大一上学期高数知识点

1、第二章导数与微分一、主要内容小结1. 定义定理公式(1) 导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义(2) 定理与运算法则定理1f (xo)存在 f (xo)f (xo).定理2定理3函数f (x)在xo处可微f(X)在Xo处可导.导数与微分的运算法则:u(x) ,vv(x)均可导，则(u v) ud(uv) du dv(uv) uvvu ,d(uv)udv vduuv2 (vv0)，d(u)vvdu udvz2(v o)v若y f(x)在点xo处可导，则y f (x)在点Xo处连续；反之不真.(3) 基本求导公式2. 各类函数导数的求法(1) 复合函数微分法(2) 反函数的微分法(3

2、) 由参数方程确定函数的微分法(4) 隐函数微分法(5) 幕指函数微分法(6) 函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法x求导)方法：对数求导法(即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对(7) 分段函数微分法3. 高阶导数(1)定义与基本公式高阶导数公式:(ax)(n)xna In a(a 0)/ X (n)x(e )e(sin kx)(n)kn sin(kxn -)(cos kx)(n) kn cos(kx n _)2z m.(x )(n) m(m1) (m n1)xm n(xn)(n) n!(n)(In x)(1)n 1 (n 1)!nx莱布尼兹公式:(2)高阶导数的

3、求法直接法间接法4.导数的简单应用(1)求曲线的切线、法线求变化率一一相关变化率二、例题解析例 2.1 设 f(x)xK(K为整数)问:(1) 当兰K为何值时，f (x)在 x当兰K为何值时，f (x)在 x当兰K为何值时，f (x)在 x00处不可导;0处可导，但导函数不连续;0处导函数连续?x 0解函数f(x)在x=0点的导数:!im0f(x) f(0)Smx/ K - 1(x) sin 一 x0 xf (0)=xm0(x)K不存在,0,.1sin =xf (x)的导函数为:f (x)Kx K 1 sin1xxK2 1 cos, x0,发散，当K 1，当K 1为使 lim f (x) f

4、(0)x 00，取K 2即可。因此，函数f(x)K . 1x si n , x 0xx 0f (x)在 x0处不可导;2时,f (x)在 x0处可导，但导函数在x 0处不连续;2时,f (x)在 x0处可导且导函数在x 0处连续。例2.2.2sin x1 ctgxcos2 x求 dy1 tgxdx分析 本例当然可以用商的求导法则来求，但比较麻烦，若先对函数表达式进行变形就可用代数和的求导法则来求，这样就简便多了。 3解 yXsin x cosxcos3 xsin3 x cos3 xcosx sin x sin x cosx-sin 2x。2所以y cos2x 。如果不经过化简,直接求导则计算将

5、是十分繁琐的。例 2.3 y arctgexInee2x 1，求 dy。分析 本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求，比较麻烦，但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形，再利用差及复合函数求导法来求，就简便得多。解因为arctgex2lne2xln(e2x 1) arctgex 丄 ln(e2x21)所以x(arctgex)X尹(尹 1)=七2x1 2e2x2 e 1x .e 1e 1例2.4X、f(x)dyf(e)e ，求 dx。解利用积的求导法则及复合函数求导法则，有dy= f (ex)exef(x)f(ex)ef(x)f (x) = ef(x)f (ex)exf(ex)f

6、(x)。dx例 2.5 设方程 xy2 ey cos(x y2),求 y .本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求。解(方法一)方程两端同时对x求导(y看作x的函数y y(x),由复合函数求导法可得y2 2xyy eyy sin(x y2) (1 2yy)2 2、y sin(x y )yy厂2xy e2ysin(x y )(方法二)方程两边同时微分：d(xy2 ey) d(cos(x y2)x例2.6 已知yf (t)tf (t)f(t)f(t)为二次可微函数，且fo,求 鱼dxy2dx2xydy eydysin(x y2)(dx2ydy)(2xyey 2y si n(x2 2

7、y )dy y2sin(x y )dx所以. 2 dyysin(x y2)dx2xy ey 2y si n(x y2)解 因为分析 这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题，可按参数方程求导法则来求。dxdf(t)f (t)dt所以dytfdtt。dxf(t)dt又d(为dtd2y =ddydt1dx2dxdxf (t)dt f (t)dy dtf (t)f(t)= tf (t)dt所以o常见错解：djy (ty i。dx错误原因没有搞清求导对象.d2y dx2dy是一阶导数dy对x求导,而t是一阶导数对 dx dxdxt求导。例2.7求函数yI)的微分。解 dyx1 x2 dx xd(

8、1 x2)2訥x2.1 x2 dx xd1 x21x21x22xdxdx(1 x2)323例2.8 设y 丁必,求y(n)。x23x 2分析本例是求分式有理函数的高阶导数，先将有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和，再将有理分式写成部分分式之和，最后仿(xm)(n)的表达式写出所给定的有理函数的n阶导数。y (x 3)7x 6(x 2)(x 1)y(n)=(x3)(n)18(x 2)(n)(x 1) 1(n)(1)n 8 n!(x2) 1 n(1)n n!(x1) 1 n1)n n!(x2)n 1(x 1)n(n 2)例 2.9 设 f(x)x21, x 0求f(x)的导函数f (x)的连续区间，若间断，判别类型,并分别作f (x)与f(X)的图形。分析函数f(x)是用分段表达的函数.当在x 0的两侧：当x 0时，f (x) ex ；x 0时，f (x) 2x .因此，在处，f (x)的可导情况，需根据定义来作判断，求出导函数后，再判别它的连续区间。解因为f (0)limx 0f(x) f(0)xlimx 0x21 10xf (0)limx 0f(x) f(0)xxr e 1 limx 0 x1，所以f