定积分的应用

1、 毕 业 设 计 (论 文)题 目：定积分的应用院 系：数学与信息科学系专 业：数学与应用数学班 级：2009级本科1班姓 名： 学 号：20090501026指导教师： 2013年05月25日定积分的应用【摘要】定积分是积分学中的重要内容,是一种从许多实际问题中概括出来的特殊的极限问题,它有着很强的应用性.文章主要介绍了定积分在数学、物理、工程、经济学中的一些应用.通过这些例子,进一步加深我们对定积分的理解,明确定积分在联系实际问题和数学问题中的桥梁作用，同时拓展了我们的思维,提高我们利用定积分解决实际问题的能力.【关键词】定积分; 微元法; 极限application of definit

2、e integral【abstract】definite integral is an important content in integral calculus. it is a summary from many practical problems of special limit problem there is a strong applicability in definite integral.this article introduce some examples of application for definite integral in mathematics, phy

3、sics, engineering and economics. definite integral is presented to solve some practical problems in these disciplines and specific methods of examples.these examples make us deepen the understanding of the definite integral and realize that definite integral play the role of bridging practical probl

4、ems and mathematical problems. and they expand our thinking and improve our ability of using definite integral solution actual problem .【key words】definite integral; infinitesimal method; limit 目 录1 引言12 定积分简史12.1 定积分的诞生12.2 定积分研究现状23 定积分在数学中的一些应用23.1 利用定积分求极限23.2 利用定积分证明不等式43.3 定积分在几何中的一些应用53.3.1 利

5、用定积分求平面图形面积53.3.2 利用定积分求立体的体积6 3.3.3 利用定积分求曲线的弧长83.3.4 利用定积分求旋转曲面面积84 定积分在物理中的一些应用94.1 定积分在力学中的应用9 4.2 定积分在电学中的应用104.3 定积分在天文中的应用115 定积分在工程中的一些应用125.1 定积分在土建工程中的应用125.2 定积分在河床计算上的应用136 定积分在经济中的一些应用136.1 求经济原函数136.2 由变化率求总量146.3 求消费者剩余与生产者剩余146.4 计算资本现值和投资167 结论18参考文献19致谢201 引言 微积分创立是数学史上的一个重要转折,一个具有

6、划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样“在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了.”定积分是微分学中的重要内容,是微积分研究的一个核心问题,它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具：如数学、物理中的证明与计算,复杂图形的研究,化学反应过程的分析,市场经济的分析等等.正是由于定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能,如气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到定积分.文章主要通过介绍定积分在数学,物理,工程,经济中的一些应用,列举了一些具体的例子,总结了一些具体的方法,通过这些例

7、子和方法,体现了定积分在现实生活中的普遍实用性以及定积分的思想对人类的影响.通过学习研究定积分的应用,让我们将现实生活中的一些抽象的实际问题跟数学问题融洽的衔接起来,用运智慧而又严密数学思想来解决实际问题.300多年前,受天文学的影响,牛顿和莱布尼茨创立了定积分思想,定积分诞生于对现实生活的需求中,定积分的应用很好的体现了学以致用的思想,也很好的解决一系列现实问题,通过应用定积分可以拓展我们思维,发展我们的科学,使我们在数学科学技术经济等方面得到了长足的发展,解决了许多的困难.下面,让我们更好的去体会定积分.2 定积分简史2.1 定积分的诞生定积分是积分学研究的核心内容,它诞生于实际生活的应用

8、中,它的发展大致可分三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段和19世纪的完成阶段.真正的成为积分学萌芽的当推阿基米德用运穷竭法求抛物线弓形的面积.16世纪中叶,积分学进入酝酿阶段,开普勒出版新空间几何；卡伐列利著作不可分量几何学,影响巨大,到达积分学边缘.17世纪上半叶,积分学的奠基工作紧锣密鼓的进行着：帕斯卡在证明体积公式时略去高次项,费马的极值为定积分开辟了道路,沃利斯大胆的将有限推向无限,巴罗给出了求切线的方法！现代数学史家波耶认为在所有微积分的先导工作中,费马和巴罗最接近于分析学.牛顿和莱布尼茨在十七世纪下半叶终于创立了定积分:牛顿在流数术一书中陈述了所研究的基本问题是“已知

9、量的关系,要算出他们的流数,以及反过来.”正是这一点是牛顿超过所有积分学的先驱者.牛顿完整的提出微分和积分是一对逆运算并指出了转换的公式,这个公式现在成为牛顿莱布尼茨公式.19世纪末,经过波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学家的努力,积分学的理论基础基本完成,波尔查诺通过极限给出了函数连续的概念及导数的严格定义,柯西用极限给出了定积分的定义,定义了函数,证明了当在上连续时,在上连续、可导,且.继之柯西证明了的全部原函数彼此只相差一个常数,因此,他把不定积分写成：并由此推出了牛顿-莱布尼兹公式.至此,定积分基本定理得到了严格证明和最确切的表示形式.2.2 定积分研究现状20 世纪的分析学基

10、本上解决了线性空间上的线性算子（线性微分方程）的课题,目前非线性分析已成为最活跃的数学分支之一.定积分的基础虽已严密化, 但无穷小量却不再是一个量, 而是一种变化过程.为了使无穷小和无穷大作为一个量重返数坛, 罗宾逊在1960年将实数系扩充为超实数系,无穷小量作为中的数,使极限过程的表示显得更为简单,这称为非标准分析.泛函分析的产生使分析学跃上新的高度.希尔伯特空间, 巴拿赫空间, 广义函数论已成为数学家和物理学家的常识.无限维空间上的积分学尚未诞生,这也许是21 世纪的任务.此外, 积分论仍在发展, 黎曼积分的推广仍不能说已经完成了.定积分从20 世纪初开始进入中学.它作为人类文化的宝贵财富

11、, 正在武装一代又一代的新人, 终将成为世人皆知的常识.它那闪耀着智慧光芒的深刻思想, 一定会哺育人类走向更高的历史阶段.3 定积分在数学中的一些应用3.1 利用定积分求极限例1：求极限.分析：此题所研究的极限为项和的形式,由 可看成函数在在区间上的一个和式的极限.解： .例2：求极限 解：对所求极限进行变形 其中和式时在区间上的积分和.所以 原式. 例3：求极限 分析：此题所研究的极限为项积的形式,有对数性质： 可知将项积利用恒等变形化为项和. 解：原式= 所以 原式. 在求项和极限时,若数列的每一项可提出一个形式的因子,剩余的可用一个通式表示,则可考虑用定积分求其数列的极限.3.2 利用定

12、积分证明不等式 定理：设与都在上可积,且,则 特别地,当时,有.证明：任取一个分割t将区间分成个小区间,记分点为： 第个小区间的长度表示为： ,有 特别地,当时, 所以. 例4: 证明： 证明:； 设在上连续,当时, 故： 且,使,所以 .即: .3.3 定积分在几何中的一些应用3.3.1 利用定积分求平面图形面积 利用定积分可以求由曲线围成的平面图形的面积,由定积分的几何意义可知, 曲线及直线与x 轴所围成的平面图形的面积为(如图3.1).表示以为高, 为底的小矩形的面积,它表示上曲边梯形面积的近似值,称为面积元素.所以我们在计算曲边梯形的面积时, 只要找出它的面积元素, 并用定积分表示出来

13、即可. 这种方法成为微元法. 图3.1例5: 计算由两条抛物线:所围成的图形的面积. 解: (如图3.2) 取横坐标为积分变量, 变化区间为,取微元为小矩形部分, 则小矩形部分的面积为,即故所求面积为： 图3.2 注（1）: 以上解法也称为 - 型解法,即在微元小矩形上固定积分变量不动,让由小到大变化,的变化值就是最后定积分的被积函数,最后再让在区间上变化. 注（2）: 例5也可按另一种方法进行求解(如图3.3),取纵坐标为积分变量,变化区间为,取微元为小矩形部分,则小矩形部分的面积为,即： 图3.3 故所求面积为： . 以上解法也称为 - 型解法,即在微元小矩形上固定积分变量不动,让由小到大

14、变化,的变化值就是最后定积分的被积函数,最后再让在区间上变化.3.3.2 利用定积分求立体的体积设三维空间中夹在垂直于轴的两平面与之间的一立体,若在任意一点处作垂直于x 轴的平面,它截得立体的截面面积是的函数,记为.取为积分变量,变化区间为,任取小区间,利用微元法,相应于小区间上截得以为底,为高薄片的体积,体积微元素可近似为： .故立体的体积公式为： .例6：如图3.4所示,直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截,试求截得楔形体的体积.分析：先求出底边界曲线方程,再作截面垂直轴,求出截面面积函数. 解:如图3.4所示.底面边界曲线方程为 作截面垂直轴,则与楔形体交面是一个矩形, 图3.4其截面面

15、积为 .取为积分变量,变化区间为,任取小区间,利用微元法,相应于小区间上薄片的体积可近似看作是以为底,为高的长方体的体积,体积微元素为： 因而所求的体积为 . 利用定积分也可以求旋转体的体积.一般,设旋转体是由连续曲线,直线,及轴围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体.取为积分变量,变化区间为,任取小区间,利用微元法,相应于小区间上的旋转体薄片的体积可近似看作是以为底半径,为高的扁圆柱体的体积,体积微元素为： .从而,这种旋转体的体积为： . 例7：如图3.5,求椭圆绕轴旋转一周而成的旋转体的体积. 解：绕轴旋转时,因为,由公式 得 椭圆绕轴旋转而成的旋转体体积为： 图3.5 .3.3.3 利用

16、定积分求曲线的弧长若曲线由参数方程给出.若为一光滑曲线,则是可求长的, 且弧长为 .例8：求摆线一拱的弧长.（如图3.6）解：摆线的一拱可取.,由公式得 . 图3.63.3.4 利用定积分求旋转曲面面积假设平面光滑的曲线的方程为,（不妨设）我们可用微元法导出这段曲线绕轴旋转一周得到旋转曲面(如图3.7)的面积公式.通过轴上点与分别作垂直于轴的平面,它在旋转曲面上截下一条窄带,当很小时,此带面积近似于一圆台的侧面积,故侧面积的微元为： 所以旋转曲面侧面积为 . 图3.7例9：求曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积.解：由旋转曲面面积公式得： 4 定积分在物理中的一些应用 定积分在物理学中的应用,可以说

17、是定积分最重要的应用之一,由于定积分的迅速发展,才使物理学中精确的测量计算成为可能,从而使物理学得到长足的发展.4.1 定积分在力学中的应用假设物体在变力的持续作用下，沿轨道由处移动到处，那么在上面所作的功是非均匀分布的整体量，利用微元法，我们把从到这段曲线分割成无穷小段，每一段可以近似认为是一小段直线，称为位移元.在每个位移元上，可近似认为力的大小和方向没有变化，若在该位移元上力与位移的夹角为，则力在该位移元上的元功为 故物体由移动到力所作的总功为 .例10：如图4.1，一轻绳跨过无摩擦的滑轮，系在质量为的物体上.用大小不变的力作用于绳的另一端，使物体向右运动.当物体在水平面从移动到时，求力

18、对物体所做的功.已知滑轮顶比物体所在的平面高（不计物体本身高度），并且不计滑轮质量.解：如图4.1,以滑轮正下方平面上的点为原点，沿平面向左方为坐标轴正方向，建立坐标轴.物体在点的位置坐标是，点的是.因不计绳和滑轮的质量，绳端作用于物体上拉力的大小仍为，方向沿绳拉物体的方向.当物体在任一点处时，拉力在轴上的投影是: 图4.1 .物体位移为时，力的元功为: 物体从运动到，拉力作功是: .4.2 定积分在电学中的应用例11：设真空中有一均匀带电直线,长为总电量为,线外有一点离直线的垂线距离为,点和直线两端点的连线之间的夹角分别为和,如图4.2所示,求点的场强. 分析:这里产生电场的电荷是连续分布的

19、,利用微元法,首先把整个电荷分布划分为许多电荷元,求出每一电荷元的给定点的场强,然后根据场强叠加原理,按的关系求总场强,由于场强本身是矢量,所以必须注意选取方位适当的坐标系,以便求出分量,再经积分计算求得,. 解:我们以点到直线的垂足为原点,取坐标轴,如图,在带电直线上离原点为处取长度元,上的电量为,设直线上每单位长度所带电量,（称为电荷线密度）,所以: 图4.2 设到点的距离为可知在点处产生的场强的大小为 方向如图,显然: ,从图可知: ,.所以: （1） （2）将（1）,（2）式积分得: ； ；可注意到,点处的场强的大小与该点离直线的距离反比,的大小和方向可从,确定.如果这一均匀带电直线是

20、无限长的,即,那么有: .应用定积分可以将一些无法直接解决的问题转化为简单的问题,通过“微元法”可以处理非均匀变化的问题.4.3 定积分在天文学中的应用在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有限性和被积函数的有界性.但在天文学的应用上,很多实际问题要往往需要突破积分区间的有限性,考虑无穷区间上的积分,然而它的中心原理,还是定积分的应用.例12：（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭,要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度至少要多大？解：设地球半径为,火箭质量为,地面上的重力加速度为,按万有引力定律,在距地心处火箭所受到的引力为.于是火箭从地面上升到距地心为处需作的功为： .当时

21、,其极限就是火箭无限远离地球需作的功.即： . 最后,由机械能守恒定律可求得初速度至少应使. 用,代入,便得： .5 定积分在工程中的一些应用5.1 定积分在土建工程中的应用定积分在土建工程中也有广泛的应用.众所周知,万丈高楼平地起没有坚实的基础.一切都是空想.而定积分在土建的地基修建中扮演着重要角色.例13：某建筑工地打地基时,需要气锤将桩打进土层,气锤每次打击,都将克服土层对桩的阻力而做功.通过对调查数据的分析土层对桩的阻力大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数)气锤第一次击打将桩打进地下米.根据设计方案,要求气锤每次击打桩时所做的功与前一次所做的功之比为常数.而气桩的深度有严格的要求,

22、因此,对打击的次数也要精确,下面对气锤打击进行研究：(1)若气锤击打3次后,可以将桩打进地下多深?(2)若击打次数无限气锤最多能将桩打进地下多深?解：(1)设第次打击后.桩被打进地下,第次击打时,气锤所做的功为,由题设,当桩被打进地下深度为时,土层对桩的阻力大小为,所以： 由,可得： 由,可得： 即气锤击打三次后,可将木桩打进地下米.由归纳法,设,则 由得： 从而： 即若不限击打次数,气锤至多能将桩打进地下米.5.2 定积分在河床计算上的应用在计算河床的平均深度时,可应用定积分中值定理知识.定积分中值定理可应用于计算河流、湖泊等河床横断面水的平均深度,以此用作河流测流、工程设计或施工的一个依据

23、.只要测量出河面在某处的宽度,河床的横断面形状和河床的最大深度,则可运用定积分中值定理知识计算该处河床的平均深度（)即： .例14：设一河流的河面在某处的宽度为,河流的横断面为一抛物线弓形,河床的最深处在河流的中央,深度为,求河床的平均深度. 分析：首先,选取坐标系使轴在水平面上,轴正向朝下,且轴为抛物线的对称轴(如图5.1).于是,抛物线方程为,然后,运用定积分中值定理便可求得河床的平均深度. 解：河床的平均深度为： =. 图5.16 定积分在经济中的一些应用在经济学中,定积分有着广泛而又重要的应用,下面将通过几个具体的事例来研究定积分在经济中的应用,例如求总量生产函数,消费者剩余和生产者剩

24、余,投资决策问题等.6.1 求经济原函数 在经济管理中,由边际函数求总函数一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分,可以求总需求函数,总成本函数,总收入函数以及利润函数.设经济应用函数的边际函数为,则有.例15：设生产个产品的边际成本,其固定成本为元,产品单价规定为500元.假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少使利润最大？解：首先由边际成本,利用变上限定积分得： 所以最后的总成本为： 又因为收益函数为,所以总利润为： 令 即： 得： 故生产量为150个时利润最大.解决此类问题,关键要知道由边际成本来求总成本采用的是变上限定积分.然后由利润=收益-总成本,即可求得.6.2 由变化率求

25、总量在经济管理中,应用定积分可以解决由边际函数求总函数或者求总函数在某个范围的改变量问题.例16：已知某产品总量的变化率为(件/天),求从第一天到第四天产品的总产量.解:设总产量为,已知第天总产量的变化率为,它随变化,则总产量在内的微元为.故在内总产量为： .6.3 求消费者剩余与生产者剩余在经济活动中,生产者希望获得更多利润,消费者希望购买物品物有所值.为了衡量消费者与生产者各自的利益,我们就要研究一下如何计算这个利益,在此涉及到两个名词：消费者剩余和生产者剩余.下面我们论述一下定积分在计算消费者剩余和生产者剩余中的应用.消费者剩余：在经济学上,消费者剩余是指消费者对一定量的商品或服务最多愿

26、意支付的价钱与实际支付的价钱只差,它是对消费者从交易中所得利益的一种货币度量.例如：假设某消费者对某商品的需求函数为,当是离散型函数时,我们可通过列表很容易得出结论.然而,若是一条连续曲线时,那么该如何计算消费者剩余？我们知道：一般地,需求函数图像上的一点的含义是：消费者购买单位商品时,他最多愿意为第单位商品支付单位货币.因为商品有成本,所以售价不能低于某一单位货币,且当时,为求消费者剩余,我们先来证明如下公式：当消费者购买单位商品时,最多愿意付出的货币金额为： 证明：已知函数是上的一条连续曲线,如图6.1所示,任取一个分割将分成个小区间,记分点为： 第k个小区间长度标为： 通过做轴的垂线,这

27、些垂线与曲线相交,将曲边梯形分成个小曲边梯形,任取,则当消费者购买单位商品时,消费者最多愿意支付的货币金额可以近似的看成： 图6.1 所以当消费者购买商品时,最多愿意支付的货币金额的近似值为： 当时,其极限即为所求： 所以： 若此时市场价格为,则消费者剩余为： .生产者剩余：在经济学中,生产者剩余是指生产者出售一定量的商品或服务实际获得的价钱与生产者最少愿意获得的价钱只差,是对生产者从交易中所得利益的一种货币度量.类似于需求函数,假设某生产者对某商品的供给函数为,一般地,供给函数图像上的一点表示生产者出售单位商品时,他最少愿意从第单位商品获得单位货币,同消费者剩余公式推导,如果生产者出售单位商

28、品,他最少愿意获得的货币是,若此时市场价格为,那么生产者剩余为： .例17：某商品的需求函数为元. (1) 求消费者购买3个此商品时最多愿意付的钱. (2) 若消费者购买3个商品时的市场价格为3元每个,求消费者剩余的钱.解：（1）. (2) .例18：设某商品的供给函数为,如果产品的单价为425元,计算生产者剩余.解：首先求出对应于的的值.令,得一正解: .于是生产者剩余为: 6.4 计算资本现值和投资在投资分析过程中,为便于计算,常将投资资金的收益近似的视为是连续发生的,成为收益流.现值则表示为了获取将来从收益流中得到的定量金钱,现在必须投资的金钱数量.若有一笔收益流的收入率为假设连续收益流

29、以连续复利率计息,从而总现值.例19:现对某企业给予一笔投资,经测算,该企业在年中可以按每年元的均匀收入率获得收入,若年利润为,试求:(1) 该投资的纯收入现值;(2) 收回该笔投资的时间为多少?解:(1)求投资纯收入的现值:因收入率为a,年利润为r,故投资后的t年中获总收入的现值为 .从而投资所获得的纯收入的现值为 .(2)求收回投资的时间:收回投资,即总收入的现值等于投资.由得 .即收回投资的时间为.例如,若对某企业投资,年利率为5%,设在20年中的均匀收入率为(万元/年),则有投资回收期为 (年)由此可知,该投资在20年内可得纯利润为1728.2万元,投资回收期约为4.46年.7 结论通过介绍定积分在数学（求极限、证明不等式、求面积、体积、弧长）,物理（力学、电学、天文）,工程（土建、河床计算）,经济（原经济函数、求总量、消费者剩余与生产者剩余、现值和投资）中的一些应用,给出了一些解决这些实际问