广东省汕头市2021届高三一模数学试题

1、试卷类型：B2021年汕头市普通高考第一次模拟考试试数学本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.考生注意：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号等信息填涂在答题卡相应位 置上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效.3. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第I卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1. 已知集合A = xeZ|0vxv4,B

2、 = x|(x l)(x + 2)v0,xeN,则AJB=()A. 1 B. 1,2 C. 0,1,2,3 D. (-1,0,1,2,3a 2-在复平面内复数总的共轨复数对应点的坐标所在的象限是A.第一象限B.第二象限 C第三象限D第四象限3.若15丿A. -1B. 1D3一彳J贝n2a的值是(4.已知sina_彳=A. 23 B.芈C- 4卫 D. -芈5. 在正项等比数列中，64=16，偽+冬,则数列的通项公式为(A an = 2BD an =3n6. 已知xl, y0,且3y（l x） = x + 8,则兀一3y的最小值是（）1513A8 B6 C D2 27. 斐波那契螺旋线被誉为自然

3、界最完美的“黄金螺旋S它的画法是：以斐波那契数:13,2.3,5,为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90。的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐 波那契螺旋线.自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.右图为该螺旋线的前一 部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧而则该圆锥的体积为（ ）4辰兀口2屈兀c125届r厂125届rA B C D3 3192648. 在新的高考改革方案中规泄：每位考生的髙考成绩是按照3 （语文、数学、英语）+2 （物理、历史）选1+4 （化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同

4、的概率为（）1151A B. C D4 3122二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.2 29. 已知双曲线C:- = 1的左.右两个焦点分别为片、0,直线y = kx伙H0）与C交于4、B两63点，AE丄x轴，垂足为E,直线BE与C的另一个交点为P,则下列结论正确的是（）A.四边形AFBF?为平行四边形 B上斤P耳 90210. 已知泄义在虑上的奇函数，满足/(2 x) + f(x) = 0,当xe(0,l时，/(A-) = -log,A-,若函数F(x) = /(x)-tan(z),在

5、区间-1,创上有10个零点,则加的取值可以是()A 3.8 B. 3.9 C 4 D 4111知函数/(x) = sin! a)x + -(co0),则下述结论中正确的是()A若/(兀)在0,2龙有且仅有4个零点,则/(%)在0,2兀有且仅有2个极小值点B.若于(兀)在0.2刊有且仅有4个零点,上单调递增C.若/(兀)在0,2刎有且仅有4个零点,则co的范是15 19D若/(Q图像关于x =-对称，且在壬，二兰 单调，则。的最大值为9418 36丿In Y12. 函数/(%)=,则下列说法正确的是()xA. / B. 1亦仁C.若f(x) = m有两个不相等的实根斗、x2,则小2/D.若2v=

6、5v,x. y均为正数，则2x5y第II卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量 =(2,2)丄=(8,-6),则tan“Z=.14. 国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了生活垃圾分类制度实施方案，规左46个城市 在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.某市在实施垃圾分类之前，从本 市人口数量在两万人左右的240个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量(单位： 吨)进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定 为“超标”社区：垃圾虽X12.5,15.5)15

7、.5,18.5)1&5,21.5)21.5,24.5)24.5,27.5)27.5,30.5)30.5,33.5频数56912864通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值元= (精确到0.1)：假设该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾屋大致服从正态分布N(“bj，北中近似为样本平均值兀er?近 似为样本方差F，经计算得s = 5.2 .请利用正态分布知识估计这240个社区中“超标”社区的个数(参考数据：P(“-bX5“ + b)0.6827: P(“-2bX5“ + 2b)Q0.9545：P(“ 一 3b 0).(1)求证：BE = BF ；（2）若直线AE与平面歴尸所成角

8、的正弦值为纟，求二而角A-BE-F平面角的余弦值.20. （本小题满分12分）为确保我国如期全而建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础.在产业扶贫政策的大力 支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比升级前和升级后的效果，苴中甲生产线 继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式.质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各100件 玩具，在抽取的200件玩具中，根据检测结果将它们分为“f、“B”、“C”三个等级，A、8等级都是合 格品，C等级是次品，统讣结果如表所示：等级ABC频数1007525（表二）合格品次品合计甲80乙5合计在相关政策扶持下，确保每件合格品都有

9、对口销售渠道，但从女全起见，所有的次品必须由厂家自行销毁.（1）请根据所提供的数据，完成上而的2x2列联表（表二），并判断是否有99.5%的把握认为产品的合 格率与技术升级有关？（2）每件玩具的生产成本为20元，A、B等级产品的出厂单价分别为加元、40元.若甲生产线抽检的玩具中有35件为2等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件玩具比技术升级前多n(ad -be)2(a + b)(c + d )(a + c)(b + d)盈利12元，则/等级产品的出产单价为多少元?P（K 臥）0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828

10、附：K2 =其中 n = a + b+c + d .21（本小题满分12分）已知函数f（x） = x-nx-a有两个相异零点心 吃（西 召）（1）求a的取值范用.（2）求证:%)+ x24a + 2322.（本小题满分12分）在平而直角坐标系xOy中，O为坐标原点，M（、/亍,0）,已知平行四边形OMNP两条对角线的长度之和等于4X 0(1)求动点P的轨迹方程:(2过作互相垂直的两条直线与动点P的轨迹交于A、BJ2与动点P的轨迹交于点C、DAB、CD的中点分别为、F, 证明：直线恒过泄点，并求岀左点坐标. 求四边形ACBD面积的最小值.2021年汕头市普通高考第一次模拟考试数学试题参考答案及评

11、分标准评分说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一 半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.题号12345678答案CCBDAAAC二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的 得2分

12、，有选错的得0分.题号9101112答案ACABACDBD第题：若加在0,2羽有且仅有4个零点,则由5,2刃得:利+彳令/ =(0X + -, y = sinf图象如上图所示4(1).43近+彳6解得:罟仆罟故：C正确由图容易得到：/(对在0,2兀有且仅有2个极小值点，故：A正确(3)十(。,菩)5 +令2+ ,故/(x)在0, 不单调，故B ； 415 ；由知：企。12 ,+12.龙882154604(4)对于D选项，y = /(x)图象关于x =-对称4+ - = - + (ZreZ)442.c = l + 4k又v fM在71 5tt = 2 血一36 1812：.co0得：/(%) =

13、 -竺丄XJT令 f(x) = 0 得，x = 0当X变化时，fXx)J(x)变化如下表:X(0,e)e(匕乜)fM+0fM单调递增极大值丄e单调递减In X故，/(%) =.%0如图所示:xA.八2) = = ln2V=13 亍 22/. 3亍 V- :. /(3) /(2)，故 A 错B. 后五且于（兀）在（0疋）单调递增.丁（乔）川7）,也匹 .学V鉴.*国故：B正确 e兀yje yjTTX eC f (x) = m有两个不相等的零点xpx2 /(X) = f也)=m不妨设0再e x2要证：xmveS即要证：x, 22 2 x, e,：.e f(x)在(0)单调递增,只需证: y 2 f

14、Mf -即：/(x2)/ -只需证：f(x2)-fX2 丿X2 )r1e),贝ij(x) = (lnx-l)| -4 j当 xe 时，lnxl,丄丄:.gM0 :. g(x)在(e,+s)单调递增：x2e .-.g(x2)g(e) = 0,即：/(x2)-/ 0这与矛盾，故C错In kIn lrD设2v = 5- = k ,且x, y均为正数，则x = log7 k = 5 y = log5 k = In 2In 5. 2x = In k.5y =In kIn 2In 5In21 ln5 -（- Y- Yv = ln22,= ln55K22 55 v 22 5325丿l丿丿0 A /. 2x9

15、*如：r_=i22 43 6车沪，匚二=30）cr 2（rm 2m【解法1】设I OH 1= chSH为RgABS的外接圆半径，由图得，I OH I2+IS/ l2=l OS I2设外接球半径为凡 则d2+ = R（1）又因为二而角S-AB-C的大小为60,则ZCHS = 60/. ZCHO = 30,在CHO 中，d1 +CH1-2xl CH cos30 = R2, （2）CH为等边 ABC的高，则CH =/了由（1） （2）得，d = , R = J2 +1 = ,S =7R =3 99【解法2】设H, 为分别为RUABS和等边aABC的外接圆圆心，分别过H,E作各自平而的垂线相交于点0,

16、0为球心又因为二而角S-AB-C的大小为60。，则ZCHS = 60:.乙CHO = 30、CH 为等边 aABC 的高，则因为ZCH”30。，所以“飞在 RtMEC 中，R2 =EO2 +CE2 = ,S = R2 =99四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）解：（1）选条件，方法一：由= +加得0/1 1当 /?2 时，_|=一 +加.1 分又当n = l时，勺=5=牙+加，因为数列是等比数列，3分231所以一+ m = 1,即m =4分22所以数列的通项公式为4 =3心，n e M 5分方法二： 当” =1 时，=5,=- + /.1 分

17、2当 n = 2 时，a2 = S2 - Sj =/ 3 b m(2丿31)F nt2)=3当 n = 3 时，a3 =S3-S2 =(33+ m1232+ m =92q = = 3.a =1.3分所以坷=3 + in2 所以勺=3“5分选条件方法一：当 n2 时，5_, =-alt+m1 分2两式相减得 an = + a”+i - a”，即 an = 3an2 分因为数列是等比数列，且,=1.3分所以数列的通项公式为勺=3二n e N，4分又当n = 1 时，ax = a2 +m ,即 m =5 分2 2方法二：当 n = l 时，a =S =-a2 +m1 分23c2 分当 n = 2 时

18、，=S? S = （ 佝 + m 所以q = = 3,q = 13分-31所以绚 = + m = 1,：. m = 4分 2 2所以5=3-15分（2）由（1）可知，g =即/,=于=r6分仏+ 1）（伽+1）（3门+1）（3”+1）”冷 l3”“+l 3”+11则人=也+优+ + ” =空11 111+ 十.+4 4 1033t +1 3” +1 丿3+l丿 2（3“ + l）10分18.（本小题满分12分）解法一：（1）在 “IBC 中，因为b =返,ZB = 45。由余弦定理b2 =a2 +c2-2accosB , 1分V2得5 = 2 + / -2x/2 xrzx2解得“ =3或a =

19、 1 （舍）2分 所以BC = 33分 三角形 ABC的面积5AABC=|csinB = |-3- = |.5 分乙厶乙乙（2）在aABC中，由正弦定理上- =sin B sin C得上=卫二，解得sinC = ,6分sin 45 sinC5在aABC中，因为b = *c =迈,所以ZC为锐角.7分故cosC = Vl-sin2C = 寺8分4因为cosZADB = -, (ZADB为锐角)所以 sin Z.ADB = Jl-cos，AADB = Jl 导=9 分sin ADAC = sin(ZADB - ZC),= sin ZADB cos AC - cos ZADB sin ZC = xx

20、 =10 分5 55525因为由图可知ZDAC为锐角，贝ij cos ADAC = l-sin2 ZDAC =11分25所以 tanZDAC= Z/)/AC =12 分cos ZDAC 11解法二：(1)同解法一b c(2)在ABC中，由正弦定理= sin B sin C75 . V? sin 45 sin C解得sin C =在中，因为b = 4c =迈,所以ZC为锐角.7分故 tanC = 8分24因为cosZADB = -, (ZADB为锐角)3所以 tan ZADB = 9 分43 AADB + ZADC =兀、:.tan ZADC 10分4故 tan ADAC = tan( -(ZA

21、DC + ZC)爲m分nI?分所以 tan ZDAC =sin ZD4Ccos ADAC2_H因为由图可知ZD4C为锐角，贝ijcos11分解法三：(1)过点A作出高交BD于F 4ABF为等腰直角三角形, AB = yf.AF = BF = X1分 同理为直角三角形， AF = 1, AC =亦FC = 22分 故BC = BF + FC = 33分 三角形ABC的而积Szc =|lBCI-IAFI=|5分4(2) bAFD 为直角三角形，且IAF1= hcosZADB =-所以sin ZADB = /l-cos2 ZADB = Jl-| = |.7 分AF 5423CD = ? sin ZA

22、DC = -9 分在ADC中由正弦泄理得,CD _ ACsin ZDAC sin ZADC9 R故sin ZDAC = 10分25所以tanZDAC= Sin ZDAC =12分 cos ZDAC II解法四：(1)同解法一5分4(2)由cosZADB =可知ZAD3为锐角5 2sin ZADB Vl-cos2 ZADB 5 3cos ZADB cos ZAOB4 45又由(1)知a = 3.5+宀二半a2ba 2-J5-35可知C为锐角,tanC = = fc2cosC coseX=125210分 tanZDAC = tan(ZA)B-C)= 4,21 + -4 2分122n=1 -4-H

23、-8解：(1)证明：连结BO、,在圆柱中OO|中, -EF 丄 CO EF 丄 BC , 且 CDc BC = C,CD、BCu 平而 ABCD.EF丄平W ABCD,4分（少条件扣一分）又BO、u平而ABCD.EF丄BQ, 5分在bBEF中，O为EF中点:.BE = BF6分（2）法一：（向量法）解：分别以EF在0O所在平而内的投影、AB. oq为坐标轴建立空间直角坐标系（如图所示）,则 A（0,70）,B（U0）,E（lWF（l,04）（7 分）AE = (1,1,“)， BE = (1,一1卫),BF = (1,1卫)设平而的法向疑分别是耳=（召，牙，zj 则由 W, BE = 0 及

24、/i| - BF = 0,-x - y. +azx =0 亠，一得1?，1 ，取z, =L得厲=(0卫,1)8分I 州一”+血a + a设直线AE与平而BEF所成角为0,由 sin 0 =1 cos v AEy n 1= .=.= = ,J/ +2 J/ + 13化简得：(22)(/-1) = 0 解得= JI, (1)(9 分) 设平而A3E的法向虽:分別是戸2 =（七，2，2）则由 ny - AB = 0 及 ih AE = 0,得2_0 l ，取 = 1,得瓜= (J!o,l)10 分 -x2 + y2 + 2z2 =0 Icos =-11分 3设二而角A-BE-F的平而角为&, 则 I

25、 cos 01= cos =-,-3由图像可知，&为锐角，-所求二而角A F的平而角的余弦值为? 12分连AO、,而3EF丄而ABCD,过人作丄30】（7分）AH丄而BEF,连EH,则ZAEH为AE与而BEF的所成角.在厶ABOl.AOJ = BO】=a2 +1 ,由等积法11 _2d = J/+iM.AH=48 分)22yfa2 +2“J(/+l).(/+2)化简(/ 2)(/ 1) = 0/ a 1 :.a = yl (9 分) .AB = BE = AE = 2,取 BE 的中点 M,连 AM、HM、则 AM 丄 BE、HM 丄 BE,:.ZAMH为二而角A-BE-F的平而角.(10 分

26、)cosZHMA = - = -AM 3.二面角平面角的余弦值为*(12分)20.(本小题满分12分)W：(1)根据所提供的数据，可得2x2列联表:合格品次品合计甲8020100乙955100合计175252002分设丹。：产品的合格率与技术升级无关.(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)可得 KOO 巡0x5-95x20)2 =久。37 X9.175x25x100x1007.-.P(/C2A:o) = O.OO5故有99.5%的把握认为产品的合格率与技术升级有关.5分(2)解法一：甲生产线抽检的产品中有35件A等级，45件B等级，20件C等级，6分对于甲生产线，单件产品利润

27、X的取值可能为/n-20,20,-20,7分X的分布列如下:Xm2020-20P791202057Q17则 E（X） = （加_20）x + 20x _20x_ = /m_2 ,8 分20205 20乙生产线抽检的产品中有65件A等级，30件3等级，5件C等级：9分 对于乙生产线，单位产品利润丫的取值可能为/H-20,20,-20,10分 丫的分布列如下：Y加2020-20P1331201020133113(y)= (.-20)X-+20x-20x- = -.-8,1】分依题意.E（y）-E（x）= /n-8-j zh-2 | = -6 = 12,20 120 丿 20.加=60,所以，A等级

28、产品的出产单价为60元.12分（2）解法二：甲生产线抽检的产品中有35件A等级，45件B等级，20件C等级， 乙生产线抽检的产品中有65件A等级，30件B等级，5件C等级：7分 因为用样本的频率估讣概率t.、小，八、门_35x/7?+ 45x40-100x20 7 小所以对于甲生产线，单件产品的利润呦=一m-2100 20IT-亠宀 At、 n”.65 x/7/+ 30x40-100x20 13 o 八对于乙生产线，单件产品的利润屁=一也-811分100 20依题意. Q _无卩=/?z-8- /?-2 = -6 = 12 1 20 （20 ） 20/./ = 60,所以，A等级产品的岀产单价

29、为60元.12分 21（本小题满分12分）W：(1)/(x) = (x0)1 分x当0 vx v 1时，/ （兀）0J（x）单调递减：当兀1时，f（x）OJ（x）单调递增：2分由f(x).3分当“1 时，/()0,/(I) 0 ,所以丸丘（严1）使得f/（x1） = 0,3x2已（10）使得/（x2） = 0,综上： e（l,-Kz）.5 分（2）由（1）可知，0召1心，要证西+乞V4a + 23即证X2 警-廿心一叽）+ 2_齐=4叽+26分构造函数g(x) = V41nV+2,(0xl),则g(x) = g(l) = l故有/21,巴_41学+ 21因为fM在（l,p）上单调递增，所以只需

30、证/（A-2）/A：4bV：+2即证加V（匕严T构造函数/7(A) = /(%)-/x-41nx + 23,(0x 0在x w (0,1)时恒成立即证lnx(x + 5)(x -l) 04x + 2构造函数0（x） = lnx-（E）3T）.（o0在xe(OJ)时恒成立10分 (2x + l)x因此(p(x)在(0,1)上单调递增,从而(p(x) V卩=0,:.h(x) 0在xe(0,l)时恒成立/. h(x)在 (0,1)时单调递增It(x) /7(1) = 0 成立，即/(x,) f Al41 + 2I 3 丿/. x+x2QM.1 分所以动点P的轨迹是以Q、M为焦点的椭圆(左右顶点除外)

31、0(, 0)2a = 4, c = V? , 3 分故 b，=a -c2 =12动点P的轨迹方程是： + y2= (y工0)4分4方法二：设点P(x,刃依题 MP + ON=4OP-OM + OP + OM=4,J(工+ )广 + yj(x+ y =4 2/3 , 2分 所以动点P的轨迹为椭圆(左右顶点除外)2a = 4,c = /3 ,故戻=a2-c2 =1.动点P的轨迹方程是：+ y2 = 1($工0)4分4(2)21。当厶垂直于X轴时，A3的中点E(JMo),直线人为X轴，显然与椭圆+ r = 1 (yHO)无交点,4故不合题意5分-24疋+ 12。当厶不垂直于x轴时，不妨设直线厶的方程为y = k(x-y/3伙HO), 4(州)(吃*2)由片吃“)得,(x2+4y2=4容易矢口道：A 04疋+1）疋_8憑2尤 + 2/_4 = 0由韦达左理得：坷+%2 =8屈212疋一4厂