单倒置摆控制系统的状态空间设计

1、单倒置摆控制系统的状态空间设计摘要倒立摆系统以其自身的不稳定性为系统的平衡提出了难题。 该系统是一个复杂的、 不稳定的、 非线性系统， 对倒置摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题。 对单倒置摆的分析， 首先运用牛顿运动定律建立倒立摆系统的运动方程， 以小车的位移， 速度， 摆杆与 y 轴正方向的夹角及摆角变化的速度作为四个状态变量， 进而求出系统的状态空间描述， 建立数学模型。 通过对单倒置摆的能控性和能观性的计算及相关配置， 首先设计了全维状态观测器； 另外考虑小车位移可直接测量， 以提高系统精度， 本文还设计了降维状态观测器， 对状态变量进行了重构。 整个设计中对系统的分析， 对全

2、维状态观测器的响应， 对降维状态观测器的响应都用matla防真了结果并作出相关分析。关键词单倒置摆状态分析 全维状态观测器 降维状态观测器仿真1. 引言倒立摆是日常生活中许多重心在上、 支点在下的控制问题的抽象模型, 本身是一种自然不稳定体, 它在控制过程中能有效地反映控制中许多抽象而关键的问题 , 如系统的非线性、可控性、鲁棒性等问题。对倒立摆系统的控制就是使小车以及摆杆尽快地达到预期的平衡位置, 而且还要使它们不会有太强的振荡幅度、 速度以及角速度, 当倒立摆系统达到期望位置后 , 系统能克服一定范围的扰动而保持平衡。 作为一种控制装置, 它具有形象直观、 结构简单、 便于模拟实现多种不同

3、控制方法的特点 , 作为一个被控对象它是一个高阶次、 非线性、 多变量、强耦合、 不稳定的快速系统, 只有采取行之有效的方法才能使它的稳定效果明了因此对倒立摆的研究也成为控制理论中经久不衰的研究课题。2. 立题背景倒立摆系统是非常典型的自动控制、机械电子等领域的检测模型, 从工程应用上讲， 卫星的姿态控制、 机器人的关节运动控制、 飞行器和起重机械的稳钩装置等都和倒立摆模型有相似之处。 所以， 对倒立摆系统的控制研究具有重要的工程背景和实际意义。目前， 倒立摆主要应用在以下几个方面: (1) 机器人的站立与行走类似于双倒立摆系统。 尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史， 机器人的关键

4、技术 - 机器人的行走控制至今仍未能很好解决。 (2) 在火箭等飞行器的飞行过程中，为了保持其正确的姿态，要不断进行实时控制。 (3) 通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。 (4) 侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定，消除震动。 (5) 为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭 ) ，其飞行姿态的控制。2.1 控制对象的特点及难点单倒置摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的 理想实验平台。单倒置

5、摆的种类不仅有简单的单机倒立摆，而且有多种形式的倒 置装置，能有效地反映诸如可镇定性、 鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的 关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。 倒立摆系统作为一个实验装置， 形 象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉；作为一个被控对 象，它又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、 强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。对单倒置摆的稳定控 制是该系统的难点。但单倒置摆提供了一个从理论通往实践的桥梁，目前，对单倒置摆的研究已经引起国内外学者的广泛关注，是控制领域研究的热门课题之02.2 目前国内外设计方案对于倒立摆的建模

6、及控制器设计等方面的研究，许多学者做了大量的工作： kouda , henders和graichen对应用非线性观测器代替线性观测器进行仿真实 验；王伟等研究了模糊控制在倒立摆系统中的应用；张涛等在双足机器人设计中 应用线性二次型调节器（lqr）理论对倒立摆进行控制并用 matlab进行仿真，同 时仿真结果证明lqr 真糊控制器有很好的稳定性和鲁棒性；放银辉等进行了柔性 连接倒立摆的最优控制与仿真研究。目前，各类文献主要围绕单倒置摆的控制算 法展开研究，如基于李亚普诺夫函数的控制器， 基于模糊控制的控制器，利用遗 传算法进化权值的神经网络控制器，模糊神经网络控制器等，此外还有文献从系 统能量的

7、角度出发进行控制研究。以上研究大多采用力作为系统输入进行建模，并通过仿真进行算法验证。本 文在理论分析与系统仿真的基础上，忽略工程中的一些次要因素，如系统动摩擦。 通过对其能控性和稳定性的分析，进而提出全维观测器和降为观测器两种不同的 设计方案。3. 系统模型3.1 单倒置摆系统的原理图如图所示，为单倒置摆系统的原理 图。设摆的长度为、质量为3用钱链 安装在质量为m的小车上。小车有一台 直流电动机拖动，在水平方向对小车施 加控制力u,相对参考系产生位移z。若 不给小车施加控制力，则倒置摆会向左 或向右倾倒，因此，它是一个不稳定系 统。控制的目的是，当倒置摆无论出现 向左或向右倾倒时，通过控制直

8、流电动 机，使小车在水平方向运动，将倒置摆 保持在垂直位置上。3.2 倒置摆的状态空间方程为简化问题，工程上可以忽略一些次要因素。在此设计中，为了简化问题， 方便研究系统空间的设计问题，忽略了摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。设小车的瞬时位置为 z,倒置摆出现的偏角 为8 ,则摆心瞬时位置为(z+lsins)。在控制力u的作用下，小车及摆均产生加u平衡,速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力 则有22d zdm -5m 5 (z 1 sin )二 udt2dt2(m m)z ml 二 cosm1?2sin u-u由于绕摆旋转运动的惯性力

9、矩应与重力矩平衡，因而有d2 ,.m而 (z sin1)1 cos =mg1sini(2)2 . .zcos? 11cos 【-lisinfcos? - gsini式(1)、式(2)两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的 是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u的条件下，可以认为日、日均接近于零,(3)(4)(5)(6)此时sin e = e , cose之1,且可以忽略e-2e项，于是有(m m)z m11-uz + 11 = g 1连联立求解式(3)、式(4),可得mg .1z =1um m1 一(m m)g.- 1 u m1m1消去中间变量9 ,可得输入量为u、输出量为z的微

10、分方程为z4 _(m m)gzau_g_um1 m m1综合上述的分析，可抽象出系统的研究对象为：位移z、小车的速度z、摆的角速度8及其角速度的9。系统的研究对象抽象成这四个变量后，接下来就可以根据前面的方程为这四个变量建立空间状态方程，并分析被控对象的特性。3.3单倒置摆的状态空间模型再上一步中，我们已经选取了四个研究对象作为状态变量，它们分别为：位移z、小车的速度z、摆的角速度9及其角速度的5。z为输出变量，在考虑d z = zdt式为：dt=8 以及式（5）、（6）、（7）,可列出倒置摆的状态空间模型表达-000 mgm0(m m)g(8a)mlil ml(8b)式中为方便研究,假定系统

11、的参数m=4kg,m=0.2kg,l=1m, g =9.8m/s2,则系统状态方程中参数矩阵为:10000-0.49010.29010100 1 0.2500.25.0 001(9)此时倒置摆的状态空间模型表达式为:-000910000-0.49010.29010 10一 0 10.2500.25 一4.系统特性分析在建立完模型后我们需要对模型进行分析。 作为被控制的倒置摆，当它向左 或向右倾倒时，能否通过控制作用使它回复到原直立位置，这取决于其能控性。 因此我们首先分析它的能控性。4.1 能控性分析通过秩判据判断能控性，将式（9）的有关数据带入该判据，可得(10)rankm = rank b

12、 ab a2b a3b =4因此，单倒置摆的运动状态是可控的。 换句话说，这意味着总存在一控制作 用u,将非零状态x转移到零。建立工程liu1.m 的仿真如下：对系统能控性的仿真结果截图如下:仿真结果分析：因为系统的秩等于系统的维数，因此说明系统是能控的，秩 判据的结果与仿真结果相符。4.2 稳定性分析由单倒置摆系统的状态方程，可求的其特征方程为：(11)22川a =九2(九2 -11) =0用matla时算系统的特征值如下:建立工程liu2.m的仿真代码如下:91 editpr dzt emptarkliuz_ m区zilt edit i*xt ctll tiolz dtlug hktop

13、window htlp、| , x口 *cc 昌腌九桓相唱 stacfc|bftse 5 口 1 - 心电 1,冉口；。,一03%口；。,口，口，1 ;0, 0, 10,29,0 ;=00. 25；0；-0, 251 ;c-l 0,0,0 ；d=o； a 2 - r=eig (a)v:_i -.scriptln 3 col 1 口转 金求系统特征值的仿真结果截图：j： covkand tindow. xile edit dhug uftskt op window help liu2003,2078-3,2078仿真结果分析：解得特征值为0,0, 3.2078, -3.2078。四个特征值中存在

14、 一个正根，两个零根，还有一个负根，这说明单倒置摆系统，即被控系统不稳定 的。并且该系统不稳定性可以通过对 x变量的单位阶跃响应曲线验证系统的不可验证系统不稳定性：采用matlabt被控对象进行仿真，如下图所示为倒摆没 有添加任何控制器下四个变量的单位阶跃响应。建立工程liu3.m 的仿真代码如下：仿真结果如下:仿真结果分析：如图可知，阶跃响应下的z、z、8及s响应都趋于无穷,而且既有正无穷还有负无穷。说明系统不稳定，不能到达控制目的通过对系统模型进行分析，可知被控系统是具有能控性的，但是被控系统是不稳定的。因此需对被控系统进行反馈综合，使四个特征值全部位于根平面s左半平面的适当位置，以满足系

15、统的稳定工作已达到良好、 静态性能的要求。本 文设计了两种控制器方案来使系统到达控制的目的。分别为：全维状态观测器的设计和降维观测器的设计。日为反馈信号，状态控制规律为(12)4.3 单倒置摆系统的综合采用全状态反馈。取状态变量z、z、0u = v - kx设 k = k0 k1k2 k3式中，卜0卜3分别为2、z、8、日反馈至参考输入v的增益。则闭环控制1 - 2 - 3 - 4 5 一 一 7 - s - 9 ic - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 10 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 -scriptlncol

16、1ovr系统的状态方程为x = (a -bk )x bv设置期望闭环极点为-1 , -1 , -1+i,-1-i建立工程为liu4.m 仿真代码如下：editor - d: temptorkliu4.eile edit lemt qell toie dehujg hesktop jti iwidw help口学。每的桓相 一唱框stack; af0, iq, 口；也口，y39, 口.口，0, l 1;。/口，10.29f 0 ;b= 0,0. 26; 0 4-0. 25 ; c= 1,0f 0,0 ;(0; *n=bize (a) ;n=n ;sys0=ss (a, b, c, d);jidi

17、an= f 7-if -l-i1;k 二 ack er (& b, j idian)al=a-b*k;sys=ss (alj bj c, d);t=o：a. oi：io；subplot 1);plot (tj x (: j i) ) ; gridxlabel ( t (e) ) ;ylabel ( x (t)；title。阶跃晌应下的一)；subplot (2, 2, 2),plot (t,x(:,2) ,grid, xlabel(p t (e) n) ;ylabal c x (t)?), 七江1叁阶跃响应下的工徽分)； subplot 23 3),plot 3) ,gridxlabel c

18、t (s)n) ;ylabelc x (t)n);title (阶跃响应下的it hut ) subplot 2,4);plot (tjx(:,4) ;gridxlabel(*t );ylabsl (? x (t)?);titlec阶跃响应下的,theta微分) scope2|.| x 匠叵区仿真分析：如仿真图可知，单倒置摆的全状态反馈为稳定的闭环系统。单位阶跃的作用下，输出变量逐渐趋于某一常数，状态变量则是逐渐趋于 00当参考 输入v单位阶跃时，状态向量在单位阶跃的作用下相应逐渐趋于稳定， 这时摆杆 回到原始位置(即8=0),小车也保持稳定(即z二某一常数)。如果不将4个状 态变量全用作反馈

19、，该系统则不能稳定。本文设计了两方案，分别是：全维观测器的设计、全维观测器的设计。5.设计方案5.1 方案一：全维观测器的设计为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，即 z、 z、8、日的信息。因此，需要设置z、z、8、s的四个传感器。在实际的工程 系统中往往并不是所有的状态信息都是能检测到的，或者，虽有些可以检测，但也可能由于检测装置昂贵或安装上的困难造成难于获取信息，从而使状态反馈在实际中难于实现，甚至不能实现。在这种情况下设计全维状态观测器，解决全维 状态反馈的实现问题。5.1.1 判定系统状态的能观测性将式(9)中的数值代入能观测性秩判据，得：rankn = ran

20、k ct atct (at)20t (at)30t =4或者由matlab的obsv(a,c)命令来求秩，可得秩为4。建立工程文件liu5.m 的仿真代码如下:国叵区editor - d:temptorkllu5.m仿真结果如下:仿真分析：说明系统能观。被控系统的4个状态均是可观测的，即意味着其 状态可由一个全维状态观测器给出估值。5.1.2 状态变量的响应分析全维观测器的运动方程为?=(a gc)? bu gy式中g= (go gig2g3 f全维观测器已g配置极点，决定状态向量估计误差衰减的速率。设置状态观察器的期望闭环极点为-3 , -4 , -2+i,-2-i 。由于最靠近虚轴的 希望

21、闭环极点为-2,这意味着任一状态变量估计值至少以e2规律衰减。接着求 系统的g值，以及其响应。建立工程为liu6.m 的仿真代码如下：a=0,1,0,0;0q-0.49,0;0,0q1;0,0,10.29,0;b=0;0.25;0;-0.25;c=1,0,0,0;d=0;n=size(a);n=n；sys0=ss(a,b,c,d);jidian=-1,-1,-1+i,-1-i;k=acker(a,b,jidian)h=(acker(a,c,jidian)a1=a，-b*k;h*c,a-b*k-h*c;b1=b;b;c1=c zeros(1,4);d1=0; sys=ss(a1,b1,c1,d1

22、);t=0:0.01:10;y,t,x=step(sys,t);figure(1);y,t,x=step(sys,t);subplot(2,2,1);plot(t,x(:,1);grid xlabel(t(s);ylabel(x(t);title( 阶跃响应下的 z);subplot(2,2,2);plot(t,x(:,2);grid;xlabel(t(s);ylabel(x(t);title( 阶跃响应下的 z 微分 );subplot(2,2,3);plot(t,x(:,3);grid xlabel(t(s);ylabel(x(t);title( 阶跃响应下的 theta) subplot

23、(2,2,4);plot(t,x(:,1:4),-);grid xlabel(t(s);ylabel(x(t);figure(2);plot(t,x(:,5:8),-);grid xlabel(t(s);ylabel(x(t);figure(3)subplot(4,1,1);plot(t,(x(:,1)-x(:,5);grid ylabel(z);subplot(4,1,2);plot(t,(x(:,2)-x(:,6);grid ylabel(z 的微分 );subplot(4,1,3);plot(t,(x(:,3)-x(:,7);grid ylabel(theta);figure(3)sub

24、plot(4,1,1);plot(t,(x(:,1)-x(:,5);gridsubplot(4,1,2);plot(t,(x(:,2)-x(:,6);grid ylabel(z 的微分 );subplot(4,1,3);plot(t,(x(:,3)-x(:,7);grid ylabel(theta);subplot(4,1,4);plot(t,(x(:,4)-x(:,8);gridylabel(theta 的微分);仿真结果如下：求g值：即可认为：go =4, gi=17.29, g2=-96.24 , g3 =-367.17状态反馈下的状态变量的阶跃响应带全维观测器的状态反馈下的状态变量的阶

25、跃响应注：“一一”表示z的阶跃响应；“一一”表示z的阶跃响应“一一”表示9的阶跃响应；“一一”表示6的阶跃响应;系统状态与全维观测器得到的估计状态之间的误差曲线5-510-12 口-2 奎苹 6o 50石i i1ii ii1 -pj 024ex 10-125810i 41il-023tl k 10一一 a 三4fj810i ili11 b b c- hk -n-t-hhh.- - - =41j1h -. n - - - h1 h . . h , ,一9 l024ex 10-11j81011 1!* 节 iijh l hh 一10o1仿真结果分析：由上图可知，全维状态观测器观测到的4个变量的阶跃

26、响应 曲线是稳定的，虽然 系统状态与全维观测器得到的估计状态之间有误差，但无耻小，可 以忽略，因此可以设计全维观测器。5.1.3全维观测器由以上分析，可以建立全维状态观测器实现状态反馈的结构图建立工程为liuxubin2.mdl的仿真结构图如下：仿真结果如下:j scopel.旧|区|昌自庐见醯睛超目it，仿真结果分析：由上图可知，全维状态观测器观测到的4个变量的阶跃响应 曲线与全状态反馈时的阶跃响应曲线基本相识， 但是二者还是有误差的，只不过 误差很小。全维状态观测器所得的性能基本满足要求， 但是由于观测器的数目多， 导致中间过程的损耗也大。实际上，本系统中的小车位移 z,可由输出传感器获

27、得，因而无需估计，可以设计降维观测器。5.2方案二：降维观测器的设计5.2.1 降维观测器分析由于单倒置摆控制系统中的小车位移，可由输出传感器测量，因而无需估计, 可以设计降维（3维）状态的观测器。在降维观测器设计中为了便于设计降维部 分，假设系统参数m=1kg m=0.1kg, g=9.81m/s2。通过重新排列被控系统状态变量的次序，把需由降维状态观测器估计变量与输出传感器测得的状态变量分开，也就是说，将z作为第四个状态变量, 变换为：则按照被控系统的状态和输出方程可-zl -0ddt-10110010001zl一1 10-10 1简记为式中rxi 1:a11, = |_x2 _ a 21

28、一 z【e一 z【 11964a12 x1 ibl-i + a 22jx 2 1 b2aii一00-0-1011011 , a012一。1 0 , bq-1 10-lz=y, a2i01a22 =0, b2 =0, i1 -1,故单倒置摆三维子系统动态方程为ddt一 z1 -0-1 0p111 0jp-z z = (1 0 0)e-qj5.2.2降维观测器能控性能观性建立工程为liu7.m 的仿真代码如下:仿真结果如下:仿真分析：仿真结果说明设计降维观测器是能控、能观的5.2.3降维观测器取值当得出降维观测器是能控、能观这一结论之后，接着计算降维观测器的相关参数。建立工程为liu8.m的仿真代

29、码如下:3 editor - d：匚 |fn |fxeil士 edit.工lell tols delug iksktop eindcw/ x口自 | x ；通c c ir fj后相舞5i 1 -aio；toibo 0；770；-1 i7o,mi；d=or八2 -n=size(a) ;n=n(l);3 - syso=ss (a, b, ca dj ;4 - jidiam= -1,-2, 1+ij - hi; 5 -k= acker (aj b, jidian)scriptln 6 cqi 1仿真结果的k值如下：”:c叫and window. n txile edit ii ehug h&ekto

30、p window helpn liu8ak = -0,4000-1.0000 -2l4000-6.0000v., n ？ 结果分析：k值的得出，可作为相应的反馈参数。 因为降维状态观测器动态方程的一般形式为w (a a ii -ha 2i)w -h62)u (a” -ha )h a12 - ha 22y?1 : w hy式中，h = h h1h2 t o使用matlabt求出降维状态观测器特征多项式为九 i (a11 ha 21)=九3 + h 九2 + (11 - h1)九 十 (11h 卜2)设期望的观测器闭环极点为-3, -2i ,则由matla时真可得，期望特征多项 式为( 3)( -

31、 2 i)(- 2 -i) = 3 17 2 96182建立工程为liu9.m的仿真代码如下：3 editor - d：tepwprkliu9- eile edit lext cell tqie %bug desktop window help口 学 x c- a=0j-10,0;0j 0, 1,0:0, uj00;10qj0;- b=l; 0 ；-l ；0 ；c=l00 03 1 ；0;- n=size ta);n=n(l);- eys=ss 出 b, ct d);- p_s= -13 - 2, -l+ij - l-i；- k-acker (& bj p_s);- gyns ho hl h2

32、- syns s- h= ho ；hl ;h2,- a11=0j-1j0;0j0j l;0, 11,0;- a12=0;0:0.- p=-乙-5+i,-5-i；- a22=0;- a21=l 0. 0.- before=collect (det (s*eye(3)-(all-h*a2e s)- l.ater= exp and (s-p (e )*(s-p(2) *(s-p(3)- h。，hl h2 =solve ( h 口= it j -11hl=9 丁/-ii *h0-h2-182)- h=(h0;hl;h2;- a_v=(au-h*a21)- bl=l.0；-l;- b2=0;- b_u=

33、bhh*b2b_y= (al 1-h*a21) *h+al 2-h*a22scriptln 24 col 11234567e9101112131415161718192021222324仿真结果如下所示:由 matlabt得,h0=17, h1=-107, h2 =-369所以由matlab勺仿真可得降维观测器的动态方程为1-17-10111-182w = 1070 1w+0u+ 1450 y369110_二1_5096 1?一:?11 j? 一- 17 1 -107 1-369 一5.2.4降维状态观测器设计使用降维状态观测器实现状态反馈的的单倒置摆系统结构图如下图所示。仿真后的对应的图形如下scope的图如下：scope2的图形如下:scopel的图形如下:scope3的