sin(A + ?u/)sin(x += sin x + sin(A* + )+ +