高中数学基础梳理

1、函数及其表示 KAOJIZIZHUDAOXUE 01考基自主导学必考必记：教学相长 基础梳理 1. 函数的基本概念 (1) 函数的泄义：设、万是非空数集，如果按照某种确泄的对应关系f,使对于集合月中的 任意一个数X,在集合万中都有唯一确左的数f(x)和它对应，那么称丘A-B为从集合川 到集合万的一个函数，记作：y=Ax), xA. (2) 函数的定义域、值域 在函数y=fx), xA中，x叫自变疑，x的取值范用月叫做泄义域,与X的值对应的y值 叫函数值，函数值的集合f(x)|xW川叫值域.值域是集合万的子集. (3) 函数的三要素：定义域、值域和对应关系. (4) 相等函数：如果两个函数的立义

2、域和对应关系完全一致,则这两个函数相等；这是判断 两函数相等的依据. 2. 函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法. 3. 映射的概念 一般地，设月、万是两个非空的集合，如果按某一个确泄的对应关系f，使对于集合中的 任意一个元素x,在集合万中都有唯二确左的元素卩与之对应，那么就称对应f： A-B为从 集合力到集合万的一个映射. =1助常 1, 则满足fd) W2的x的取值范围是(). A. -1,2 B0,2 C1, +8) D0, +8) 审题视点对于分段函数应分段求解，最后再求其并集. 方法总结分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研

3、 究问题，如本例中，需分xWl和正1时分别解得X的范围，再求其并集. 2x+a, -vl 【训练3】已知实数aHO,函数f3=、 若f(l a)=f(l + a)，则 两个偶函数的和、积都是偶函数: 一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数. 3. 周期性 (1) 周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取左义域内的任何值 时，都有f(x+7)=f(x),那么就称函数y=/(.r)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2) 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正 数就叫做f(的最小正周期. =1助常 GR, cZ),选取 a, b,

4、c 的一组值计算 f(l) 和f(一 1),所得岀的正确结果一定不可能是(). A. 4 和 6B. 3 和 1 C. 2 和 4D. 1和 2 5. 若函数f(x)=y- x+d为偶函数，则实数a= C KAOXIANGTANJIUDAOXI 考向探究导析研析考向：案例発破 考向一判断函数的奇偶性 【例1】下列函数： 3乂一 3 x fCr)= 一女 +(*)=*”一x：fCr) =lnGr+#A*+l):fCv)=-: f3 =1 其中奇函数的个数是( ) A. 2B. 3C. 4D. 5 审题视点利用函数奇偶性的定义判断. 方法总结判断函数的奇偶性的一般方法是:(1)求函数的左义域：(2

5、)证明玖f =心 或f(一x) = -f(x)成立：或者通过举反例证明以上两式不成立.如果二者皆未做到是不能 下任何结论的，切忌主观臆断. 【训练1】判断下列函数的奇偶性： 心覇 (2) f(x) = Y | xa +2. 考向二函数奇偶性的应用 【例2】已知 (1) 判断fGr)的奇偶性:(2)证明:f(x)0. 审题视点(1)用左义判断或用特值法否立：(2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大 于0. 方法总结根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法.奇函数在对称区间上的 单调性相同：偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究， 只需研究对称区间上的单调性

6、即可. 【训练2】已知奇函数f3的定义域为一 2,2,且在区间一 2,0内递减，求满足：A1 皿)+f(l/) 0的实数m的取值范围. 考向三函数的奇偶性与周期性 【例3 已知函数f(x)是(一 8, +8)上的奇函数，且f(的图象关于A-1对称，当X G 0, 1时，f(x)=2=_l, (1) 求证：f(x)是周期函数； 当.yG1,2时，求f(x)的解析式： (3) 计算f(0) +f+f(2) +f(2013)的值. 审题视点(1)只需证明f(x+7)=f(x),即可说明f(x)为周期函数： (2) 由f(x)在0, 1上的解析式及f(x)图象关于x=l对称求得f(x)在1, 2上的解

7、析式： 由周期性求和的值. 方法总结判断函数的周期只需证明f(x+7)=f(x)(r#0)便可证明函数是周期函数，且周 期为r函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是髙考考查的重点问题. 【训练3】已知f(x)是泄义在R上的偶函数，g(x)是泄义在R上的奇函数，且Cy) =f(.Y 一 1),则 f(2 013)+f(2 015)的值为(). A. -1 B. 1 C. 0 D.无法计算 US 考题专项突破考趁展示i名师解读 规范解答一一如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题 【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有 联系，高考作为考查学生综合能力的选

8、拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试 题. 【解决方案】根据奇偶性的左义知，函数的奇偶性主要体现为f -X与f X的相等或 相反关系，而根据周期函数的左义知，函数的周期性主要体现为f x+T与f x的关系， 它们都与f x有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函 数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的 规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确左函数在另一区间上的单调 性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题. 【示例】设f(x)是(一8, +8)上的奇函数，fG+2)= fGr),当OWxWl

9、时，M = x. 求f(x)的值； 当一4WxW4时，求f(x)的图象与X轴所围成图形的而积： (3) 写出(一 8, + 8)内函数f (0的单调增(或减)区间. 思维突破第(1)问先求函数f (3) 有一根大于2,另一根小于2： (4) 在(1,3)内有且只有一解 考向三 函数零点性质的应用 R 【例3】已知函数= -Y+2ex+=-y+-(0.其中e表示自然对数的底数). x (1) 若有零点，求也的取值范围： (2) 确左r的取值范囤，使得g(x) f(x)=O有两个相异实根. 分析：(1)可结合图象也可解方程求之.(2)利用图象求解. 审题视点画出函数图象，利用数形结合法求函数范国.

10、 方法总结 此类利用零点求参数的范用的问题，可利用方程，但有时不易甚至不可能解岀， 而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了，这也体现了，当不是求零点，而是利用 零点的个数，或有零点时求参数的范用，一般采用数形结合法求解. 【训练3】已知函数f3=”一2ax+3a4在区间(-1,1)上有一个零点. (1) 求实数a的取值范用； 32 (2) 若vbV0n； A0, j0, 真分数的性质： 假分数的性质: 双基自测 1.（人教A版教材习题改编）给出下列命题：ag能卅；a引n/呉 ab =/旅 ;a Q/才其中正确的命题是（）. A. B. C. D. 2.限速40 km/h的路标，指示司机在

11、前方路段行驶时，应使汽车的速度a不超过40 km/h, 写成不等式就是（）. A. r40 km/h C.舜40 km/h D.卩W40 km/h 3.已知 a, b cGR,则 M ab是 ac be M 的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知ab. cd.且6 /不为0,那么下列不等式成立的是（）. A. ad be B. acbd C a b d KAOXIANGTANJIUDAOXI 研析考向：案例突破 考向探究导析 考向一比较大小 【例1】丄知a, b、c是实数，试比较+ 与ab+氐+ca的大小. 审题视点采用

12、作差法比较，作差后构造完全平方式即可. 方法总结比较大小的方法常采用作差法与作商法，但题型为选择题时可以用特殊值法来比 较大小. 【训练1】已知a, bGR且ab,则下列不等式中一泄成立的是（） 考向二不等式的性质 【例 2】aQb a, cdbet (2)db d c 一 d：a (d- c) b(d- c)中能成立的个数是(). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 审题视点利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假. 方法总结在判断一个关于不等式的命题貞假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来 考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知 识，比如对

13、数函数，指数函数的性质等. 【训练2已知三个不等式：話0：bcad；g以其中两个作为条件，余下一 a b 个作为结论，则可以组成正确命题的个数是(). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考向三 不等式性质的应用 【例3】已知函数心)=/+心,且1 Wf( l)W2,2Wf(l)4.求f(一2)的取值范围. 审题视点可利用待泄系数法寻找目标式f(一2)与已知式f(一 1), f(l)之间的关系，即用 f(一 1), f(l)整体表示f(一2),再利用不等式的性质求f(一2)的范围. 方法总结由aVfd, y)b, cVgG, y)bc,求证： 斗;+ 亠+丄0. a b b c c a 审

14、题视点充分运用已知条件及不等式性质进行求证. 方法总结(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件. (2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式. 【训练 4】若 ab0, cVXO, eVO, 求证: = b d .C KAOTI2HUANXIANGTUPO 考曲展示i名师解读 03考题专项突破 难点突破一一数式大小比较问题 数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限 于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量.解析几何、导数等知识, 内容丰富多彩.命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用. 一

15、、作差法 A. (2011 陕西)设OV .考虚亘标鱼数旳几何.意义!将旦拯函数难鲨变羽一; .型産最优逸卷生可红域内壬墅楼动旦拯函数变羽卮旳.直线?丛页砚産最优解 .求最值匚按最优解代入亘拯函数亚可求出.最去值或最小值 两个防范 避兔失谡旳重要方迭越崖.苴先便二元二.次丕簣武桩准化: .求二元二一次函.数运三怒土切心莊的最值匚按敢数/土愁土切二技化2/直线的斜截或二展 三二畚土肓，通过求直线的截嚕最值回按求.出二的最值要注意二当虽卫吐,.截啣最木值吐?也取最丈值截瓯:取最小值吐【王也取最小值；当WQ时？截现誣最木值时上 徵最小虹截瞩贱小值也滋狀儀 双基自测 1.（人教A版教材习题改编）如图所

16、示的平而区域（阴影部分），用不等式表示为 7 61 A. 2xy3V0B 2xy_30C 2xy3W0D 2xy320 2. 下列各点中，不在x+y-lW0表示的平而区域内的点是（）. A. （0,0） B（一 1,1） C（一 1,3） D（2, -3） 3. 如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是（）. 考向一 二元一次不等式（组）表示的平面区域 卄 y-120 K-2y+220 r+y-10 K-2y+2W0 |+y-10 lx2y+2W0 x+y-lWO /-2y+220 4设变咼弘y满足yll,则x+2y的最大值和最小值分别为 ). A. b -1 C L 2 B.

17、 2, -2 D. 2, 1 5.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工 资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约朿条件是 02 KAOXIANGTANJIUDAOXI 考向探究导析 研析考向：案例突破 炉0 【例1 直线2卄卩一10=0与不等式组.表示的平而区域的公共点有 x尹刁一2, 、4x+3jW20 （）. A. 0个B. 1个C. 2个D.无数个 审题视点准确画出不等式组所表示的平而区域，比较直线2x+y 10=0与4x+3y-20 =0的斜率即可判断. 方法总结不等式组表示的平而区域是各个不等式所表示的平而

18、区域点集的交集，因而是各 个不等式所表示的平而区域的公共部分. 【训练1已知关于x, y的不等式组R+y-220,所表示的平而区域的面积为4, 则（0）的最大值小于等于a即可. x +3-r+l 方法总结当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解. 【训练3 已知A-0, y0, xy= x+ 2y,若xym2恒成立，则实数m的最大值是. 考向三利用基本不等式解实际问题 【例3】某单位建造一间地而面积为12 的背而靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制， 房子侧而的长度x不得超过5 m.房屋正而的造价为400元/m：,房屋侧

19、面的造价为150元/m：, 屋顶和地而的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m,且不计房屋背而的费用.当侧而 的长度为多少时，总造价最低？ 审题视点用长度x表示岀造价，利用基本不等式求最值即可.还应注意左义域0VxW5； 函数取最小值时的x是否在立义域内，若不在泄义域内，不能用基本不等式求最值，可以考 虑单调性. 方法总结解实际应用题要注意以下几点： (1) 设变呈:时一般要把求最大值或最小值的变量泄义为函数： (2) 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值： (3) 在求函数的最值时，一左要在左义域(使实际问题有意义的自变量的取值范用)内求解. 【训练3东海

20、水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元， 固泄成本为80元.从今年起，工厂投入100万元科技成本.并计划以后每年比上一年多投 入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固左成本与科技成 本的投入次数n的关系是= 80 解世色虹三或2、鼻.巴代拯進.方昼或二股方程: 两个防范 。丄求圆匹方程噩要三个型立条住，所段丕论段哪二砂圆的.方捏郝要处岀美于系数的三个塑 立方程_ .亘圆处二産点求圆的切线:应该有函个纺黑，港迟求出二个纯癮应该考虔切线斜奚丕 籬旳磁 三个性质 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质 國心住过切点JL莎切线垂直的宣线上: .國心隹任二

21、:弦的.史垂线上匚 _(3).fflM内切或外.切!It，切点匀两圆國心三点荃线: 双基自测 1. (人教A版教材习题改编)圆心为点(0, 1),半径为2的圆的标准方程为(). A. (x-l)c+y=4B (y-l)2=2 C. +(y1)=4D(atl):4-y=2 2. 圆女+#4x+6y=0的圆心坐标是() A. (2, 3)B(一2, 3) C. (一2, -3)D(2, -3) 3. 若点(1,1)在圆(xf+(y+aF 的内部，则实数a的取值范围是(). A. -lalB.0al 或 a0 O相交； (1) 代数法：j辱气乩*相离. 2. 圆与圆的位置关系的判左 设Oi： x 5

22、1)+ (y- Zh)=rl (ri0)， OG： (-sr-a：)2 + yZh)2=r：(r；0) 则有： QQ rx4-r：0G与GG相离; C.G =_n+hQC)G 与 OG 外切; rirz GG ri+r：OG与GG相交; GG =幺一匕 CnHrJo。G与GG 内切: QG 0)的公共弦的长为2审，则a=. 审题视点两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦长的一半及弦心距构 成的直角三角形解得. 方法总结当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消 掉二次项所得方程就是公共弦所在的宜线方程，再根据其中一个圆和这条宜线就可以求出公 共弦长. 【

23、训练2】 两个圆：G： Yd-y34-2a*+ 2j 2=0与G：4x=0的公切线有且 仅有(). A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条 考向三直线与圆的综合问题 【例3】已知Ol/： Y4-(y-2)=l, 0是x轴上的动点，QA,的分别切。”于月，万两点. 若朋=半,求|两|、。点的坐标以及宜线旳的方程： (2)求证：直线月万恒过泄点. 审题视点第(1)问利用平而几何的知识解决：第(2)问设点Q的坐标，从而确左点A. B 的坐标与曲的直线方程. 方法总结在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相 交的有关线段长度汁算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被

24、圆截得的线段长度放 在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错. 【训练3】 已知点尸(0,5)及圆C：12y+24=0. (1) 若直线/过点尸且被圆Q截得的线段长为4书，求2的方程； (2) 求过尸点的圆Q的弦的中点的轨迹方程. 03 考题专项突破考題展示$名师解读 难点突破20高考中与圆交汇问题的求解 从近两年新课标高考试题可以看出高考对圆的要求大大提髙了，因此也就成了髙考命题的一 个新热点.由于圆的特有性质，使英具有很强的交汇性，在高考中圆可以宜接或间接地综合 出现在许多问题之中，复习备考时值得重视. 一、圆与集合的交汇 【示例】*川=x, y ? W x2:+_/亦

25、，x,用，5= (x, y) j2/Dx+y2zo I/J + 1, x, yGR.若房0,则实数加的取值范围是. 二、圆与概率的交汇 【示例】已知圆G A-：+y = 12,直线厶4x+3y=25. 圆Q的圆心到直线1的距离为: (2)圆Q上任意一点A到直线1的距离小于2的概率为 三、圆与圆锥曲线交汇 【示例已知抛物线y=2PA0)的准线与圆(x-3)=+y2=16相切，则p的值为(). 扎寺 B. 1 C. 2 D. 4 刖 KAOJIZIZHUDAOXUE 必考必记：教学相长 01考基自主导学 基础梳理 1. 椭圆的概念 在平而内到两左点尺、E的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹(或集合

26、)叫椭圆.这 两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 集合Q 側曲 + 娠 =2a,F、F： =2c,其中a0, c0,且a, c为常数： 若ac,则集合尸为椭圆； (2) 若a=c,则集合尸为线段； (3) 若aVc,则集合尸为空集. 2. 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 (ab0) W=1 a b (ab0) y y 图形 Bb 续表 性 范围 aWxWa bWyb -bWxWb aya 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 Ai( a, 0), As a, 0) 3(0, -Z), 5(0, Z) Ai (O a) 9 凡(0, a) A(-O),風(由双曲线定乂确定.2办22或 脸，丛 匝求吐去 産义法二先很握条住得也动点的轨越星基独旦粗也!线-再也阻线的産义直援旦出动点的 埶迹方廳 .代入铉楼迭匸劲点仗，边傕蝶于另二动点0电，总的变化页变他差且 也血 又生 茶旦刨也线上，则可先田川一上的代数去奏丞展，汕，再将.恋上_代人旦担阻线建要求的轨 迹方程: _（5）#.g法二当敢点丄（轧卫坐握NM旳浚系.丕易直接找到，也没直桓茨动点可田险可考 虑務忌丄均担二.史间变量.（参数丄表丞，得參数方翟，再.消去参数銀普迪方耀. 双基自测 1. f（畑 必）=0是点尸（及，为）在曲线fx. y）=0上的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条