自适应滤波器

1、自适应滤波器 第七章第七章 自适应数字滤波器自适应数字滤波器 Adaptive Filters 自适应滤波器 第一节第一节 引言引言 自适应滤波器 一、自适应一、自适应DF 60年代以后才出现，发展很快。 所谓自适应DF：利用前一时刻已获得的滤波 器参数等结果，自动地调节现时刻的滤波器 参数，以适应信号与噪声未知的或随时间变 化的统计特性，从而实现最优滤波。 这个概念是从仿生学中引伸出来的，生物能 以各种有效的方式适应生存环境，生命力极 强。 自适应滤波器 二最小均方误差（LMS） 自适应DF：以均方误差最小为准则，能自动调节单 位脉冲响应h(n),以达到最优滤波的时变最佳DF 也即：参数会变

2、参数会变，随着外界参数变化自动调节，使滤 波器效果最佳。 19571966年美国通用公司应用于天线，为了抑制旁 瓣而提出。 奠定自适应滤波器的人是： 美国B.Windrow 及Hoff：提出自适应DF算法，主要用 于随机信号处理。 自适应滤波器 三、目的 设计自适应DF，可以不必预先知道信号与 噪声的自相关函数。 在滤波过程中，即使信号与噪声的自相关 函数随时间缓慢变化，DF也能自动适应， 自动调节到满足均方误差最小的要求。 自适应滤波器 四、自适应发展前景1 1、广泛用于系统模型识别 如系统建模：其中自适应滤波器作为估计未知系统特 性的模型。 2、通信信道的自适应均衡 如：高速modem采用

3、信道均衡器：用它补偿信道失真， modem必须通过具有不同频响特性而产生不同失真的 信道有效地传送数据，则要求信号均衡器具有可调系 数，据信道特性对这些系数进行优化，以使信道失真 的某些量度最小化。 又如：数字通信接收机：其中自适应滤波器用于信道 识别并提供码间串扰的均衡器。 自适应滤波器 四、自适应发展前景2 3、雷达与声纳的波束形成 如自适应天线系统，其中自适应滤波器用于波束方 向控制，并可在波束方向图中提供一个零点以便消 除不希望的干扰。 4、消除心电图中的电源干扰 如：自适应回波相消器， 自适应噪声对消器：其中自适应滤波器用于估计并 对消预期信号中的噪声分量。 5、噪声中信号的滤波、跟

4、踪、谱线增强以及线性预 测等。 自适应滤波器 五、目前常见的自适应滤波器 由于设计简单、性能最佳，自适应DF是 目前数字滤波器领域是活跃的分支，也 是数字滤波器研究的热点。 主要自适应滤波器：递推最小（RLS） 滤波器，最小均方（LMS）滤波器，格 型滤波器、无限冲激响应（IIR）滤波器。 自适应滤波器 第二节 最小均方误差 （LMS)自适应DF 的基本原理 自适应滤波器 一、均方误差 用统计方法，大量数求平均，提出均方误差 最小准则，即输出信号与进行信号之间误差最小。 其定义为： 22 ) ( )()(nsnsEnE 测量数据越多，则越准确。 h(n) x(n)=s(n)+w(n) ) (

5、)(nsny 其中s(n)信号（可以是随 机信号或规则信号。 1 0 )()()()()( N m mnxnhnxnhny输出： 自适应滤波器 二、自适应DF基本原理 1.自适应DF的原理框图 自适应数字滤波器 参考输入 - + d(j) (j) 原始输入 x(j) y(j) x(j)表示j时刻的参考输入，y(j)表示j时刻的输出响应; d(j)表示j时刻的原始输入信号，即所期望的输出响应； (j)为误差信号=d(j)-y(j); 自适应滤波器 2、自适应DF的原理 (1)自适应DF的h(n)单位脉冲响应受(j)误差信号控制。 (2)根据(j)的值而自动调节，使之适合下一刻(j+1)的输入 x

6、(j+1)，以使输出y(j+1)更接近于所期望的响应d(j+1), 直至均方误差E2 (j)达到最小值. (3)y(j)最佳地逼近d(j)，系统完全适应了所加入的两个外 来信号，即外界环境。 注意： x(j)和d(j)两个输入信号可以是确定的，也可以是随 机的，可以是平稳的随机过程，也可以是非平稳的随机 过程。 从图中可见： 自适应DF是由普通DF+相关抵消回路构成。 自适应滤波器 3、ADF实现 可以由FIR DF或IIR DF实现。 但由于收敛性及稳定性，目前用得多为FIR DF 实现。 FIR滤波器结构有： 横向型结构(直接型)（Transveral Structure) 对称横向型结构

7、(Symmetric Transveral Structure) 格形结构(Lattice Structure) 自适应滤波器 4、FIR ADF实现 若FIR DF的单位脉冲响应长度为，则其输出为 可见: (1)是个现在或过去输入值的加权和. (2)加权系数就是h(m)。 (3)在自适应DF中，这个加权系数常用符号wj表示, 时间用j表示. (4)则输出可表示为： (5)自适应DF可变成自适应线性组合器。 1 0 )()()( N n mnxmhny N i ii jxwjy 1 )()( 自适应滤波器 5、FIR ADF的框图 （也即自适应线性组合器） 自适应算法 . . . x1j x2

8、j xNj + - d(j) (j) y(j) w1 w2 wN 若设x1j, x2j , x3j xNj ,为同一信号的不同延 时组成的延时线抽头形式，即所谓横向FIR结构。 它是最常见的一种自适应DF结构形式。 一般来讲x1j, x2j , x3j xNj , 可以是任意 一组输入信号， 并不一定要求当时x1j = xj, x2j= x(j-1),x3j= x(j-2) ，xNj= x(j-N+1) ， 即并不要求各xi(j)是由 同一信号的不同延时 组成. 自适应滤波器 6、横向FIR ADF的结构 自适应算法 . x(j)x(j-1)x(j-N+1) + - d(j) (j) y(j)

9、 w1w2wN 若设x(j), x(j-1) , x(j-2) x(j-N+1)j ,为同一信号的 不同延时组成的延时线抽头形式，即为横向FIR结 构。它是最常见的一种自适应DF结构形式。 AF y(j) (j) x(j) 简化符号为 自适应滤波器 7、由横向FIR AF组成的自适应系统 . . . x1(j) x2(j) xN(j) + - d(j) (j) y(j) w1 w2 wN AF AF AF 当所处理的输入信号x1(j), x2(j) , x3(j) xN(j)来自 不同的信号源时，它实际上就等于自适应线性组合 器。 自适应滤波器 三、寻找E2(j)=min时的各wi值 自适应D

10、F的要害在于按照(j)和各xi(j)的 值，通过某种算法寻找出E2(j)=min时 的各wi值，从而可自动地调节各wi值。 自适应滤波器 1.写出均方误差的式子 首先我们推导出自适应线性组合器均方 误差E2(j)与加权系数wi的关系式。 )()()()()( )( )( )( )(, 3 2 1 )()()()( 2 1 1 0 jXWjdjyjdj jx jx jx jX w w w W jXWWjXjxWjy T N T N n T ii 求均方误差： 此处大写代表矩阵 式中： 写成矩阵形式： 自适应滤波器 2.x(j)信号与d(j)信号的自相关函数 的自相关函数是 的自相关矩阵称为输入信

11、号 ）（ 令 )()0()( )( )0( )0( 0 )0( )0( )0( )0( )0( )()( 2 2 1 22 21 1 12 11 2 2 1 2 2 21 1 12 2 1 jdjdE jxR x x xx xx x xx xx xx x EjXjXER dd xNxN xNx xNx xx xx xNx xx xx jN jNj jNj j jj jjN jj j T 自适应滤波器 3.x(j)信号与d(j)信号的互相关函数 0 )( )0(),0(),0( )()( )()( )()( )()( 1 21 2 1 mm m jxjd jxjd jxjd EjXjdEP dx

12、 T xNddxdx N 为时间差，同一时间 相关函数，与期待输出的信号的互 为输入信号在随机过程中 令： 自适应滤波器 4.求出E2(j)与wi的关系 单个值单个值单个值 行方阵列列行单个值 均方误差为： 代入式中求得 ，将 )0( 2)()( )0()( )()()()( )()()()(2)( )()()()(2)( )()()( 22 2 2 2 22 dd TT dd T TTT TT T WRWWPjdEjE jdE jXjXERjXjdEP WjXjXWEWjXjdEjdE WjXjXWjXWjdjdE jXWjdEjE 自适应滤波器 5.求出自适应滤波器的E2(j)与wi 的关

13、系 1 1 1 1 1 1 2 22 111 22 )(2)()0()( )0(2)0()0()( 1 )0(2)0()0( 2)()( N i N m N i dixxmidd xdxxdd N i N m N i dxixxmidd TT iWmiWWjE FIR WWjE N WWW WRWWPjdEjE imi 数字滤波器有横向不难证明，对于自适应 时，只有一个信号当 由于均方误差为： 自适应滤波器 第二节 性能函数E2(j) 及其梯度 自适应滤波器 一、研究E 2(j)与W的关系 1 1 1 1 1 1 22 )(2)()0( 2)()( N i N m N i dixxmidd T

14、T iWmiWW WRWWPjdEjE 由于均方误差为： 看出：均方误差E 2(j)是加权系数W的二次函 数，它是一个中间上凹的超抛物形曲面，是具 有唯一最小值的函数。 自适应滤波器 二、E 2(j)与W的关系曲线 )( 2 jE )( 2 2 jE )( 1 2 jE A B 调节加权系数W使均方误差最小，相当于沿超 抛物形曲面下降到最小值。 w)( 2 jW )( 1 jW 自适应滤波器 三、梯度法 在数学上，可用梯度法沿着该曲面 调节权矢量 的各元素 得到这个均方 误差E 2(j)的最小值。 自适应滤波器 1.均方误差梯度 将对上式 均方误差对权矢量的各wi 进行求导，得到均方误差梯度：

15、 N dw jdE dw jdE j )( )( )( 2 1 2 )( 2 jE 自适应滤波器 2.求最佳权矢量（用w*表示） （1）对均方误差梯度求导 00 , 0 , 12 0 1 2 )( 00 , 0 , 100 , 0 , 1 0 1 0 1 00 , 0 , 1 0 1 20 )( 0)( 1 2 1 2 WRP dw jdE RRR WRRWRW RWWRP dw jdE j T T T T T T T T T 为对称方阵， 即： 求最佳权矢量，则令 自适应滤波器 （2）求出均方误差梯度表示式 2222)( 22 )( 22 )( 22 )( 00 , 0 , 1 2 0 1

16、2, 2 2 2 2 1 1 2 11 PWRWRPj WRxd dw jdE WRxd dw jdE WRxd dw jdE WRWR xdPxdxdP NjNj N jj jj jj T jNjjj T 均方误差梯度为： 以此类推： 个元素第 第二元素 第一元素 第一元素 自适应滤波器 （3）维纳-霍夫方程 霍夫方程这是著名的维纳 或 达最佳值。为最小，时，当 均方误差梯度为： )(0)( 2 2 2 2)( 1* * 2 PRW PWR WjEj PWRWRPj 自适应滤波器 (4)最小均方误差算法 , )()( * *22 1* WPR PWjdEjE PRW 即可以求出已知 最小误差

17、为： 最小权矢量为： 实际上，设计自适应DF无需知道R和P。自适应DF与 维纳（平稳随机过程）DF比较，其差别在于增加了一个 识别控制环节，将输出y(j)与所期望的响应d(j)比较，看 是否一样，如果有误差(j)，用(j)去控制w,使w为 E2(j)=min时的W*. 因此，关键：找到LMS算法，寻找一个W的递推式， 由W=W0，起始值开始，沿着趋于W*的正确方向逐步递 推，直至W=W*，E2(j)=min为止。这就是最小均方误 差算法，简称LMS算法。 自适应滤波器 第三节LMS递推算法 寻找一个W的递推式，由W=W0，起 始值开始，沿着趋于W*的正确方向 逐步递推，直至W=W*， E2(j

18、)=min为止 自适应滤波器 一、LMS算法递推式 LMS递推算法是Windrow与Hoff两个提出的。 设w(j)是j时刻的权矢量，w(j+1)是j+1时刻的权矢 量； 则LMS算法的递推公式为： 式中0, 是一个控制稳定性与收敛速度的参数。 因为E2(j)是权矢量W的二次方程，即E2(j)与 W的关系在几何上是一个“碗形”的多维曲面。 时刻的均方误差梯度。是jj :)( )()()1(jjWjW 指引正确的递推方向。导向参数是,:)(jj 自适应滤波器 二、自适应过程的物理意义 )( 2 jE )( 2 2 jE )( 1 2 jE A B )( 2 jW )( 1 jW 点。即碗底： 。

19、，去寻找“碗”的底点连续地调节 ， 据递推式自适应的物理意义：根 * 2 , 0 )( )()() 1( ww dw jdE W jjWjW W 为了简单，设W是一 维的，则E2(j)与W的关 系成为一个抛物线。 自适应滤波器 三、自适应递推算法的递推过程 1、步骤1 右边。必在则 时，当 左边。必在则 时，设当 WjW dw jdE jWW WjW dw jdE jWW jww jww )(, 0 )( )( )(, 0 )( )( )( 2 2 )( 2 1 2 1 自适应滤波器 2.步骤2 .) 1( ) 1 )( , 0 )( )( )() 1(, 0 ) 1 22 * 2 * 2 )

20、( 2 2 11 * 1 2 WjWjW WjWW WjW dw jdE jWW WjWjWw WjWW jww （应为 ，更接近于（值为了使下一个 右边。必在即 时，如果 设 ，更接近（值为了使下一个 自适应滤波器 3.步骤3-合并 T N jWW dW jdE dW jdE dW jdE j jW jjWjW j WjWjWW WjW dW jdE jWjW )()()( )( )( )()()1( )( .)()1( )(,0 )( )()1( , 2 2 2 1 2 * * )( 2 ， 可用矩阵表示：是多维的情况时，梯度当 表示：用梯度 更接近于比值都能使下一个 左边或右边，在不论原

21、来式中 得：将上两式合并 自适应滤波器 4.步骤4-结论 * * 2 * )()1(0)( )()1( )()( )()()1( WjWjWj jjW WW LMS jEj WW jjWjW ，当 确定。靠扰的步距由 的方向向碗底靠扰。将沿着 时，根据上式，当 。算法也称为最陡下降法因此 下降最快的方向。代表因为 这一点。可以找到 由： 自适应滤波器 四、LMS自适应滤波器递推公式 （1）LMS算法如何实时处理及实现 的无偏估计是，得出的数学期望 代入上式，得： 得又 的估值，有：作为均方误差的梯度（用单样本 怎样处理呢？参数，不能实时计算， 是个集合平均的，可知：由： )()( )()( )

22、( )()(2)( )( )( , )( , )( ),()()( )( , )( , )( )(2 )( , )( , )( )( )()( ) )()()() 1( 21 )( 21 )( 2 2 2 1 2 2 jjjjEj jXjj jX dW jd dW jd dW jd jXWjdj dW jd dW jd dW jd j dW jd dW jd dW jd j jjj jjjWjW T N T T jWW N T jWW N 自适应滤波器 （2） LMS自适应滤波器递推公式 的结构图。也可由此设计硬件实现 型，软件实现的编程数学模它们就是自适应 ）可按上式递推计算，（ ，）给定输

23、入（ 可任意设置。）（）起始条件（ 式中： 自适应滤波器递推公式得出一组 代入方程中 将上式： 由误差方程： DF jxjxjx WWW LMS jXjjWjW jXjjWjW jXjj jjWjW N N NNN 3 )(),()(2 )0(,),0(,01 . )()(2)() 1( )()(2)() 1( )()(2)( )()() 1( 21 21 111 自适应滤波器 五、自适应滤波器的主要结论 （1） 低。误差最大，估计精度最 时 不相关时，互相关系数与当 )()(, 0 0)()( )()( 2 min 21* jdEjEPRW jXjdEP jdjX 2)()( 22 WRWW

24、PjdEjE TT 因为均方误差为： 自适应滤波器 五、自适应滤波器的主要结论 （2） 高。误差减少，估计精度提 则 相关时，与当 )()()( )()( 2*22 1* jdEPWjdEjE PRWjdjX T 2)()( 22 WRWWPjdEjE TT 因为均方误差为： 自适应滤波器 五、自适应滤波器的主要结论 （3） 高。，最准确，估计精度最均方误差为 则 时，即阶数 完全相关时，与当 0 0)( 0)()()( )()()( 1 )()(1 )()( 2 1* jE jyjdj jdjxjy PRW RP jdjXN jdjX 2)()( 22 WRWWPjdEjE TT 因为均方误

25、差为： 自适应滤波器 五、自适应滤波器的主要结论 （4） 自适应数字滤波器是个线性系统，时变， 服从叠加原理。 自适应滤波器 第四节 自适应数字滤波器 的应用 自适应滤波器最重要特性：能有效地在未 知环境中跟踪时变的输入信号，使输出信号达 到最优。因而在电信，雷达，声纳，实时控制 以及图象处理等领域都有成功的应用。 自适应滤波器 一、应用介绍 自适应数字滤波器的应用非常广泛，这 里介绍四种。 一、自适应噪声抵消器； 二、自适应陷波滤波器； 三、自适应预测系统。 自适应滤波器 二自适应噪声抵消器 1、自适应噪声抵消器引入 固定参数的数字滤波器利用自身的传输特性来抑制信 号中的干扰成分，消除干扰的

26、效果受到很大的限制。 若已知道干扰信号的来源，就可利用干扰源的输出去抵 消信号中的混杂的干扰。 但直接利用干扰源的输出去抵消干扰的做法是危险的， 因为由于延迟的影响，不仅不能减小信号中的干扰，反 而有可能使干扰加强。 在自适应噪声抵消器中，是利用干扰源的输出，通过一 个数字滤波器，最佳地估计出干扰值，从而从混有干扰 的输入中减去干扰估值，实现了干扰与信号相当完善的 分离。 自适应滤波器 2、自适应噪声抵消器的原理框图 信号源 噪声源 自适应滤波 + - )(ne)( ns )( 0 nV )( 1 nV )()( 0 nVnS原始输入 互不相关。、与且 程，为零均值的平稳随机过、设定 误差最小

27、。最佳估值，即两者均方为 相关的噪声参考输入为与 图中：原始输入为： )()()( )()()(: )()( )()( )()( 10 10 00 10 0 nVnVnS nVnVnS nVnV nVnV nVnS 自适应滤波器 3、自适应噪声抵消器的输出1 噪声抵消。是相关，这样才能进行、要求 。时， 。误差最小求自适应滤波是使均方 无关，、与 程为零均值的平稳随机过、 出自适应噪声抵消器的输 )( )( min)(0)( )( min)( 0)( )()()()()( ,)()()( )( )()(2)( )()( )( )( )()(2)( )()()( )( )()()( )( 00

28、22 00 2 0010 10 00 2 00 2 2 00 2 00 22 00 nVnV neEnVnVE neE nVnVnsEnVnVnS nVnVnS nVnVnsEnVnVEnSE neE nVnVnSnVnVnSne nVnVnSne ne 自适应滤波器 3、自适应噪声抵消器的输出2 相等则最佳。（一般为噪声）相关， 必须与被抵消信号参考输入信号 务条件：完成自适应噪声抵消任看出：自适应滤波器要 。这时自适应滤波器关闭 号，什么信号，出来什么信也表明：原始信号进来 那么： 不相关，则、若 )()( 000 )( )()( )( )(2)( )()( )( 0)( )()( )( 01 2 0 2 0 2 00 2 0