均匀物质的热力学性质教案

1、热力学与统计物理课程教案热力学与统计物理课程教案授课内容 ( 教学章节 ):授课地点第二章 均匀物质的热力学性质授课班级教材分析 :本章主要是通过数学推演得出均匀系统各种平衡性质的相互关系，这是热力学应用的重要方面，得到的热力学关系非常普遍，适用于处在平衡态的任何简单系统。本章内容有助于培养学生的逻辑推理能力和增加学生对热力学原理的应用，如节流制冷和绝热膨胀制冷等。教学目标 :能够根据内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分推导出麦氏关系。理解麦氏关系的物理意义，知道麦氏关系在热力学中的应用，能够推导系统的基本热力学函数。知道使获取低温的常用方法 -节流过程和绝热膨胀过程。掌握根据特性函数求出均匀

2、系统的全部热力学函数的方法。理解热力学理论在热辐射场中的应用，知道低温技术在现代科学技术中的重要应用。教学重点与教学难点:教学重点： 由热力学函数 （内能、 焓、自由能、 吉布斯函数） 的全微分推导出的麦氏关系，基本热力学函数的确定，特性函数。教学难点：麦氏关系的推导及其应用，低温的获取。教学内容2.1内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分2.2麦氏关系的简单应用2.3气体的节流过程和绝热膨胀过程2.4基本热力学函数的确定2.5特性函数2.6热辐射的热力学理论2.7磁介质的热力学2.8获得低温的方法教学方法与手段大部分内容以讲授为主，低温的获取这节请同学们课前收集资料在课堂上加以讨论，辅以多媒体

3、课件进行教学。课后作业2.6 2.7 2.8 2.9 2.11 2.14 22.23小论文1、绝热去磁致冷的原理及其在现代科学技术中的应用？2、黑体辐射的原理？教材与参考资料教材：热力学与统计物理汪志诚高等教育出版社参考资料：热学李椿章立源钱尚武高等教育出版社；1热力学与统计物理课程教案第二章均匀物质的热力学性质2.1内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分1、 u、 h、 f、 g全微分形式在第一章我们根据热力学的基本规律引出了三个基本的热力学函数，物态方程、内能和熵，并导出了热力学基本方程：dutdspdv 。即 u 作为 s、 v函数的全微分表达式。焓

4、的定义： hu pv ，可得： dhtdsvdp，即 h 作为 s、 p 函数的全微分表达式。自由能： f uts ，求微分并代入式可得： dfsdtpdv吉布斯函数： gu tspdv ，求微分并代入可得： dgsdtvdp 2、麦氏关系的推导u 作为 s、 v 的函数：uu s,v ，其全微分为： duudsus vdvv s与(1)式比较，得： tu， pu，s vvs求二次偏导数并交换次序，得：2utp，s vv ss v类似地，由焓的全微分表达式可得：th， vhs pp2 ht，ss pp sv ，s p由自由能的全微分表达式可得：f， pf，2 fssvt vv ttvt由吉布斯

5、函数的全微分表达式可得：sg， vg2gstp t，ppt ptptvtv。p- 四式给出了 s,t , p,v 这四个量的偏导数之间的关系。2热力学与统计物理课程教案2.2 麦氏关系的简单应用1、麦氏关系tvsvpt，ssvpps，ttvpstvsvtpps,t , p,v 这四个量的偏导数之间的关系。利用麦氏关系， 可以把一些不能直接从实验测量的物理量用例如物态方程和热容量（或和 kt ）等可以直接从实验测量的物理量表达出来。2、能态方程选 t ,v 为独立变量，内能的全微分为：udtudvduvtvt而由： du tdspdv ，以及 t ,v 为自变量时熵的全微分表达式：sdtsdv

6、可得： dutsdttsp dv 。dsvtvt vtvt比较可得：cvuts，usppp 。tt vvttvtvttv称为能态方程，即温度保持不变时内能随体积的变化率与物态方程的关系。对理想气体， pvmu m0这正是焦耳定律的结果。rt ，则vmt3、焓态方程以 t , p 为独立变量，焓的全微分为：dhhdthdpt pp t而由 dhtds vdp ，以及 t , p 为自变量时熵的全微分表达式：sdtsdp，可得： dhtstsv dp 。dsdtp ttpp tt p比较可得： cphtshsvtvvt，pttpt ptp tp3热力学与统计物理课程教案称为焓态方程，即温度保持不变

7、时焓随压强的变化率与物态方程的关系。4、定压热容量与定容热容量之差。cp cvtsts，t ptv由 s(t , p)s t ,v (t , p) 可得：st pst vs vv t t p因此： cp cvsvpv，给出了热容量与物态方tt ptt pv tt v2程之间的关系。 cptvcvkt2.3 气体的节流过程和绝热膨胀过程1、节流过程气体的节流过程和绝热膨胀过程是获得低温的常用方法。先讨论节流过程。如图2.1 所示，管子用不导热的材料包着，管子中间有一个多孔塞或节流阀。 现在用热力学理论对节流进行分析。设在过程中有一定数量的气体通过了多孔塞。在通过多孔塞前，其压强为p1 ，体积为

8、v1 ，内能为 u 1 ；通过多孔塞后，压强为p2 ，体积为 v2 ，内能为 u 2 ，在过程中外界对这部分气体所做的功是 p1v1p2v2 。因为过程是绝热的，根据热力学第一定律，有uupvp v ，即： up vupv ， hh21112222211112这就是说，在节流过程前后，气体的焓值相等。定义：表示在焓不变的条件下气体温度随压强的变化率，称为焦汤系数。tp h由tph1可得： t1tvvp hh tt pp hc ptp对理想气体1 ，所以 0 。对于实际气体，若t1 ，有 0 ；若tt 1，有 0 。4热力学与统计物理课程教案现在讨论气体的绝热膨胀。 如果把过程近似地看作是准静态

9、上， 在准静态绝热过程中气体的熵保持不变，由ssdp0 。dsdtt pp t可得：tvtp scp上式给出了准静态绝热过程中气体的温度随压强的变化率。 上式右方是恒正的。所以随者体积膨胀压强降低，气体的饿温度必然下降。从能量的角度看，气体在绝热膨胀过程中减少其内能而对外作功， 加以膨胀后其他分子见的平均距离增大，分子间的互相作用能量有所增加， 因而使气体的温度下降。 气体的绝热膨胀过程也被用来使气体降温并液化。2.4基本热力学函数的确定在前面所引进的热力学函数中，最基本的是物态方程。内能和熵。其他热力学函数均可由这三个基本函数导出。现在我们导出简单系统的基本热力学函数的一般表达式，即这三个函

10、数与状态参量的函数关系。1、以 t、 v 为状态参量，内能和熵的表达式如果选 t、 v 为状态参量，物态方程为： p p t,v ，前面已经说过，在热力学中物态方程由实验测得。内能的全微分为： ducv dt tpp dvtv沿一条任意的积分路线求积分，可得：upp dvu 0cv dt ttv这就是内能的积分表达式。cvpdv ，熵的全微分为： dsdtttvcvpdvs0 ，这就是熵的积分表达式。求线积分得： sdtttv由上面二式可知，如果测得物质的cv 和物态方程，即可得其内能函数和熵函数。还可以证明，只要测得在某一体积（比容）下的定容热容量cv0 ，则任意5热力学与统计物理课程教案体

11、积（比容）下的定容热容量都可根据物态方程求出来（习题2.9 ）。因此，只需物态方程和某一比容下的定容热容量数据，就可以求得内能和熵。2、以 t、 p 为状态参量，内能和熵的表达式如果选为 t、 p 状态参量，物态方程是：vv t , p 。关于内能函数，在选t、 p 为独立变数时，以先求焓为便。焓的全微分为： dhcp dtvvdp ，ttp求线积分得： hc p dtvvdph 0 ，这就是焓的积分表达ttp式。由 uhpv 即可求得内能，熵的全微分为： dsc pdtvdpttp求线积分得： scp dtvdps0 ，这就是熵的积分表达式。ttp由上面二式可知，只要测得物质的c p 和物态

12、方程，即可得物质的内能和熵。还可以证明，只要测得某一压强下的定压热容量c p0 ，任意压强下的 c p 都可根据物态方程求出来（习题 2.9 ）。因此，只需物态方程和某一压强下定压热容量的数据，就可以确定内能和熵。对于固体和液体，定容热容量在实验上难以直接测定，选 t、 p 为自变量比较方便。根据物质的微观结构， 用统计物理学的方法原则上可以求出物质的热力学函数，这将在统计物理学部分讲述。3、例题（1）以 t、 p 为状态参量，求理想气体的焓、熵和吉布斯函数（2）求范氏气体的内能和熵（3）简单固体的物态方程为：v t，p vt ，t t0kp 试求其内00 0 1t能和熵。2 5 特性函数马休

13、在 1869 年证明，如果适当选择独立变量 （称为自然变量），只要知道一6热力学与统计物理课程教案个热力学函数， 就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。这个热力学函数即称为特征函数，表明它是表征均匀系统的特性的。在应用上最重要的特征函数是自由能和吉布斯函数。自由能的全微分表达式： dfsdtpdv ，因此： sf , pf 。tv如果已知 f t，v ，求 f 对 t 的偏导数即可得出熵 s t， v ；求 f 对 v 的偏导数即得出压强 p t，v ，这就是物态方程。根据自由能的定义： f u ts ，有： uf tsf t f ，上式给出内能

14、u t， v 。这样，三个基本的热t力学函数便都可由 f t，v求出来了。式称为称为吉布斯- 亥姆霍兹方程。吉布斯函数的全微分为： dgsdt vdp ，因此： sg , vftp如果已知 g t， p ，求 g 对 t 的偏导数即可得出s t， p ；求 g 对 p 的偏导数 即 可 得 出 v t，p， 这 就 是 物 态 方 程 。 由 吉 布 斯 函 数 的 定 义 ， 有u g ts pv gt gpg ，此式给出 u t，p 。这样三个基本的热tp力学函数便可以由 g t， p 求出来了。由焓的定义 hupv ，得 hg t gt，式也称为吉布斯 - 亥姆霍兹方程。例题：求表面系统

15、的热力学函数。2.6热辐射的热力学理论受热的物体可以辐射电磁波，称为热辐射。一般情形下热辐射的强度和强度按频率的分布与辐射体的温度和性质都有关。如果辐射体对电磁波的吸收和辐射达到平衡，热辐射的特性将只取决于温度，与辐射体的其它特性无关， 称为平衡辐射。考虑一个封闭的空窖，窖壁保持一定的温度 t 。窖壁将不断向空窖发射并吸收电磁波，窖内辐射场与窖壁达到平衡后， 二者具有共同的温度， 显然空窖内的辐射就是平衡辐射，也称为黑体辐射。我们首先证明，空窖辐射的内能密度和内能密度按频率的分布只取决于温7热力学与统计物理课程教案度，与空窖的其它特性无关。设想有两个空窖，温度相同但形状、体积和窖壁材料不同。开

16、一小窗把两个空窖连通起来，窗上放上滤光片， 滤光片只允许圆频率在 到 +d范围的电磁波通过。如果辐射场在 到 +d 范围的内能密度在两窖不等，能量将通过小窗从内能密度较高的空窖辐射到内能密度较低的空窖使前者温度降低后者温度升高。这样就在温度相同的两个空窖自发地产生温度差，热机可以利用此温度差吸取热量而作功。这违背热力学第二定律， 显然是不可能的。所以空窖辐射的内能密度和内能密度按频率的分布只可能是温度的函数。现在根据热力学理论导出空窖辐射的热力学函数。1、求辐射能量密度 u 与温度 t 的函数关系将空窑辐射看作热力学系统，选t、 v 为状态参量。空窖辐射的能量密度u(t) ，空窖辐射的内能 u

17、 t，v 可以表为： u t，vu t v 。利用热力学公式：upp ，以及辐射压强 p 与辐射能量密度 utt vv t之间的关系 pu，可得： ut duu 。即： t du33 dt34udt积分得： uat 4。其中 a 是积分常数， 表明空窖辐射的能量密度与绝对温度 t 的四次方成正比。2、求辐射场的熵 s将式的 u 和式的 p 代入热力学基本方程：dsdu pdv ，可得：114tdsd(at 4v )at 3dvad (vt 3 )t33积分得： s4 at 3v 。3在可逆绝热过程中辐射场的熵不变，这时有：t 3v常量 。3、辐射场的吉布斯函数g将 p1u 、 uat 4 、

18、s4 at 3v 代入 g uts pv 式中，可得空窖辐33射的吉布斯函数 g0 。辐射场的吉布斯函数为零。在统计物理部分将会看到，这个结果是与光子数不守恒相联系的。4、平衡辐射场的辐射通量密度8热力学与统计物理课程教案单位时间内通过小孔的单位面积向一侧辐射的辐射能量，称为辐射通量密度。辐射通量密度 ju 与辐射内能密度 u 之间存在以下关系 ju 1 cu4现在证明如下：计算在单位时间内通过面积元 da 向一侧辐射的能量。如果投射到 da 上的是一束平面电磁波。其传播方向与 da 的法线方向平行，则单位时间内通过 da 向一侧辐射的辐射能量为 cuda 。各向同性的辐射场包含各种传播方向，

19、因此传播方向在 d 立体角的辐射能量密度为cud。单位时间内，传播方向在 d 立体角4内，通过 da 向一侧辐射的能量为 cudcos da 。对立体角积分 ,通过 da 向一侧4cudacuda221cuda d d辐射的总辐射能量： j u dacosdsincos44400ju 1cat 4t 4 为斯式藩 玻耳兹曼 (stefanboltzmann)定律， 称为斯忒藩4常数，数值为 5.669 10 8 w.m 2 .k 4，它由实验确定。2.7磁介质的热力学1、基本微分方程。考虑匀强磁场（外磁场强度h ）中的各向同性磁介质，磁场对系统作功写为 dwvh db 。（e 表示电场强度，

20、h 表示磁场强度）又磁感强度 b0 ( hm ) ，其中 为常数，m为磁化强度，相应的总磁矩为mmv考虑各向同性情形，b h m 方向一致，以上各矢量可写为标量, ,形式于是有： dwvd 10h 2vhdm 。20上式右端首项为激发磁场所作的功，第二项为使介质磁化所作的功。如果忽略磁介质的体积变化，则磁介质的热力学基本方程为dutds0hdm2、麦克斯韦关系吉布斯函数为guts0 hm ，故有： dgsdt0mdh 。9热力学与统计物理课程教案由完整微分条件可得：smh t0，此式为磁介质的一个麦克斯韦关系。t h3、热磁 -磁热效应由 s s t , h，有sht1 ，即tsth tt ss hh sh ts h在磁场不变时磁介质的热容量为chs，则得：t0tm。thcht ht hs若磁介质服从居里定律mcv h 代入上式得tcv