高中数学必修4知识点总结02平面向量

1、高中数学必修4知识点总结02平面向量【编者按】位巻是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一 点的位置确泄另外一点的位置，就用到向量方法了。向量是解决几何问题的有力工具，是沟 通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有 广泛的应用。教材要求:在了解向量实际背景的基础上，学习平而向量及其运算的基础知识， 用向量的语言和方法来表述和解决数学、物理中的一些问题。一、平面向量的概念及运算1. 向量的概念 向量既有大小又有方向的量。向疑一般用a.b.c来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：A#几何表示法AB, fl；坐标表示法a=

2、xi + yj = （x,y）o向星 的大小即向量的模（长度），记作IAAi即向量的大小，记作丨aa向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 零向量长度为0的向量，记为0,H方向是任意的，6与任意向量平行，零向量& = 6o I a I =0.由于6的方向是任意的，且规泄6平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问 题中务必看淸楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与o的区别） 单位向量模为1个单位长度的向量，向量必为单位向量o I % I =1。 平行向星（共线向呈：）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相 反的向疑，称为平行向虽:，记作a/b .由于

3、向量可以进行任意的平移（即自由向呈:），平行 向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必 须区分淸楚共线向量中的共线”与几何中的共线”、的含义，要理解好平行向量中的平 行”与几何中的“平行”是不一样的。Xi = Xy方向相同（兀1，）1）=（儿2）o = y22. 向量的运算（1）向量加法.求两个向量和的运算叫做向量的加法。设 AB = &9BC = b 则a +h = AB + BC = AC规定:（1）0 + a=a + O = a；（2）向量加法满足交换律与结合律：向量加法的“三角形法则”与“平行四边

4、形法则”1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的,a+b=AS+BC=AC和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。2）三角形法则的特点是“首尾相接S由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向咼的和：差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法 则。向咼加法的三角形法则可推广至多个向量相加:丽+貳+而+ +西+页=凉但这时必须“首尾相连S（2）向量的减法 相反向量：与万长度相等、方向相反的向量，叫做&的相反向量。记作-N零向量的相反向量仍是

5、零向量。关于相反向量有：(i) (tJ) =a :（ii）a+（-a）=（-a）+a=0 :（iii）若万.方是互为相反向量，则& = 一6 ,b =-五p + b =6。有共同起点）。_ _ _a-b=AC-AS=BC 注：向量的加法与减法是互逆运算。（3）实数与向量的积 实数X与向量万的积是一个向量，记作也 它的长度与方向规左如下：（I）|衍| = |外冋;（II）当兄0时，入N的方向与N的方向相同：当20时，“的方向与D的方向相反：当兄=0时，肋=6,方向是任意的。 数乘向量满足交换律、结合律与分配律。3. 两个向虽共线泄理：向量方与非零向量方共线O有且只有一个实数2,使得6=加。即设&

6、 =（舛,）,=（尤2，2），其中b工b ,则当且仅当xy2 -x2yl = 0时，向M d . 琢词共线.4. 平面向虽的基本泄理如果吕,&2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量N，有且只有一对实数人使：厅=兄篙+兄2&2英中不共线的向量召，云2叫做表示这一平而内所有向量的一组基底。5. 平面向疑的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：在宜角坐标系中，分别取与X轴、y轴方向相同的两个单位向MFJ作为基底由平而向疑的基本左理知，该平面内的任一向量&可表示成ci = xi + yj ,由于（i与数对（x,y）是对应的，因此把（x,y）叫做向虽的坐标，记作（i=（x,y）,其中x叫

7、作&在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向疑是相等的向量：2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位巻无关，只与其相对位 置有关系。（2）平面向虽的坐标运算： 若& =（X,yJ,Z? =（x2,y2）,则ab =（坷 吃,必 旳）； 若A（“,yJ,B（x2,力），则AB = （x2-xl9旳一X）： 若d=（x,y）,则2 5 =（2x, Ay）； 若万=（舛,x）/ =（吃，），则两向量共线或平行allb O-x2y, = 0 注：1）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；2）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线

8、（即重合），而向量平行则包括共 线（重合）的情况；3）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位巻无关，只与其相对位 置有关系；4）学习部分内容时，主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数 的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位苣关系，正确运用共线向量和平而向量的基 本泄理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数 列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。二、平面向量的数量积及应用1. 向量的数量枳（1）两个非零向量的夹角已知非零向量与/作04 = a , OB = b ,则ZA OA = 0（ 0 fer）叫d与&

9、的夹角；说明：（1）当0=0时，：与&同向；（2）当时，：与乙反向：/Tf ff（3）当&= 一时，与b垂宜，记“丄b；（4）注意在两向量的夹角左义，两向量必须是同起点的，范11 001802（2）数量积的概念已知两个非零向量&与它们的夹角为则d-b = a -b IcosO叫做&与方的数量积（或内积）。规0- = 0；（1 b向虽的投影：I b | Cos9= GR,称为向量在0方向上的投影。投影的绝对值称 I万I为射影；（3）数量积的几何意义：数量积&/；等于的长度与/；在&方向上的投影的乘积。（4）向量数量积的性质向量的模与平方的关系：d-a=a2 =lal2. 乘法公式成立（N + 5

10、）（N_5）=沪 _沪=同 - b ； ab） =a22d-h+b2=a2ab+b 平而向量数量积的运算律交换律成立：a-b =h - ci ；对实数的结合律成立：（加）不=兄（力可=7（/1可（兄7?）；化+兰2分配律成立：(ab)-c=d cc =c-(ab). 向虽:的夹角：cos = cos=当且仅当两个非零向量&与5同方向时，0=0 :当且仅当&与5反方向时0=180 ,同时6与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。（5）两个向量的数量枳的坐标运算已知两个向量力=（易,另）,3 =（%2，2），则=X,X2 + 2 （6）垂直：如果&与厶的夹角为90（则称与厶垂直，记作&丄厂。两个非

11、零向量垂直的充要条件：&丄b Oa b =ox,x2 +yy2 =0,平而向疑 数屋积的性质。（7）平面内两点间的距离公式设 a = （x, y）,贝ijln l2 = J2 + y，或I a 1= yx2 + y2。如果表示向量：的有向线段的起点和终点的坐标分別为（册，儿）、（七，）2），那么a 1= Jg 七）2 +（比一力）2 （平而内两点间的距离公式）。（8）分点坐标公式：设点P是线段RP,上的一点，P】、P2的坐标分别是（心”），g,yj,当RP = %PP；时，点P的坐标是A： + Z-A+ZV-k （当/U1时，就为重 -，I 1 + A 1 + 几丿点公式）2. 向量的应用（1

12、）向量在几何中的应用：（2）向量在物理中的应用。注：1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数呈:积是一个实数，不是向量，符号由cose的符号所决左；（2）两个向量的数量积称为内积，写成a-h.今后要学到两个向量的外积axb.而： 広是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替；（3）在实数中，若曲0,且a h=0.则 H 但是在数量积中，若心0, 且ab=0.不能推岀=0o因为其中cose有可能为0；(4) 已知实数 a、/?、c(/“0),则但是a b = b c a = c x如右图：a b = ab Icosp

13、 = b IIOAh b c = h Hcosa = b OA=a b -b e ,但a hc；(5)在实数中，有(a b )c = a (b e),但是(a b )c a (b e),显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与：共线的向量，而一般方与c不共线。2.平而向量数量积的运算律特别注意：(1) 结合律不成立：N( 可工；(2) 消去律不成立ab=ac不能得到 ；(3) &山=0不能得至忆=6或/；=6。3. 向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数 形式和几何形式的双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综 合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。数量积的主要应用：求模长：求 夹角：判垂直；4. 注重数学思想方法的教学 .数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中， 都体现了数形结介的思想方法，任解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯， 以加深理解知识要点，增强应用意识。 .化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题：