项式定理典型例题解析

1、二项式定理概念篇【例1】求二项式（a 2b）4的展开式 分析：直接利用二项式定理展开解：根据二项式定理得(a 2b) 4=C4 a4+C a3( 2b)+C 2 a2( 2b) 2+C； a( 2b) 3+C：( 2b)4432. 2. 3. 4=a 8a b+24a b 32ab +I6b .说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把2b中的符号“”忽略【例2】展开（2x 2x分析一：直接用二项式定理展开式解法一：(2x 2；2)5=C5(2x)5+Cl5(2x)4( - 2；2)+C5(2x)3( - 2；2)2+C3(2x)2(-)3+C4（2 x）（-敖炖-知=32x5 120x

2、2+ I80x135 405243+ x48x732x10解法二：35-加(新132x10=32x5 120x2+ 180x135 + 405x4 8x7243顽.分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开C5(4X) +C；(4X) ( 3)+cf (4x) ( 3) +C；(4x) ( 3) +C：(4x)( 3) +C5( 3)5(1024 x15 3840x12+5760x9 4320x6+1620x3 243)32 x10说明：记准、记熟二项式（a+b）n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件 对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便【例3】在（x . 3 ）10的展

3、开式中，x6的系数是_.解法一：根据二项式定理可知x6的系数是C：0.解法二：（x、.3）10的展开式的通项是 Tr+1=C；0x10 r（ 、. 3）r.令10 r=6，即r=4,由通项公式可知含 x6项为第5项，即T4+1=C：0x6（ ,3 ） 4=9C40x6. x6的系数为9C：0.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含x6这一项系数，而不是求含x6的二项式系数，所以应是解法二正确如果问题改为求含 x6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C。.说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项

4、数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关【例4】已知二项式(3 x )10,3x(1) 求其展开式第四项的二项式系数；(2) 求其展开式第四项的系数；(3) 求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式解：(3 、* )10的展开式的通项是 Tr+i=C；0(3 . x)10r( -2)r(r=0, 1，10).3x3x(1) 展开式的第4项的二项式系数为c30=120. 展开式的第4项的系数为C30 37( - )3= 77760. 3展开式的第 4项为77760(、. X ) 74，即77760 .一 x .x说明：注意把(3、x -2)10写成3、x+( A): 10,从

5、而凑成二项式定理的形式.3x3x【例5】求二项式(x2+ 1 )10的展开式中的常数项.2Jx分析：展开式中第r+1项为C；0(x2)10( 1 )r，要使得它是常数项，必须使“x”的指2Jx数为零，依据是x0=1, XM 0.解：设第r+1项为常数项，则“CM*(二十和205r 1 r2 （丄）（r=0, 1,2510），令 20 r=0,得 r=8.2 丁勺兀飪1).2256第9项为常数项，其值为空.256说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr+1中的变元的指数为零的方法求得常数项【例6】(1)求(1+2 x)7展开式中系数最大项；(2) 求(1 2

6、x)7展开式中系数最大项.分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式， 列出相邻两项系数之间关系的不等式，进而求出其最大值.解：(1)设第r+1项系数最大，则有C72rC712r 1,C7 12r 17!2r7!2r 1即 r!(7r)! (r1) !(7r1)!7!2r7!2r 1r !(7r)!2 (r1)!(7r1)f2 1, r化简得r 8 r解得1 2 r7 r r 1163 ,3 又/ 0 0时，把三项式（x+丄2）n转化为X 1 ）2n;当x v 0时,xJx1同理（x+ 2）x=（1）n（ .X 1）2n.然后写出通项，令含x的幕指数为零，进而解出n.Jx解：当 x0 时，（

7、x+丄2） n=（ . x 1xJx其通项为 Tr+1=C2n（ x ） 2n r（ ：）=（ 1）Cn（ , x ） 2n 2r）2n,令2n 2r=0，得n=r ,二展开式的常数项为（1）rC；n;1xn2n 逐个代入，得n=3.当 x v0 时，（x+丄2） n=（ 1）n（ .x 1 ）2n.同理可得,x无论哪一种情况，常数项均为 （1）rC令（一1）rC；n=20.以 n=1, 2, 3，：说明：本题易忽略 xv0的情况.【例19】利用二项式定理证明（-）3展开式的常数项为（一1）rC；n.分析：2不易从二项展开式中得到,n 1证明：欲证（？）n3而（-）n1=（1+ 1）2 2可以

8、考虑其倒数=1 +呼+仑1（）2+2 2 .21v Z成立，只需证（3）n 1n 1211 =c0 +C11+C2 （丄）=Cn 1 +Cn 1 +Cn 1（二）2 21（1 ）n-11（2）+Cnn 12-成立.1 nv2n 1 , 1、n-1+Cn 1（）2说明：本题目的证明过程中将（|）n-1转化为（1+ 1 ）n1，然后利用二项式定理展开式是2解决本问题的关键【例20】求证：K （1+ -）nv 3（ n N*）.n分析：（1+ -）n与二项式定理结构相似，用二项式定理展开后分析n1 n证明：当n=1时，（1+） =2.n当 n2时，(i+ i)n=i+cii+cn 12+ +c；()

9、n=i+i+c2厶+cn(-)n2.nnnnnn又4(丄)k= n(n1) (n k! nkk1) w1;?nk!所以(1+ 1)nw 2+1+1 +1 + -c11v 2+ -1+n2!3!n!12 2 3(n 1) n1=2+(1 -丄)+( 1-1)+ -+(1-1 )223n1 n=3- 1 v 3.n综上有2w (1+丄)nv 3.n说明：在此不等式的证明中，利用二项式定理将二项式展开，再采用放缩法和其他有关知识，将不等式证明到底【例21】求证：对于 n N*, (1+ !)nv(1+ 丄 )n+1. nn 1分析：结构都是二项式的形式，因此研究二项展开式的通项是常用方法证明：(1+

10、 l)n展开式的通项 仏心丄二一nn r !n_ 1 n(n 1)(n 2) (n r 1)=门孑=丄(1-丄)(1 - 2)(1 -).r ! n nn(1+丄)”1展开式的通项T r+!=Cn 1=n 1n 1 (n 1)r r!(n 1)r=丄 n(n 1)(n 2) (n r 1)r !nr112r 1=丄(1 丄)(1 亠)(1 -)r ! n 1n 1n 1由二项式展开式的通项可明显地看出Tr+1V T r+1所以(1+l)n v (1+丄)n+1nn 1说明：本题的两个二项式中的两项均为正项，且有一项相同证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明【例22】设a、b、

11、c是互不相等的正数，且a、b、c成等差数列，n N,求证：an+cn 2bn.分析：题中虽未出现二项式定理的形式，但可以根据a、b、c成等差数列创造条件使用二项式定理证明：设公差为 d,则a=b-d, c=b+d.n nnnnna+c -2b =(b-d) +(b+d) 2b=:bn- C1 bn- 1d+c2 bn-2d2+ +( 1)ndn: + : bn+Cn bn- 1d+c2 bn-2d2+ + d：=2(cn bn-2d2+cn bn-4d4) 0.说明：由a、b、c成等差，公差为d,可得a=b d , c=b+d ,这就给利用二项式定理证 明此问题创造了可能性.问题即变为（b d

12、）n+（b+d）n2bn ,然后用作差法改证（bd）n+（b+d）n 2bn 0.【例23】求（1+2x 3x2）6的展开式中X5项的系数.分析：先将1+2x 3x2分解因式，把三项式化为两个二项式的积，即（1+2x 3x2）6=（1+3x）6（1 - x）6.然后分别写出两个二项式展开式的通项，研究乘积项X5的系数，问题可得到解决.解：原式=（1+3x）6（1 x）6,其中（1+3 x）6展开式之通项为 Tk+i=C：3kxk, （1 x）6展开式之通项为 Tr+i=C6( x)r.原式=(1+3x) 6(1 x)6展开式的通项为 Ck C6( 1)r3kxk+r现要使k+r =5,又T k

13、 0 ,1, 2, 3, 4, 5,6 , r 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6,必须k 0,或r 5k 1,或 k r 4 r2,k3k或或3r2r4,或 k 5,1 一 r 0.故 x5项系数为 c6 30c5（ 1）5+c631c4（ 1）4+c：32c6（ 1）3+c3 33c2（ 1）4+c4 34c6（ 1）+c 635c6（ 1）0= 168.说明：根据不同的结构特征灵活运用二项式定理是本题的关键【例24】（2004年全国必修+选修1）（ .X 丄）6展开式中的常数项为（）XB. 15D. 20L 63 -r解析：Tr+1=( 1)rc；( .x)6rxr=( 1)rc；

14、x 2,当 r=2 时，3 - r=0 , T3=( 1)2c6=15.2答案：A【例25】（2004年江苏）（2 X+ x ）4的展开式中x3的系数是（）B.12解析：Tr+1=( 1)rc4( x )4r(2x)r=( 1)r2rc4xr当 r=2 时，2+丄=3 , T3=( 2) 2C2 =24.2答案：CX 9【例26】（2004年福建理）若（1 2）展开式的第3项为288 ,则limn的值是（）B.1解析：Tr+1=( 1) C； (2 ) =( 1) C； 2，当 r =2 时，T3=( 1)2 =288.3x=- + )= =2.X 1 231 1 lim ( +弋 + n X X答案：A【例27】(2004年福建文)已知(x 旦)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，x则展开式中各项系数的和是()B.38或 38或 28解析：T-+1=( 1) rC8x8 r( a) r=( a)rC8x82r，当 r=4 时，Ts=( a)4C4 =1120, a= 2. x有函数 f(x)=(x a )8.令 x=1，贝U f (1)=1 或 38.X答案：C【例 28】(2004 年天津)若(1 2x) 2OO4=ao+a1X+a2X2+a2004x2004