高三复习精品----圆锥曲线典例集合

1、高三复习精品-圆锥曲线典例集合典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程.2 2（1） x 4y（2）x ay （a 0）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p,再写出焦点坐标和准线方程.（2） 先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程.解：（1）p 2 ,焦点坐标是（0, 1）,准线方程是：y 12 11（2）原抛物线方程为：y2丄X , 2p aap 1 当a 0时，抛物线开口向右，2 4a 一 1 1焦点坐标是（,0），准线方程是：x .4a4ap1 当a 0时，抛物线开口向左，2 4a 一 1 1焦点坐标是（,0），准线

2、方程是：x .4a4a2 1 1综合上述，当a 0时，抛物线x ay的焦点坐标为（,0），准线方程是：x4a4a典型例题二2 ,故所求直线方程为：y2x 2 .例2若直线y kx 2与抛物线y2 8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为 2,求此直线方程.分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 弦中点坐标有关，故也可利用k的方程求解.另由于已知与直线斜率及“作差法”求解法一：设 A（x-|, y1）、则由:kx 2可得:8xk2x2 (4k 8)x 4 0.直线与抛物线相交, AB中点横坐标为:解得：k 2或k为 x22（舍去）.0,4k 8解法2小y28x2.2设 A(xi，yj、B(X2

3、,y2)，则有 yi 8x两式作差解：(y1y2)(y1y2)8(x1X2),即里xy28X2y1y2x1x24 y1y2kx12 kx22kgx2) 4 4k 4,k8故k2或k1（舍去）4k 4则所求直线方程为：y 2x 2 .典型例题三例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.分析：可设抛物线方程为y2 2px（p 0）.如图所示，只须证明|MMi，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.证明：作AA! l于A,BBi l于B . M为AB中点，作MMi于Mi，则由抛物线的定义可知：AA| |AF , BB, BF在直角梯形BB1A1A中：MMi 2（AA| |BB） *

4、AF| |BF） ； AB1MMi AB，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切.说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径 的圆与相应的准线相交.典型例题四例4 （1）设抛物线y2 4x被直线y 2x k截得的弦长为3 5，求k值.（2）以（1）中的弦为底边，以 x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标.分析：（1）题可利用弦长公式求 k, （2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标.解：（1 ）由y2 4x 得：4x2y 2x k(4k 4)x k2x1x2 1k, x-i x2设直线与抛物线交于 A（x1, y1）与B（x2

5、,y2）两点.则有:ABI22(12)(X1 X2)5(X1X2)24x-|X2I22.5(1 k) k5(12k)AB3 5,. 5(1 2k)3 5，即 k(2)S9，底边长为3、5，三角形高2 93.5点P在x轴上,设P点坐标是（x0,O）则点P到直线y2x 4的距离就等于h，即2xo 0 422 12Xo1 或 Xo5，即所求P点坐标是（1, 0）或（5,0).典型例题五例5已知定直线I及定点A （A不在I上），n为过A且垂直于I的直线，设N为I上任 一点，AN的垂直平分线交 n于B,点B关于AN的对称点为P,求证P的轨迹为抛物线.分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的

6、轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，I为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PA PN且PN I即可.证明：如图所示，连结 PA、PN、NB.由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P. AN也垂直平分 PB.则四边形 PABN为菱形即有 PA PN .AB I. PN I.则P点符合抛物线上点的条件：至U定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线.的焦点，求证：典型例题六例C:y26 若线段RF2为抛2 px（ p 0）的一条焦点弦，|RF| |P2F| p分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的

7、距离表示出来，其计算量是很大 的.我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识， 把结论证明出来.证法一： F(号,0)，若过F的直线即线段RP2所在直线斜率不存在时，ppp，k,则此直线为：y k(x -2)(k 0)，且设1 1则有阴阴p，丽函若线段RP2所在直线斜率存在时，设为RX, yj, Pzg, y2)k(x 夕)P(k22)x2 得: k k(x pX1X2P(k2 2)2x-ix2根据抛物线定义有:RFX1X1P1P2I x1X2P则1|PFRF|x1x2x1x2 PRFP2F|RF| IP2F(X1x1x2 (x1x2)2请将代入并化简得：RF

8、证法二：如图所示，设R、P2、F点在C的准线I上的射影分别是P1、P2、F，且不妨设P2P2n m PP，又设F2点在FF、RR上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知,RF n, PF m, FF p又 P2 AF sP2BP1,AFP2FBR即 pjnp(m n) 2mnm n p故原命题成立.典型例题七例7设抛物线方程为 寸2px(p 0),过焦点F的弦AB的倾斜角为，求证：焦点弦长为AB 上.sin分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题.证法一：抛物线y 2px( p 0)的焦点为 (-p ,0)，过焦点的弦AB所在的直线方程为：y tan (X卫)由方程组y t

9、an (X自消去y 得: y2 2px4x2 tan24 p(tan2 ) p2 tan2X1设 A(Xr, y1), B(X2, y2)，则X1 X2p(ta n22)x2 2tan2p2p(1 2 cot )4又 y_jy2 tan (X! x2)AB.(1 tan2 )(Xi X2)2.(1 tan2 )(x1 x2)2 4X| x22 2 2(1 tan ) p (1 cot ) 4sec4 p2 cot2 (1cot2 )4 2 14p4 sin2p2sin证法二：如图所示,分别作AA、BBi垂直于准线I 由抛物线定义有:AFAA1 AF cospBFBBj p BF cos于是可得

10、出:AFp BF1 cosp1 cosAB AF BFP_p_1 cos1 cos2p21 cos2p2sin故原命题成立.典型例题八例8已知圆锥曲线C经过定点P（3,2J3），它的一个焦点为 F （1，0），对应于该焦点 的准线为x 1，过焦点F任意作曲线 C的弦AB，若弦AB的长度不超过 8,且直线AB 与椭圆3x2 2y22相交于不同的两点，求（1）AB的倾斜角 的取值范围.（2）设直线AB与椭圆相交于 C、D两点，求CD中点M的轨迹方程.分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其斜率为k,弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出 k的取值范围，从而可得的取值范围

11、，求 CD中点M的轨迹方程时，可设出 M的坐标，利用韦达定理化简即可.解：（1）由已知得PF4 .故P到x 1的距离d4，从而PF d曲线C是抛物线，其方程为 y2 4x设直线AB的斜率为k,若k不存在，则直线 AB与3x22y22无交点. k存在设AB的方程为y k（x 1）24由 y x 可得：ky2 4y 4k 0 y k(x 1)设 A、B 坐标分别为（xi,yi）、（X2,y2），则：y1y2yiy24AB(1y2)2 k V(y1 y2)2 4y2 k4(1 k2)k2弦AB的长度不超过8,由 丫？*?1）得：023x2 2y223)x2 4k2x 2(k2 1) AB与椭圆相交于

12、不同的两点,k2由k21和k23可得：1故 1 tan 3 或.3 tan，所求的取值范围是:34(2)设 CD 中点 M (x,y)、C(x3, y3)、D(xyjy k( x 1)2222由 3x2 2y22得: (2k23)x2 4k2x 2(k21)0X34k22，X3 花2k 3ci 2X3 X4 2k2 2k231 2k2 k232k2 31 V2 k2X42(k2 1)2k2 32k22k2 322亠(x 1)222 匚3(x 1)2化简得：3x22y2 3x 0所求轨迹方程为：3x2 2y23xx2)求AB的中点到y轴这是中点坐标问题，AC、BD，又 M典型例题九例9定长为3的

13、线段AB的端点A、B在抛物线y2 x上移动， 的距离的最小值，并求出此时 AB中点的坐标.分析：线段AB中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值. 因此只要研究 A、 B两点的横坐标之和取什么最小值即可.解：如图，设F是y2 x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是到准线的垂线为MN , C、D和N是垂足，则DN打CK1113MN 2(AC BD) -(af |BF) 2|AB 2 .一 一 1 设M点的横坐标为x，纵坐标为y , MN x _ ,则x45所以m(4,此时M到y轴的距离的最小值为等式成立的条件是 AB过点F 5y1，故当x时，y2P442x -2,2(y1y2)22 2y1y

14、22y2y1y22 , y22说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简.典型例题十例10过抛物线2px的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于 A、B两点，求AB的最小值.分析：本题可分2和-两种情况讨论当-时，先写出 AB 的表达式,再求范围.解：若-，此时 AB 2p .若 -，因有两交点，所以AB: y tan (xy tan代入抛物线方程，有 y2p tan故(y2%)24p2tan24p224 p csc(X2 Xj厲 yJ2tan22csc24p2tan2故 AB4p2csc2 (1占)4p24csc所以AB2p sin22p .因，所以这里不能取“=”综

15、合,AB最小值2P.说明:(1)此题须对2两种情况进行讨论;从解题过程可知，抛物线点弦长公式为I孳;sin(3)当2时，例11过抛物线垂足分别为A、B，AB叫做抛物线的通径.通径是最短的焦点弦.典型例题十y22px (p 0)的焦点F作弦AB , l为准线，过A、B作I的垂线,则AFB 为( )， AF B 为( ).A .大于等于90分析：本题考查抛物线的定义、 以及判定直线与圆是否相切.B.小于等于90 C.等于90直线与圆的位置关系等方面的知识,D不确定关键是求角的大小又AA / x轴23，同理而 236A FB 90解：点A在抛物线上,6,180 ，二 36 90 ,过AB中点M作MMI，垂中为M ,则MM2(AABB-(AF21BF) -|AB .以AB为直径的圆与直线l相切，切点为 M .又F在圆的外部，AFB 90 .特别地，当 AB x轴时，M与F重合， AFB 90 .即 AF B 90 ，选 B.典型例题十二例12已知点M(3,2) , F为抛物线y2 2x的焦点，点P在该抛物线上移动，当PM