“分段函数'教案

1、分段函数分段函数的含义在函数的定义域内，对于自变量x的不同区间，有着不同的对应法则的函数，这样的函数通常叫做分段函数.【提示】分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域也是各段值域的并集；分段函数的解析式中的“ ”与方程（或不等式）组中的“ ”的含义是不同的，后者是“并且”的 意思，“ ”中的要求要同时满足，而前者是分类定义，即对定义域进行分类后分别定义函数，没 有“并且”的意思（2）分段函数的函数值：已知分段函数的解析式求其函数值的关键是先弄自变量所在区间，然后代 入对应的解析式，并且逐步解决，对于求“层层套”的函数值，常常先从最内层开始运算，然后

2、往 外逐层运算1.设 f(x)2 (x 0) nt 3)，则 f (一)(1 d.21 3 一f 122 2收，选 b.2f (x 1)(x 0)2a. 34 b. 2 .2c. 2,31【答案】b解析：.f-f-22x2 1 x 172.设函数f (x)2xa. 1 b, 35，则 f(f(3)(x 1c.d.13【答案】d 解析：f3. （12 青岛质检）已知 f (x)1313 ,故选d.9cos x, x 0, w 44f(x 1) 1, x 0.则叼f( 3)d. 11) 11a .一21b. 一244f( -) cos()33c. 14 cos一cos331叼11 f(31) 1

3、1.222f ( -) 2 cos()2 cos333, f(3)| x |a b a b4. (11 茂名一模)设函数f(x) l，对于任意不相等的实数 a,b,则 f(a b)x22的值等于(a. a)b. bc. a、b中较小的数解析：当ab时，原式5.设 f(x) =a b2x+3a bx 10a b2a b2f (af f x+ 5b. 21x2)则f(5)的值是(18d.16x2 + 3x (x0 时，f(x) = f(x1) f(x2),f(3) = f(2) f(1) = f(1) f(0) f(1)=- f(0) = - 10g2(40)= 2. 2a2, x 2,解析：1.

4、f(2) = loga(22-1)=loga3=1,，a=3, . f(1) = 2x32= 18.11.设 f (x)a. 0【答案】c2ex1, 10g3 x2b. 1x 2，则f(f(2)的值为()1 ,x 2c. 2d. 312.设 f x1, x 00, x 0 , g x1, x 01, x为有理数0, x为无理数，则f(g()的值为(a. 1b. 0c.1d.解析：因为g( ) 0所以f (g()f(0) 0.13.给出函数f(x)f(x 1)(x 4),则 f(log23)(x 4)23a.8【答案】1 b. 111 c. 191d.24ex, x 0,.,_111解析：g 2

5、 =ln20 的 x 的【答案】(-1,0)u(1, +8) 解析：.当 x (0, +8)时，f(x) = lg x, .当 x0,1)时，f(x)0.又二函数 f(x)为奇函数，.当 xq1,0)时，f(x)0; 当 x q8, - 1)时，f(x)0的x的取值范围是(一1,0)/, +8).(4)分段函数的值域：分段函数的值域是各段值域的并集.2g(x) x 4,x g(x), 一一、-1.设函数g(x)x 2 , f (x),3，,求 f (x)的值域.g(x) x 4,x g(x), g(x) x,x g(x).g(x) x,x g(x).【解析】令x g x，解得x1或x 2. f

6、(x)2x2x2,x (, 1)u(2,2,x 1,2(x(x2)2)7,x49, x4(,1)u(2,1,2,1)u(2,)时,f (x)(2,)；1,2时,f (x)9. f (x)的值域为9,0 u(2,42x2 0 x 1)2.函数f(x)= 21 x 2i ) c. 0,3画出f(x)的图象,d.，函数的值域为x|0w x2x|0wxw2 或 x=33.定义运算a,a b.f(x) = f(x) g(x),若 f(x) = sinx,g(x) = cosx,x c r,则 f(x)的值域为(b.、2”c. 2d. 1,万sin x,xcosx, x时,f(x) 4.函数解析：由已知得

7、f(x)32k - 2k ,44- -1,sin xcosxsin x,sin x cosx, sinxcosx,即 f(x)=cosx,a. r【答案】2k ,54222x2x1;b.提示:k z 2k ,f(x) = cosx,当 x6xf(x) = sinx,当 x0x39,数形结合c.5.113 北京文】函数 f (x),2 解析：当x故函数f x的值域为,2 .(5)分段函数的单调性2k ,- 2k44,k z亭).的值域是08,1log1 x,22x,1时,d.9,11的值域为1log1 x 0 ；当 x 1 时，f x22x1 . (12 山西四校)已知函数f(x)=f x1f

8、x2x1 x2a. ( 8, 2)a 2 x, x 21 x满足对任意的实数x1以2 ,都有1,x 220成立，则实数a的取值范围为()13b. 一0, c. ( 8, 213d.不，【答案】b解析：函数f(x)是r上的减函数，于是有a 2 01 2,由此解得a&t，a 2 2-182即实数a的取值范围是一皿,2. (13 福州模拟)已知f x138 .3a 1 x 4a logax满足对任意的实数xi丰x2都有f xi一f x2x1 x21 ,3,若f(x)=a是r上的单调递增函数，则实数4 2 x+ 2 xw 1a的取值范围为(a . (1 , +8 )b. 4,8)c. (4,8)d.

9、(1,8)11解析：函数f(x)在(一8, 1和(1, + oo上都为增函数，且 f(x)在(一8, 1上的最高a1,(1, +8比的最低点,即a - 4-20,解得 ac 4,8).2十a- 24.已知函数f(x) 是.【答案】,1e|xa| (a为常数)，若f(x)在区间1,)上是增函数，则 a的取值范围解析：根据函数f(x) exax ae ,xx ae ,xa看出当x aa时函数增函数,而已知函数f(x)在区间1, 上为增函数，所以a的取值范围为,1 .(6)分段函数的奇偶性：判断函数的奇偶性的关键是先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对.若定义域不关于原点对称,称，定义域关于原点对

10、称是使函数 f(x)为奇函数或偶函数的前提条件f(-x)与则函数是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，则在定义域内化简解析式，最后计算f(x)是否相等或相反数，注意在各段区间内都得证明；若不是奇函数或不是偶函数，则只需举 反例来说明.x2+ x x0 ,1 .判断下列函数的奇偶性恸=*2-xx0时，f(x)= x2+x,则当 x0,故 f(x)= x2x= f(x);当 x0 时，一 x0,故f(-x)=x2+x= f(x),故原函数是偶函数.2 .设q为有理数集，函数f1,x q i,x e.qex 1 1,g x，则函数 h x f x g xa.是奇函数但不是偶函数c.既是奇函数也是偶函

11、数b.是偶函数但不是奇函数d.既不是偶函数也不是奇函数解析：q为有理数集,函数数 h (x) =f (x)xe 1 ., gex 1?g (x)是奇xe 1xe 1x1 ex1 e函数但不是偶函数，故选1,x 1,x ex 1xe 1a.qf (-x) =f (x),即 f erqg x即g (x)是奇函数,(x)是e 1(7)分段函数的周期性：解决周期函数问题的关键是结合函数的周期性对自变量进行灵活变形,将其转化为已知区间内的函数，利用已知区间内的函数的解析式，可找到关于参数的方程组，即可求出参数的值.1.(12 江苏)设f (x)是定义在ax 1,r上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(

12、x) bx 2 x 11x 0,0x0 时，y=x+ 1;当 xv 0 时，y= x 1.x+ 1x0即y=,故其图象应为c.x- 1xv02.已知定义在区间0,2上的函数y=f(x)的图象如图所示，则y= f(2 x)的图象为()x 0 x 1 ,当 xq0,2时，2-xq0,2,所以【答案】b 解析1：由y=f(x)的图象知f(x) =1 1x 2 .1 0x 1 ,- 1 0x 1 ,f(2 x)=故 y= f(2 x)=图象应为 b.2-x 1x 2 ,x-2 1x2 .f(2-x)=-f(1) = - 1.观察各选项,解析 2:当 x=0 时，一f(2 x)= f(2) = 1;当

13、x=1 时, 可知应选b.(9)分段函数的最值：求分段函数的最值常利用函数的单调性来求其最值；有时还可以求出每个 区间上的函数的取值范围，然后通过比较大小，就可以求出在定义域内的最值；有时还可以画 出其草图，借助图像数形结合便可得出1 .函数 y=|x3|卜+1|有(a .最大值4,最小值0)b.最大值0,最小值4d.最大值、最小值都不存在一 4【答案】c 解析：y=x-3|-|x+ 1| = 2 2x4(x总)(-1x3),因此 y -4,4,故选 c.(xxi,xi x2,t右f xx2,xi x2.x ,则max f x ,g x 的最小值2x+6 xc 1 , 22,函数f(x)=,则

14、f(x)的最大值、最小值分别为()x+ 7 xc - 1, 1a. 10,6b. 10,8 c. 8,6 d.以上都不对【答案】a 解析：分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小值中的最小者.当 1wxw 2 时，82x+610,当一1wxw 1 时，6x+ 78.f(x)min= f(- 1)= 6, f(x)max = f(2) = 10.故选 a.2x 3(x 0)3,求函数y x 3(0 x 1)的最小值. x 5(x 1)【解析1】先求每个分段区间上的最值，后比较求值.当x w0时，y = f (x) =2 x +3，此时显然有y max = f(0)=3；当 0

15、1时，y= f (x) = - x+5,此时y无最大值.比较可得当 x=1 时， y max=4.【解析2】利用函数的单调性，由函数解析式可知，f (x)在xe (8,吐是单调递增的，在 x e (0,1)上也是递增的，而在 x e (1,+。4是递减白由f (x)的连续性可知f (x)当x =1时有最大值4.【解析3】利用图像，数形结合求得，作函数y= f(x)的图像 (图1),显然当x=1时y max=4.说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得4. 13 北京通州理】对任意两个实数xi,x2,定义为 .【答案】-1 解析：因为对任意两个实数 x1, x2,x1,x1 x2_m乂max(x

16、i,x2)=，又 f(x)=x2-2,g (x) =-x,由x2-2x,得x42 或 xx2,xi x2则当x2-2v-x时，得x2 2 x2或x 1-2vxv1.所以y=max (f (x), g (x)=,其图象如图，由图象可知函x, 2 x 1数max (f (x), g (x)的最小值为-1.故答案为-1.5. (12 福建三明)已知函数f x 2x工且 2xf x . x 0g x,则函数g x的最小值是.f x , x 0【答案】0 解析：因为g x2x1 2x12,xx,x所以函数g,0上单调递减，故函数 g x的最小值是g 020 ； 0 .2(10)分段函数的解析式1 .如图

17、所示，已知底角为 45的等腰梯形abcd,底边bc长为7 cm, 腰长为25cm,当垂直于底边 bc(垂足为f)的直线l从左至右移动(与 梯形abcd有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令 bf = x,试写出 左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象.解析：过点a, d分别作agjbc, dh1bc,垂足分别是 g, h.0, 上单调递增，在因为abcd是等腰梯形，底角为 45, ab=242 cm,所以bg = ag= dh = hc = 2 cm,又bc=7 cm ,所以 ad = gh = 3 cm. .1c(1)当点f在bg上时，即xq0,2时，y = 2x2;x+ x

18、2(2)当点 f 在 gh 上时，即 xc(2,5时，y=2x 2=2x 2; _11c当点 f 在 hc 上时，即 xq5,7时，y=s 五边形 abfed =s 梯形 abcd srt/cef = 2(7 + 3) x 2 2(7 x)212=-2(x- 7)2+10.综合(2)(3),得函数解析式为1 c产xc 0, 2,y=2x- 2 xc 2, 5,72+10, xc5, 7.2x 12 .已知 f x x 1 , g x2 x求f g 2 和g f 2 的值；(2)求f g x 和g f x的表达式.解析：由已知，g(2)=1, f(2)=3, .fg(2)=f(1)=0, gf(

19、2)=g(3)=2.(2)当 x0 时，g(x) = x 1,故 fg(x) = (x1)21 = x22x;当 x0,=(2x)21 = x24x+ 3;，fg(x)=当 x 1 或 xv 1 时，f(x) 0,故 gf(x)x2-4x+3, xv0.=f(x) 1 = x2 2 ;当一1 v x v 1 时，f(x) 1 或xv 1,3-x2, 1xq则满足不等式f(1 x2)f(2x)的x的取值范围【答案】(一1,娘一1) 法一：画出1 x0, 右 f(1-x2)f(2x),则x2+ 1, xqf(x)=的图象，由图象可知,1, x01x1 ,得 xe(- 11短x1 + w，法二：当

20、x=1 时，1x2=0,2x= 2,则 f(0)=1, f(2)=1,无解; 当一10, f(1 x2)f(2x)化为(1 x2)2+11 ,恒成立； 当 00,x0,原不等式化为(1 -x2)2+ 1(2x)2+1 , 即(x+1)22,0x21 ;当 x1 时，1x20,无解.综上知1xq误将f(1 x2), f(2x)中的x当成分段函数f(x)=中的1, xf(2x),得1x22x,却忽略了 1x20而失误.2.解决分段函数的单调性问题时，应注意：(1)抓住对变量所在区间的讨论；(2)保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；(3)弄清最终结果取并还是交.2.设函数f

21、(x)2-x311,x，若 f(a)a的取值范围是(a. (, 3)【答案】bb.,1)c.(1,d. (0,1)3.设函数f4xa. ( 3,1)(3,【答案】a)解析:6b.(13,1)12(2,1则不等式f(x) f(1)的解集是c.(,所以1,1)f x(3,) d.(f 1可化为,3)(1,3)4xf(x)a. ( 1,1)b.2 x1x2,(-1,1,x0, 若f (x0)05.设函数f则x0的取值范围是c.(-，一 2解析：2x,2)1x21(0,)d.(,1)(1,)log 2 xx log 12，若f (a) f( a),则实数a的取值范围是(a. ( 1,0)(0,1)b.

22、,1) (1,c. ( 1,0) (1,)解析:log2 alog1 a2log210g2d.(1)(q1)(1)即 alog2 alog2 alog2 a所以a 0(2)即为l0g2a log2综上，a的取值范围为log 20或a 16.已知函数f x实数abc的取值范围是a. (1,10)b.lgx1 -x2(5,6)解析:画出函数图像,10,若a,b,c互不相等，且f (a)10c. (10,12)d. (20,24)不妨设 0 ab c ,结合条件由图知:f(b)1010 ,12f所以flga lgblg algbf a f b 得:ab 1 ,所以10abc127. 13 全国理f(

23、x) =x2+2xx 0c、2,x在点0,0a的取值范围是1d、 20处的切线为制定参数的标准；当x0时,综上所述,ln【13 黄冈适应】则使不等式f (m)2x, g xa的取值范围是已知f (x)2x 2f (n) 0成立的0b. m n解析：作出函数立白m m和n还应满足条件 m由于0；2 ,故a 2；当x 0时,上任意一点的切线斜率都要大于m和n还应满足条件c. m n 0 图像，可知函数为奇函数,且 0 | m | 1,0 | n | 1,mn 0 ,)d. m n 0则使不等式f(m) f(n) 0成9.定义在r上的奇函数f(x),当xc(0,+8)时，f(x)=log2x,则不等

24、式f(x) 1的解集是1 .【答案】x|0x2或x0,x= 0,.f(x) 1?或log2x 10 1x0,或log2 x 1,即 a0 时，a+1q2. (13 杭州模拟)设函数f(x)=一qx, x0时, a = 1;当 a2 ,【答案】18 -m或4 解析：-xo2,则sin( x2), 14.设函数f (x)x 1e , x 0,则 f(-4) =,右 f(xo)= 8,则 xo=f(-4)=(-4)2+2= 18.若 xo2,则 f(x0) = x0 + 2=8, x=我. f(x0) = 2xo= 8, . .xo= 4.x0.若f(1)+f(a) =2,则a的所有可能的值是咯案一

25、或告解析：由已知可得，当,有叫 .0.21 一1- a= 1.当-1vav 0 时，有 1+sin(a2 nt2,，sin(a2 nt 4 1.，a 2k (k z).又-1 v av 0,. .0- a2v 1,.,.当 k=0 时,有 a21一，a22八.2.综上可知，a= 1或f (x) xa . 12f x x 2的解的个数为b. 2bx)c. 3d. 44)f(0), f( 2)2,则关于x的方程解析：当 x0, . f(x)=-f(-x)=-log2(-x),log2x, x0, .f(x) =0, x= 0,log2 x , x0.c 1t0x2或 x 2.(12)分段函数与方程

26、的交汇：分段函数是自变量在不同的取值范围内对应法则也不同的函数，求分段函数与方程的交汇问题的关键是“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程，然后综合其 解(或求其参数)2x+ a, x 1.3【答案】一4 解析：当 1 av 1,即 a0 时，a + 1 1,由 f(1 a)= f(1 +a),得 2(1 a)+a【答案】d解析：f4b24 2b c 2f(x)解析:(-0, 1),舍去；当xi4x1或x2x3log4x x 10，则f x x可化为 02x 4x 2 x x 01,则满足f(x) = 1的x的值4当 xc ( 8, 1)时,v 1 一由2 x =,得x=2 ,但xc(1,+

27、00肘,由log 4 x41-一，得 x= v 2 ,442 (1 , +8),符合题意,综上所述,7.函数2xa. 0【答案】b.ln x1c.8.函数f(x)b.4x2x34,1,的零点个数为()d. 34xb 解析：画图,3, xc.易知在的图象和函数g(x) log2x的图象的交点个数是()d. 11时有2个交点，一个就是1,另一个是正的纯小数；在x 1时有1个交点，该点介于 34之间.9.设函数f(x) =2x (x )，若 f (x) =10,则 x=2x(x 0)10.已知 f (x) =x 1，若f f (x) = 1成立，则x的取值集合为【答案】x0x-3, xc (8, 0

28、) u (1, 十丐x 1或3 x4或x7 解析：(1)如果x 0,1,则有f(x)=1,所以ff(x)=f=1,由于 1 e 0,1,即 ff(x)=1 在 xe 0,1都成立.(2)如果 xc 3,4,则 f(x)=x-3,因为 x 3,4,所以 x-3 c 0,1,从而 f(x-3)=1 ,故 ff(x)=f(x-3)=1 即ff(x)=1在xc3, 4也是都成立.(3)如果x不属于0,1 u 3,4,首先有f(x)=x-3，而且x-3也就不属于0, 1内了，因此，都用后面 的一个关系式，可得：ff(x)=f(x-3)=(x-3)-3=x-6,要使 ff(x)=1,就是要有 x-6=1,

29、解得：x=7 综上讨论的结果可知，所求的集合为 x|0 wx或3wxw或x=7，若关于x的方程f(x)= k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是【答案】0k1 解析：函数f(x)的图象如图15所示，由上图可知 0k1.3a. (8, - 2u 1，2,11c. t，4 u 4, +8【答案】b解析：b . (0, - 2 u 1,一d. -1,1 4+ oo2,2xx12xx1x2 2, 1 x - 2x x2,x1 或x 32则f(x)的图象如图1 4y=f(x) c的图象与x轴恰有两个公共点,y=f(x)与y= c的图象恰3有两个公共点，由图象知cw2,或一1c1.c的取值范围是()-x2), xc r,若函数y=f(x) c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数22即 x x m 0, -x2x3x2x32x2 x1 .：3x10 即 0x1l- 0x1x2x3“3 2 0. 16162. (13 福建联考)若直角坐标平面内 a