高中数学必修5知识点总结01-解三角形

1、ifi中数学必修5知识点总结01解三角形【编者按】三角形是最基本的几何图形，三角形中的数量关系是最基本的数量关系，有着极 其广泛的应用。教材要求：通过对任意三角形边角（边长和角度）关系的探索，掌握正弦眾 理、余弦左理，并能解决一些简单的三角形度量问题：能够运用正弦左理、余弦左理等知识 和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。一、正弦、余弦定理1、直角三角形中各元素间的关系：在AABC 中，C=90 , AB=c, AC=b, BC=a（1）三边之间的关系：“2+夕=以（勾股左理）（2）锐角之间的关系：A+B=90：（3）边角之间的关系：（锐角三角函数左义）sinA=cosB= : cos

2、A=sinB= : tan A = cot B = ； tan B = cot A = ccba2、斜三角形中各元素间的关系：如右图，在AAFC中，A、B、C为其内角，“、b、c分别表示 A、B、C的对边。（1）三角形内角和：人+3+（7=乃。（2）正弦左理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 相等。=2Ra _ b _ csin A sin B sinC（R为外接圆半径，在同一个三角形中是恒量）正弦立理的变形公式:1) a = 2/? sin A.b = 27? sin B,c = 2/? sin C:2) sin A: sin B: sin C = 2=c2+a2 2eucosB:

3、c2=a2+h2 2t/bcosC余弦立理的推论：a b2 +c2 -a2cos A =2bccosC =cosB =2ab二、解三角形一般地，把三角形的三个角A, B, C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。由 三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未 知元素的问题叫做解三角形。广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的髙、中线、角平 分线以及内切圆半径、外接圆半径、而积等等。解三角形的问题一般可分为下而两种情形：若给岀的三角形是直角三角形，则称为解直 角三角形：若给岀的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。解斜三角形的主要依据是： 设ABC的三边为小

4、b、g对应的三个角为A、B、Co(1) 角与角关系：A+B+C = 7C,(2) 边与边关系：“ + b c, b + c c + a h9 ab c, bc bi(3) 边与角关系：正弦定理 = = = 2/? (/?为外接圆半径)： sin A sinB sinC余弦泄理 c2 = a2+b22/?ccosC b2 = a2+c22/ccosB, a2 = b2+c2 2bccosA:它们的变形形式有：“ = 2RsinA, = cosa/UL等等。sinB b2bc解斜三角形的一般情形:已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C,或a、Ax B）正弦定理由A+B+C=180 - 求

5、角A,由正弦定理求出b与c.在有解时，有一 解。两边和夹角（如/b、C）余弦定理由余弦定理求第三边C,由正弦定 理求出小边所对的角，再由 A+B+C=1SO 求出另一角，在有解 时有一解。三边（如a. b、c）余弦定理由余弦定理求出角A、B再利用A+B十C=】80，求出角C,在有解时只有一解c两边和其中一边的对角（如a、b、A）正弦定理（或余弦定理）由正弦定理求出角B由A+B+C=180 求出角C,在利用正 弦定理求出C边可有两解、一解 或无解。（或利用余弦定理求出c 边,再求出其余两角B. C）WWW. mabos h i. not快乐学习 轻松无隈三. 三角形的面积公式下而式子中代表三角形

6、的而积。(1) A = - uha= - bhb= - che (ha、hb 札分别表示心 b、c 上的高);2 2 2(2) A = ahsinC= bcsinA =丄t/csinB；2 2 2a2 sin Bsin C b2 sin Csin A c2 sin Asin B(3) =；2sin(B + C) 2sin(C + A) 2sin(A + B)(4) A=2/?2sinAsinBsinC； (R 为外接圆半径)“、A abc(5) =；4R(6) =如-d)(S-恥-C):(海伦泄理，其中$ = (d + b + C)为三角形周长的一半）:WWW. mabos h i. not快

7、乐学习轻松无隈（7）=rs （r为三角形内切圆的半径，$ = （ +方+ c）三角形周长的一半）四. 三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述正弦.余眩左理公式和上述变换方法外，还要注 意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在A ABC 中，A+B+C= n ,所以 sin(A+B)=sinC； cos(A+B)=cosC： tan(A+B)=小.A + BC A + B CtanC： sin= cos,cos= sm:2 2 2 2(2)三角形边、角关系左理及而枳公式，正弦立理，余弦泄理。而积公式：=丄aha =丄absinC = r-s = Js（s-a）（s-）（s-c）2 2

8、其中r为三角形内切圆半径，s为周长的一半。（3）在AABC中，熟记并会证明：ZA, ZB, ZC成等差数列的充分必要条件是ZB=60 : A ABC是正三角形的充分必要条件是ZA, ZB, ZC成等差数列且e b, c成等比数列。（4）设a、b、c是AABC的角A、B、C的对边，则：若a2+b2=c2,则C = 90 ； 若 a2+b2c2 9 则 C 90 :若 a2+b290 o注意：1）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦左理、余弦立理实现 边角互化；2）已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦左理，则务必注意可能有两解；3）三角形内切圆的半径：r= 2*,特别地，r, =c, + hc-;a+h+c24）三角学中的射影左理：在AA