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1、湖北省高等教育自学考试本科毕业生论文评审意见表论文题目：浅谈求极限的若干方法姓名：王景宝专业：数学教育准考证号： 013712212810办学单位：华中师范大学填表日期 ： 2014 年 12 月 20 日华中师范大学自学考试办公室制浅谈求极限的若干方法目录摘要 3关键词 3弓i 言 41、化简极限的方法1.1 换元法 41.2 无穷小替换 41.3 取自然对数法 51.4 根式有理化 51.5 约去无穷因子52、利用数列相关性质求极限2.1 两边价准则 62.2 单调有界准则 62.3 利用无穷小量的性质求极限 72.4 利用极限的四则运算求极限 72.5 利用两个重要极限公式求极限 83、

2、洛必达法则求极限4、级数相关知识求极限4.1 利用级数收敛的必要条件求极限 94.2 利用泰勒展开式求极限 95、利用微积分相关知识求极限5.1 利用单侧极限求极限 105.2 利用函数的连续性求极限 105.3 利用导数的定义求极限 115.4 利用微分中值定理求极限 115.5 利用积分中值定理求极限 125.6 利用定积分求和式的极限 12结论： 13致谢： 13参考文献： 14 摘要：本文主要将求极限的常用方法归纳为：1、化简极限的方法；2、利用数 列自身性质求极限；3、洛必达法则求极限；4、利用级数相关知识求极限；5、 利用微积分相关知识求极限。其中化简极限归纳了换元法、无穷小替换、

3、取自然 对数法、约去无穷因子等方法；在极限求解的过程中，是很灵活的，有时候很多 种方法可能综合运用，因此求极限的方法有很多，而本文主要归纳了以下几种： 利用两边夹准则(迫敛性)求极限、利用单调有界原理求极限、利用两个重要极 限公式求极、利用单侧极限求极限、利用函数的连续性求极限、利用无穷小量性 质求极限、利用导数的定义求极限、用微分中值定理求极限、利用积分值定理求 极限、利用洛必达法则求极限、利用定积分定义求极限、利用级数收敛的必要条 件求极限、利用泰勒展开式求极限等方法。关键词：两边夹(夹逼)准则，单调有界必收敛准则，无穷小量替换法，洛必达 法则，微分中值定理法，积分中值定理法，定积分定义法

4、，泰勒展开式法，级数 收敛的必要条件，取自然对数法，约去无穷因子。abstract: the common method of this paper will limit as follows: method 1, simplifying the limit; 2, the use of their own nature series limit; 3, lhospital rule for limit; 4, using series related knowledge for limit; 5, the use of calculus related knowledge limit. th

5、e simplification of limit induces change element method, infinitesimal, the logarithm method, to infinite factor method; in the process of solving the limit, is flexible, sometimes a lot of methods may be integrated use, there are many ways so limit, and the paper concludes several: the use of both

6、sides clip criterion (forced convergence property) limit, by using the monotone boundedness principle limit, using two important limit formula for the pole, the use of unilateral limit limit, use function for the continuity of the limit, using the infinitesimal properties of limit, using the guide n

7、umber is defined limit, limit, using differential mean value theorem integral value theorem for limit, using lhospital rule limit, using the definition of definite integral limit, using the necessary conditions for the convergence of series limit, using the taylor expansion of seeking limit method.k

8、eywords: on both sides (squeeze) criterion, monotone bounded will convergence criterion, infinitesimal substitution method, lhospital rule, differential mean value theorem, the integral mean value theorem, definition of definite integral method, the taylor series expansion method, a necessary condit

9、ion for convergence of the series, naturally on the number, to infinite factor.一、引言：极限是数学分析的基础，数学分析中的很多基本概念都可以用极限来描述。如函数y = f(x)在x =。处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积 分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究 数学分析的基本公具，极限思想贯穿于数学分析课程的始终。 学好极限需从以下 两方面着手1:是考察所给函数是否存在极限。2:若函数否存在极限，则考虑 如何求极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下， 如何去求

10、极限进 行归纳。求极限的方法远远不止本文所归纳的， 故本文并不够完善，求极限的方 法未能拓展，只限于数学分析.希望通过本文，大家在思想上能对求解极限的方法 有一个高度的总括，计算极限时游刃有余。、化简极限的方法:1.1、 换元法:xx -1lim例：x 1 xln x解：令 t=xx -1 则 lnx=ln(t+1)x.x -1 . tlim= lim二 1x 1 xlnx t 0 ln(t 1)1.2、 无穷小替换:(1)等价无穷小量：此方法在求极限过程中，只能用于乘除法中;tan xx(2)常见等价无穷小：当xt0时有：sinxxx ,ln(1 + x)x e -1 x1 -cosx(1+

11、xf exax-1-xlna例：妈tan x - sin x解：原式=!叫 x 0sin x(1 - cosx)3x cosx=limx 02xx.- 12-3- ocos x x 21.3、取自然对数法:取自然对数法适用于手仪严外型例:lim xxx. 0解:v lim xln xlim xx = ex 0x 0 lim xln x =x_0 -ln x lim - x )0 - 1所以，细。e = 11.4、根式有理化：分子有理化和分母有理化，主要运用平方差公式1 tanx - v 1 tan x limx例 x e -1解:limx )01 tanx - 1 - tanxex -1=li

12、mx 02 tanx(ex -1)( 1 tanx 一 1 - tanx)1.5、2xx(、1 tanx 1 - tanx)约去无穷因子：此方法应用在不定式中(1)、mx ：1nx -1m /x -1(2)、m ,：解:(1)、=1、, 2x 1nn 4n-2x -1(x-1)(xxlim 二 limmmx 1 x -1x w (x -1)(xx+.一n-2 xm-2 xx 1x 1)x 1)_ _nm注：本题为“约去无穷小因子”(2)、lim x .,二二 - x .、x =m x(1 .x .二二)+i(2:一)xlim y n = ax_ .二：利用两边火准则求极限关键在于从xn的表达式

13、中，通常通过放大或一二一 2,1.x=lim x ；二12 x注：本题为“约去无穷大因子”、利用数列相关性质求极限:2.1、 两边价准则:若一正整数n,当nn时，有xn m yn m zn且xim/n =吗乙=a,则有缩小的方法找出两个有相同极限值的数列yn和zn,使得yn - xn - zn111xn =例：,n?+1 vn+2 vn+n 求 xn 的极限。.1 1n n2 1 n2 1二1. nlim = lim x . n2 n x . n2 1lim xn =1所以：x ；二2.2、 单调有界准则：单调有界数列必收敛，且极限唯一例：2/2, x/227t, , j2 + 五+ 忑解：设

14、an =2 +42+疙 an =72 +2+72 ,贝u易知数歹也4是递增的，现在用数学归纳法证明数列 an有上界，假设an 2则有an+=2+an 而22,从而对一切n以后an 0 x解：泰勒展开式x2 x4 - 4cosx =1 -一 一 0(x ) 2! 4!x2e 2 =11十 2!24+ 0(x )解：因为lim x sin1 =1x q . xlim x sin1 =1x w xj2 x4 0(x4)于是 cosx- e 2 = 121 44 x 0(x )lim -2； 二- 一所以，原式=x x12五、利用微积分相关知识求极限1.1、 利用单侧极限求极限这种方法使用于求分段函数

15、在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、 右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极 限不存在。1 xsin , x0 f (x)x求f(x)在x=0的左右极限例：1 , x2,x _ 0即xin0.f(x)0 3x-sin x 1=lim=x 0 6x 65.5、利用积分中值定理求极限：积分中值定理：设函数f(x)在闭区间 反扪上连续;g(x)在lb】上不变bb号且可积，则在lb】上至少有一点，吏得l f(x) g(x)= f( -jag(x)dx例:limn p sin x , dxp0解:n -p原式=lim sin() i i 1nn n+pn p 1由于

16、 lim ldx =0，sin c 有界nn x 7所以原式=0b - a) b - an n5.6、利用定积分求和式的极限若 f (x)在a,b上连续，则f(x)dx = !im f (a an i 1t 1特别地：当 a = 0, b = 1,时 0 f (x)dxnlimnt 二f(l1 n n解：原式二lim nn :二二1+1 (1)2n- n-2 nlimn _ j 二二=arctanl - arctano 二 一4特别注意：在运用此方法时，还可以运用定积分的性质，对被极函数进行 放缩，理应两边夹求极限，同时也可以极限符号与积分符号运算互换。结论：本文主要归纳了数学分析中求极限的若

17、干方法， 并且结合实例把每一种方法的特 点及注意事项做了详细的重点说明，从而使大家深刻理解极限的概念熟练掌握求 极限的方法。由于本文对求极限的各种方法很详尽具体的注解， 使方法更具体针 对性、技巧性，但在实际学习中很多就是运用多种方法求解的，所以求极限时， 首先观察函数的形式，选择适当的方法，才能准确、快速、灵活的求极限。致谢：这次毕业论文能够顺利完成，自始至终都是在余晓娟老师的指导下进行的。从论文的选题、文献的采集、框架设计、结构的布局到最终的论文定稿，从内容 到各式，从标题到标点，她都费尽心血，余老师学识渊博，思维敏锐，使我受益 匪浅，终身难忘。老师严谨的治学态度和一丝不苟的精神将永远激动和鞭策我认 真学习。在此，仅向导师余晓娟老师表示崇高的敬意和感谢！同时还要感谢一直关心支持我的家人对我的教悔、帮助和鼓励，感谢身边所 有朋友与同学，感谢你们一直以来对我的关照与宽容，与你们一起走过的时代, 将会是我一生最珍贵的记忆。参考文献：1 华中师范大学编，数学分析（上下册）第二版，高等教育出版社2 数学分析