金坛市2011—2012学年度必修5+++第二章+《数列》单元教学分析

1、金坛市2011 2012学年度必修5 第二章数列单元教学分析一.教材分析：1 .本章节的课时分配情况：1.1 数列的概念与简单表示法(2课时)1.2 等差数列(2课时)1.3 等差数列的前n项和(2课时)1.4 等比数列(2课时)1.5 等比数列的前n项和(2课时)1.6 习(2课时)2 .本章节在整个教材体系中的地位和作用：数列是高中数学重要的内容之一，它的地位作用可以从三个方面来看：(1)数列有着广泛的实际应用.如堆放物品总数的计算要用到数列前 n项和公 式；又如产品规格设计的某些问题要用到等比数列的原理； 再如储蓄、分期付款 的有关计算也要用到数列的一些知识.(2)数列起着承前启后的作用

2、.一方面，初中数学的许多内容在解决数列的某 些问题中得到了充分运用，数列与前面函数等知识有密切的联系；另一方面，学习数列又为进一步学习数列的极限等内容作好了准备 .(3)数列是培养学生数学能力的良好题材.学习数列，要经常观察、分析、归 纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高.3 .本章节的教学目标、数学思想、数学方法：教学目标：(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出数列 的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 .(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的前n项和的公式，并能运用公式解决简单的实际问题.(3)理解等比数列

3、的概念，掌握等比数列的前n项和的公式，并能运用公式解决简单的实际问题.(4)能再具体的问题情境中发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知 识解决相应的问题，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系.数学方法：数列这一章蕴含着多种数学思想及方法， 如函数思想、方程思想，而且在基 本概念、公式的教学本身也包含着丰富的数学方法， 掌握这些思想方法不仅可以 增进对数列概念、公式的理解，而且运用数学思想方法解决问题的过程，往往能诱发知识的迁移，使学生产生举一反三、融会贯通的解决多数列问题.在这一章主要用到了以下几中数学方法：(1)不完全归纳法 不完全归纳法不但可以培养学生的数学直观，而且可以

4、帮助学生有效的解决问题，在等差数列以及等比数列通项公式推导的过程就用到 了不完全归纳法.(2)倒序相加法等差数列前n项和公式的推导过程中，就根据等差数列的 特点，很好的应用了倒序相加法，而且在这一章的很多问题都直接或间接地用到了这种方法.(3)错位相减法 错位相减法是另一类数列求和的方法，它主要应用于求和 的项之间通过一定的变形可以相互转化，并且是多个数求和的问题.等比数列的前n项和公式的推导就用到了这种思想方法.(4)函数的思想方法 数列本身就是一个特殊的函数，而且是离散的函数， 因此在解题过程中，尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数列时，可以将它们看成一个函数，进而运用函数的性质和特

5、点来解决问题.(5)方程的思想方法 数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、 公比、第n项和前n项和这些量的数学公式，而公式本身就是一个等式，因此， 在求这些数学量的过程中，可将它们看成相应的已知量和未知数，通过公式建立 关于求未知量的方程，可以使解题变得清晰、明了，而且简化了解题过程.4、本章节的教学重点、教学难点、教学特点：重点是数列的概念，等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.难点是等差数列、等比数列的前 n项和公式的推导以及公式的综合运用.克 服上述两个难点的关键是，对于公式的推导要讲清思路；对于公式的运用要注意 结合具体例子加以讲解.教学特点：(1)注意启发学生思维.比

6、如在问题的提出和概念的引入方面：讲等差数列与 等比数列的概念时，都是先写出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然后在 归纳共同特点的基础上给出相应的定义，可以培养学生从特殊到一般的归纳推理 在等比数列求和一节中将一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子，制造悬念，引起思考.在推导结论时，如在等差数列前n项和的公式推导时，是先提 出问题:1+2+3+100 =,并指出著名数学家高斯10岁时便很快算出它的结 果，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现等差数列 的一个对称性质.从而得到等差数列求和的方法.(2)注意数学思想方法的渗透.函数思想、方程(方程组)的思想-已知数

7、列满 足某些条件，求这个数列、递推思想-在数列的递推公式里有所体现、猜想-证 明归纳的思想、类比思想-注意等差数列与等比数列基本特征的对比等(3)注重实际应用.数列在分期付款中的应用、数列在储蓄问题中的应用、数 列在细胞分裂中的应用、数列在环境保护中的应用、数列在浓度问题中的应用等， 让学生真正感受到数学源自生活，服务于生活的事实，真正体会数学的工具价值, 并逐渐培养善于从身边发现问题，并借助所学知识解决问题的探究意识，借此增 强学生学习数学的兴趣.(4) 一些研究性问题.斐波那契数列、等比数列求和公式的推导方法、组合贷 款购房中的数学问题、数表中的 数列问题等.5.本章节的知识结构和框架体系

8、:等差数列的性质有通项及前 n项的和等比数列的性质 应全章有三大节内容：第一大节： 理解数列及其有关概念， 了解数列和函数之间的关系； 了解数列的通项公式， 并会用通项公式写出数列的任意一项； 对于比较简单的数列， 会根据其前几项写出它的通项公式.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项 .第二大节： 了解公差的概念， 明确一个数列是等差数列的限定条件， 能根据定义判断一个数列是等差数列;正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项 .明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式， 能

9、通过通项公式与图象认识等差数列的性质，能用图象与通项公式的关系解决某些问题 .第三大节： 掌握等比数列的定义； 理解等比数列的通项公式及推导； 灵活应用等比数列的定义及通项公式； 深刻理解等比中项概念； 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.理解数列的前n 项和与an 的关系.二 . 学情分析 :1师生双边教学活动设计：(1) 对数列及其相关概念的教学设计应该先举数列的实例， 让学生自己体会数列特点， 组织同学讨论， 并启发学生发现知识， 因为这对于培养学生的数学学习能力， 激发和培养学生学习数学的兴趣，增强学生的应用意识，增强学生合作、探究的能力都非常有帮助 .(2

10、) 采用以学生为中心的教学设计实施等差数列概念的教学“等差数列 ”这个概念本身就很形象地描述了它的本质， 因此教师应创设恰当的情境， 让学生在这个情境中自觉领会和发现知识的形成过程， 在感悟的过程中深刻体会其蕴含的数学思想和方法， 理解知识的本质。 在教学过程中应组织学生研究、讨论， 培养学生的合作意识和能力， 在合作中发现学习的乐趣， 从而提高学生的学习兴趣，开发学生智力 .(3) 对等差数列通项公式推导的教学设计等差数列通项公式的推导思想非常重要， 它不但有助于理解公式， 而且在以后的解题中也会用到， 但等差数列通项公式的推导思想并不是很顺理成章， 水到渠成的， 单纯的讲解可能对有的学生来

11、说很生涩， 因此， 有必要在这一教学环节设置适当的情境，启发与引导学生，这样才能达到更佳的教学效果.(4) 对等比数列的概念以及通项公式的教学，多种教学设计风格互不排斥等比数列与等差数列虽然是两类不同的数列， 但是它们在研究方法、 性质上都有很多的共通之处。因此，等比数列的教学设计可以采用对比法，即在概念、性质、 公式的教学过程当中对比着相应的等差数列的内容进行设计， 这也符合心理学中顺应教学法。 有了等差数列的教学设计基础， 因此有的教师建议可采用类似等差数列相应知识的教学设计法，学生不但可以很容易接受等比数列的内容，还可以加深学生对等差数列的理解，但两种方法都各有自己的长处，教师可根据个人

12、风格自己进行选择设计， 当然如果将两种方法结合起来， 针对不同的内容进行优化设计，可能会收到更好的效果.(5) 应该在教学设计过程中，适当地向学生介绍数学史的知识数学史知识的引入不但能激发学生学习数学的兴趣， 提高他们的数学文化底蕴， 而且能让他们更加懂得有关知识的形成过程， 比如实践应用的需要、 知识本身发展的地需要等，从而提高学生的数学应用意识 .2课堂教学学生学法指导（ 1）数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决. 如通项公式、前 n 项和公式等.（ 2）运用方程思想、整体思想、函数思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量al、d （或q）,掌握好设未

13、知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.（3）分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和qwl两种情况等等.（ 4） 等价转化是数学复习中常常运用的， 数列也不例外. 如 an 与 sn 的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳 .（ 5）深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.切实抓好两个 “特殊数列” 的通项公式和前 n 项和公式的推导过程及方法。（ 6）解题要善于总结基本数学方法.如迭代法、逐差（积）求和（商）法、裂项相消法、 观察法、 类比法、

14、 错位相减法、 待定系数法、 归纳法、 数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.3学习本章节的教学建议和教学要求：在讲授本单元内容时，就教学方法上应着重把握如下三个原则：（1）直观性原则建议根据数列an 中的序号 n 与项 an 的对应关系，在直角坐标系中作出几个特殊数列的图象（由一群孤立点（n, an） （n=1, 2,）构成），以便学生直 观地从函数的角度理解数列（2）启发性原则充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用， 在教师引导、 启发下， 使学生真正成为知识的探索者和发现者 建议根据教材的有关内容， 努力营造易于学生探索、发现的问题情境，让学生在民主、开放的教学氛围中，

15、通过讨论、交流，自行发现知识、学习知识和应用知识.也可根据教材内容的特点，采用试验 归纳猜想证明的方式，逻辑推理与合情推理并举，进而获取知识.（3）联系性原则新旧知识内容之间以及学习研究新旧知识的方法通常有着密切的联系性和互通性 等差数列与等比数列的知识内容及研究方法尤其如此 因此， 在教学中建议利用类比的推理方式， 在复习旧知识的基础上， 认真引导学生利用旧知识去理解新知识， 努力建立起新旧知识间的联系， 正确地把新知识纳入自己原有的知识体系， 从而充实、 完善知识体系 在研究的方法上也可把研究等差数列时所用的方法，类比地“移植”到等比数列的研究上来，使学生探求新知识有章可循，有法可依三 .

16、 典型例题剖析:例题1.已知等比数列an中,a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a164, 公比 q 1（ i ）求 an;（h）设bn 10g 2 an,求数列|bn|的前n项和tn.解析： 依题意a2a4 3a a4),即2a4 3a2 a20332a1q3a1q a1q 0o,、12q 3q 1 0 q 1或 q 万q 1 q 2故an 64少1117(ii) bn 10g264 (-)n1 10g2 27 n 7 n|bn|当 n 7 时,ibj 6工(64) n()2nn(13 n)2 (n7)(n 6)(n 7)2当 n 7 时,|b8| 1,tn t7(1

17、 n 尸 7)2121(n 7)点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想.例题2.设数列an的前n项和为sn,若sn是首项为1,各项均为正数且公比 为q的等比数列.(1)求数列an的通项公式an；(2)试比较an an 2与2an 1(n n )的大小，并证明你的结论.解析：(i) : &是各项均为正数的等比数列.snqn1(q0).当 n=1 时，a1 = 1, 当 n2时,ansnsn 1(q1)qn2.-1(n 1) aoann 2(q 1)q (n 2)(n)当 n=1 时,3 r 1aia32a2 ssi(q1)q 2s (q 1) (q3)2口 0

18、.aia32a224 当 n2日tan an 2 2anisi(q 1)qn 2 si(q 1)qn2s (q 1)qn 1 (q 1)3qn 2n 2 q 0,q0.当 q=i 时，(q i)3 0, anan 2 2ani.当 0q i时,(qi)30,an a。2 2an当 q1时，(q i)30,anan 2 2an i.综上可知： 当n=1时，a1 a3 2a2当 n 2日,若q 1,则an an 2 2an 1;右*0 q 1,则 anan 2 2an i;若q 1，则an an 2 2an 1.点评：本题考查了等比数列的基本知识，还要注意分类讨论.例题3.已知&是数列an的前n项

19、和，并且 &=1,对任意正整数 n,sn 1 4an 2；设 bna0i 2an(n 1,2,3,).(i)证明数列bn是等比数列，并求bn的通项公式；、一b.1一、，一一，(ii)设cn,tn为数列的刖n项和，求tn.3log 2 cn 1 log 2 cn 2解析：(i)sn 14an2, sn4an 1 2(n 2),两式相减：an 1 4an 4ani(n 2),an 14(anan 1)(n 2),bn an 1 2a n,bn 1an 22a n1 4(an1 an) 2an i,bn 12(an 12an)2bn(n n*),bn 12bn,bn是以2为公比的等比数列，bi a2

20、 2ai, w ai a2 4ai2, a2 3ai 2 5,bi 5 2 3,bn 3 2n1(n n*)(ii) cnbn2n 13log2cn 11log2 cn 2nn 1log 2 2 log 2 21n(n 1)1 n(n1)_79(1 5%)7 500(1 5%)9(1点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列an的通项an,第二问求和用到裂项的办法求和.例4.商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2009年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷建行偿贷款形式(

21、年 利率5%,按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费 18万元.其余 部分全部在年底还建行贷款.(1)若公寓收费标准定为每生每年 800元，问到哪一年可偿还建行全部贷 款；(2)若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元).(参考数据：lg1.7343= 0.2391, lgl.05 = 0.0212,时 =1.4774)解析：(1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000x80 (元)=800000 (元)=80万元，扣除18万元，可偿还贷款 62万元.依题意有 621 (1 5%) (1 5%)2 . (1 5%

22、)n1 500(1 5%)n1化简得62(1.05n 1) 25 1.05n1 ,1.05n 1.7343 .两边取对数整理得n lg1.7343 0.2391 11 28lg1.05.0212. . .取n=12(年).到2014年底可全部还清贷款.(2)设每生和每年的最低收费标准为x元，因到2010年底公寓共使用了 8年，1000x依题意有(10000218)1 (1 5%) (1 5%)210.58 19(0.1x 18) 500 1.059化简得1.05 125 1.05925 1.05 1.4774、x 10(18 5) 10(18 ) 10 (18 81.2) 9921.058 1

23、1.4774 1(元)故每生每年的最低收费标准为992元.点评：这是一道数列应用问题，需建立通项公式并运用所学过的公式求解例题5.如果有穷数列31, a2,a3,l ,am ( m为正整数)满足条件aama2am 1 ,am a1，即ai am i 1 (i 1,2,l ,m ),我们称其为“对称数列”例如，数列1,2, 5 2 1与数列8, 4 2 ,2,4 8都是“对称数列”.(1)设bn是7项的“对称数列，其中bi, b2,坊也是等差数列，且bl2 , b4 11.依次写出bn的每一项;(2)设cn是49项的“对称数列”，其中c25, c26,l ,c49是首项为1,公比为2的等比数列，

24、求cn各项的和s；(3)设dn是100项的“对称数列”，其中d51,d52,l &00是首项为2 ,公差为3的等差数列.求dn前n项的和sn(n 12,l ,100).解析：(1)设数列bn的公差为d则 b4b13d 2 3d 11,解得 d 3,数列bn 为 2,5,8,11,8, 5, 2 .(2) sc1c2c492(c25c26c49 )c252222412 22511 226 3 67108861.(3) d512,d1002 3 (50 1)由题意得d1,d2 ,l,d50是首项为149,公差为3的等差数列.当 n50时，snd1 d2dn3)2nn(n 149n22301n .2

25、当 51 n 100时,snd1 d2dn3775d51 d 52dn(n 50)(n 51)2g(n 50)33 2 n2301 n,3 2一 n综上所述，sn23 2-n 2299n 7500.22299n 7500, 51 n 100.2点评：这是数列创新题，求解数列创新题的关键是仔细观察，探求规律，注重转最后利用等差、化，通过阅读，将乍看陌生的问题熟悉化，合理设计解题方案, 等比数列有关知识来求解.四.单元目标练习：一、填空题：（本大题共14小题，每小题3分，计42分）1.数列1, 1,1, 1,1l ,的通项公式的是2.在等比数列 an中，若a1,a10是方程3x2 2x 6 0的两

26、根，则a4 a7 =4.5.6.7.8.9.3.数列 an是等差数列,已知数列an满足a在等比数列 an中，若已知数列等差数列等比数列a4a34,则s7ana71,求 an16 ,则 a5 =an ,an 1 21n(n n6），f 1一、那么是这个数列的第24an 中，0120 ,那么 a5 a6an中,前 n 项和 sn=3n+r,则 r=项. 110 .已知数列an的图像是函数 y 1图像上当 x取正整数时的点列，则其通项公式2 _311 .等比数列1,2a,4a ,8a , 的前n项和sn=本金x （ 1+利率x存期）计算,12 .某银行在某段时间内，规定存款按单利（即：本利和 且整存

27、整取的年利率如下：存期年利率（）2.252.42.732.88某人在该段时间存入10000元，存期两年，利息税为所得利息的5%。则到期的本利和为元.13 .如图，图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形， 设第n个图形包含f（n）个“福娃迎迎”，则f（n 1） f（n） .（答案用n的解析式表示）14 .已知等比数列 an的首项为8, sn是其前n项和，某同学经计算得s2 24, s3 38,s4 65,后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是 ,该数列的 公比是.二、解答题：（本大题共6小题，共58

28、分）15 .（本小题8分）已知数列 an中，a1 3, a10 21 ,通项an是项数n的一次函数，求an的通项公式，并求 32005 ；若bn是由32,a4,a6,a8,l ,组成，试归纳 bn的一个通项公式.16 .（本小题12分）已知 an是等差数列，其中31 25,34 16（1）求an的通项；（2）数列an从哪一项开始小于0；(3)求 a1a3a5 la19值；(4)求 tna2a3l17 .（本小题8分）数列3、9、2187,能否成等差数列或等比数列？若能.试求出前项和.18 .(本小题10分)已知：数列an是首项为1的等差数列，且公差不为零。而等比数列bn 的前三项分别是a1,

29、a2 ,a6.(1)求数列an的通项公式an ；(2)若b r l bk 85,求正整数k的值；(3)求数列anbn的前n项和tn.19 .(本小题12分)如图是一个类似“杨步!三角”的图形，第 n行共有n个数，且该行的第 一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第n-1行与之相邻的两个数的和，an,1,an,2,.an,n(n 1,2,3,.)分别表示第n行的第一个数，第二个数,.第n个数。求an,2(n 2且n n)的通项式.12234347745 111411520 .(本小题12分)设an是正数组成的数列，其前 n项和为sn,并且对于所有的n e n*, 都有 8sn (an 2

30、)2.(1)写出数列an的前3项;(2)求数列an的通项公式(写出推证过程)；一 .4m(3)设bn , tn是数列bn的前n项和，求使得tn对所有n e n都成立an a n 120的最小正整数m的值.单元目标练习(答案)一、填空题：1. an ( 1)n 1或an1 ,nm着.。提示：写成两种形式都对，an不能省掉。2.1110g 3(3* 3；n1, n111 n2 40n32 )1og3(32 42 )4. 85. n6. 87.8.249. 110.1an=一 n11.snn,a -, 21 (2a)n1 2a12.10456.提示:10000 x(1+2 x2.4%)-10000 x2 x2.4% x5%=1045613.4n14.s2； 2二.解答题:15.解：设k ban kn b ,则10k,解得21an 2 n1(nn )，a2005401 1即为 5,9,13,17,bn 4n16.解:(1)q a4a13d d 3an 283n(2) q28 3n10 n 93，数列an从第10项开始小于a1a3a5la1