高考专题：平面向量中的三角形“四心”问题题型总结汇编

1、精品好资料学习推荐专题：平面向量中三角形“四心”问题题型总结在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力现就“四心”作如下介绍：1“四心”的概念与性质(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为21.在向量表达形式中，设点G是ABC所在平面内的一点，则当点G是ABC的重心时，有0或()(其中P为平面内任意一点)反之，若0，则点G是ABC的重心在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x

2、，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有x，y.(2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心它与顶点的连线垂直于对边在向量表达形式中，若H是ABC的垂心，则或222222.反之，若，则H是ABC的垂心(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等在向量表达形式中，若点I是ABC的内心，则有|0.反之，若|0，则点I是ABC的内心(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等在向量表达形式中，若点O是ABC的外心，则()()()0或|.反之，若|，则点O是ABC的外心2关

3、于“四心”的典型例题例1已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_心解析由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心答案重点评探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合，这可从已知等式出发，利用向量的线性运算法则进行运算得之例2已知ABC内一点O满足关系230，试求SBOCSCOASAOB 之值解延长OB至B1，使BB1OB，延长OC至C1，使CC12OC，连接AB1，AC1，B1C1，如图所示，则2，3，由条件，得0，所以

4、点O是AB1C1的重心从而SB1OC1SC1OASAOB1S，其中S表示AB1C1的面积，所以SCOAS，SAOBS，SBOCSB1OCSB1OC1S.于是SBOCSCOASAOB123.点评本题条件230与三角形的重心性质0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比引申推广已知ABC内一点O满足关系1230，则SBOCSCOASAOB123.例3求证：ABC的垂心H、重心G、外心O三点共线，且|HG|2|GO|.证明对于ABC的重心G，易知，7、你喜欢哪一类型的DIY手工艺制品？对于AB

5、C的垂心H，设m()，则标题：大学生究竟难在哪？创业要迈五道坎 2004年3月23日m()(m1) mm.（二）对“碧芝”自制饰品店的分析由0，得(m1) mm()0，(m1) ()m(22)0，（一）DIY手工艺品的“多样化”因为|，我们女生之所以会钟爱饰品，也许是因为它的新颖，可爱，实惠，时尚，简单等。的确，手工艺品价格适中。也许还有更多理由和意义。那么大学生最喜欢哪种手工艺品呢?此次调查统计如下图（1-3）所以(m1) ()0.但与不一定垂直，所以只有当m1时，上式恒成立所以，从而，得垂心H、重心G、外心O三点共线，且|2|.但这些困难并非能够否定我们创业项目的可行性。盖茨是由一个普通退

6、学学生变成了世界首富，李嘉诚是由一个穷人变成了华人富豪第一人，他们的成功表述一个简单的道理：如果你有能力，你可以从身无分文变成超级富豪；如果你无能，你也可以从超级富豪变成穷光蛋。引申推广重心G与垂心H的关系：()在现代文化影响下，当今大学生对新鲜事物是最为敏感的群体，他们最渴望为社会主流承认又最喜欢标新立异，他们追随时尚，同时也在制造时尚。“DIY自制饰品”已成为一种时尚的生活方式和态度。在“DIY自制饰品”过程中实现自己的个性化追求，这在年轻的学生一代中尤为突出。“DIY自制饰品”的形式多种多样，对于动手能力强的学生来说更受欢迎。点评这是著名的欧拉线，提示了三角形的“四心”之间的关系我们选择

7、恰当的基底向量来表示它们，当然最佳的向量是含顶点A、B、C的向量我们女生之所以会钟爱饰品，也许是因为它的新颖，可爱，实惠，时尚，简单等。的确，手工艺品价格适中。也许还有更多理由和意义。那么大学生最喜欢哪种手工艺品呢?此次调查统计如下图（1-3）例4设A1，A2，A3，A4，A5 是平面内给定的5个不同点，则使0成立的点M的个数为()A0B1C5D10解析根据三角形中的“四心”知识，可知在ABC中满足0的点只有重心一点，利用类比的数学思想，可知满足本题条件的点也只有1个价格便宜些 服务热情周到 店面装饰有个性 商品新颖多样答案B我们大学生没有固定的经济来源，但我们也不乏缺少潮流时尚的理念，没有哪

8、个女生是不喜欢琳琅满目的小饰品，珠光宝气、穿金戴银便是时尚的时代早已被推出轨道，简洁、个性化的饰品成为现代时尚女性的钟爱。因此饰品这一行总是吸引很多投资者的目光。然而我们女生更注重的是感性消费，我们的消费欲望往往建立在潮流、时尚和产品的新颖性上，所以要想在饰品行业有立足之地，又尚未具备雄厚的资金条件的话，就有必要与传统首饰区别开来，自制饰品就是近一两年来沿海城市最新流行的一种。点评本题以向量为载体，考查了类比与化归，归纳与猜想等数学思想本题的详细解答过程如下：对于空间两点A，B来说，满足0的点M是线段AB的中点；对于空间三点A，B，C来说，满足0，可认为是先取AB的中点G，再连接CG，在CG上取点M，使MC2MG，则M满足条件，且唯一；对于空间四点A，B，C，D来说，满足0，可先取A