2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I

1、第19页，共18页2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）题号二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若乙=1+则 IFjZI=()A. 0B. 1C. 2D. 22. 设集合 A=xx2 -4 0x2x+a 0,且的 B=j2 x 1,M =()D.4A. -4B. -2C. 23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形 状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的 正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积, 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长 的比值为（）A.心 B. C. 4D. 442424. 已知A为抛物线C M =2PX（P0）上一点

2、,点A到C的焦点的距离为12倒J轴的距离 为9,则/K ）A. 2B. 3C.6D.95. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度凡单位/C）的关系，在20 个不同的温度条件卞进行种子发芽实验，由实验数据严）（Alz,20）得到下面 的散点图：100%80%60%40%20%温度/ C0由此散点图，在I（TC至4（C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度犬的回归方程类型的是（）A. y=a+bxB. ）-a+ bx2C. .y=+ rD. y=a+bn X6. 函数%）=-2jj3的图像在点（1炎1）处的切线方程为（）A. ）=-2x-lB.尸2计1C.尸23D v

3、=2a+1Tr7. 设函数yw=（3+g）在严的图像人致如下图侧几O的最小正周期为（）A.IQttIrc & （尢+ ）（尢+ y）5的展开式中y3的系数为（）9.A. 5B. 10C. 15己知 (0,),且3cos2-8cos = 5,贝IJSin =(D. 2010.己知AbC为球O的球面上的三个点,O O为AABC的外接圆,若O O的面积为 4疋AB=BC=AC=OOi ,则球O的表面积为（）A. 64疋B. 48 HC. 36比D. 32贰11已知:x2 +y2 -2x-2y-2=0,fl线i2+2=0,P为/上的动点,过点P作M的切线PAfB,且切点为A0肖PMl PABl最小时,

4、直线AB的方程为（）A. Zvyl=OB. 2x+y-l=0C. 2x-y+l=0D 2+y+l=012.若2a + log2 =4h + 21og4b,则()A. a2bB. ab2D. aO,bO）的右焦点4为C的右顶点力为C上的点且BF垂直于X轴若AB的斜率为3,则C的离心率为.16如图,在三棱锥PBC的平面展开图中 AC= 1 AB=AD= ACAB AD,Z CAE=B(F ,则 Z FCB=F(P)三、解答题(本大题共7小题，共80.0分)17. 设% 是公比不为1的等比数列，円为严的等差中项.(1) 求如的公比；(2) 若山=1,求数列的前H项和.18. 如图,D为圆锥的顶点,O

5、是圆锥底面的圆心SE为底面直径E=AD.ABC是底面的 内接正三角形J为DO上一点,PO= DO.6(1) 证明屮A丄平面PBC求二面角B-PC-E的余弦值.19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,预定赛制如卞：累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首次比赛的两个人,另一人轮空;每场比赛 的胜者与轮空者进行卞一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人淘汰;当一人被淘汰 后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为* (1) 求甲连胜四场的概率；(2) 求需要进行第五场比赛的概率；(3) 求丙最终获胜的概率20. 已知

6、久B分别为椭圆E:g+/=l(dl)的左、右顶点,G为E的上顶点,花-而=8f 为直线a-6上的动点,PA与E的另一交点为UPB与E的另一交点为D、(1) 求E的方程；(2) 证明:直线CD过定点.21. 己知函数)= ex+riuC2-x(1)当G=I时,讨论金)的单调性;当 O时金）孑I /+1,求a的取值范1制.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系XoV中,曲线Q的参数方程为（Z =? 0为参数）以坐标原点为I y = HinA t极点r轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为4 co 0-16 Sill +3=0.当时,Q是什么曲线？（2）3 k=4时,求Cl与6的

7、公共点的直角坐标.23. 选修4-4:坐标系与参数方程 已知函数 yu）=3x+-2k-. 画出）Fa）的图像；（2）求不等式1）的解集.2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）答案和解析【答案】1.D2. B3. C4. C5.D6.B8. C9. A10. A11.D12. B7. C13. 114. 315.217. 解：设等比数列心的公比为q(ql)9由题意知：21 =a2 + a39 g21 =1 + 1t/2,所以+ q-2 = 0,解得cj-2.(2)若 1 = 1,则n = (-2)1,所以数列mJ 的前 n 项和为 Tn=I+ 2 (-2) + 3 (-2)2 +

8、+ n(-2)n1,则一2心= -2 + 2 (一2)2 + 3 (-2)3 + + n(-2)n,两式相减得 37= 1 + (-2) + (-2)2 + (-2)3 + (-2)n1-n(-2)n18. (1)证明：不妨设 G)O 的半径为 1,则 AO=OB=OC=I, AE=AD=2,AB=BC=CA=晶、Do = DA2-OA2 = S,P0 = %D0 =鲁PA = PB = PC = JPO2 + 加2 =当,在ZiPAC 中，PA2+ PC2 = AC2PAiPC9同理可得 PA 丄 PB, PBnPC=P,PBfC U 平面 PBC, PA丄平面PBC.(2)解：以OEQD所

9、在直线分别为y, Z轴，圆锥底面内垂直于OE的直线为X轴，建 立如图所示的空间直角坐标系OY)Z则有図雪,),C(-芻 0),P(0,0，),E(0,l,0),BC = )J =(t * = 0厂设平面PBC的法向量为1),贝IJ巧 = o解得；=(八21),1( CP nF同理可得平面PCE的法向量;=(2-6-2,H 3由图形可知二面角B-PC-E为锐角，则cos0=希j =竽，I故二面角B-PC-E的余弦值为乎.19. 解：(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，则 = (I)4 = (2)设甲输掉一场比赛为事件A,乙输掉一场比赛为事件B,丙输掉一场比赛为事件C,四场比赛能结束为事件N,贝IJ

10、P(N) = P(ABAB) + P(ACAC) + P(BABA) + P(BCBC) = 4=|所以需要进行第五场比赛的概率为p = -PW = 4 = (3) 丙获胜的概率为：P = P(ABAB) + P(BABA) + P(ABACB) + P(BABCA) + P(ABCAB) + P(ABCBA)+ P(BACAB) + P(BACBA) + P(ACABB) + P(ACBAB) + P(BCABA) + P(BCSAA)= 42 + ()51O=20. 解:由题意 4( 一 ,O)0(qO)Q(U)%; = 01)监=(1) r =2-l = 8=2=9= = 3,AG GB

11、椭圆E的方程为 + y2 = l(2)由(I)知班一3M(3Qf(6m),则直线PA的方程为y = k + 3)，my =亦+ 3)联立2=(9 + m )x + Gm X + 9m -81 = 0V + / = 1由韦达定理-3兀C = 宦=弓挣，代入直线PA的方程y = X+ 3)W,6m “ /-3nt2 + 27 6m y尸刁，即q片厂册)，直线PB的方程为y = x-3),联立T 2石 + y = 1=(1 + m2)x2-m2x + 9m2-9 = O,由韦达定理3=,代入直线PA的方程y =煞-3）得，yD= 即直线CD的斜率上CD =-3影 + 27 3亠 39 4 m2Ifm

12、2整理得沪為呜，直线CD过定点g,0)21. 解：(1)当 = l时，fx =ex + x2-x, f,(x) = ex + 2x-l,记 9(X)=广(X)，因为g,(x) =e + 20,所以9(X)=厂(X) =ex+ 2x-l在R上单调递增,又 (0) = 0,得当X 0时广(兀) 0,即f) =ex +在(0, + 8)上单调递增；当X 0时广(X) 0时，/(x)3 + ap + 1g、 1 ?记m(X) = ex-2x -x-1, m，W = ex-x-l令Q(X) = ex-x-l,因为x0,所以g,() = ex-l0,所以CO = q(x) = ex-x-l在(0 + 8)

13、上单调递增，即m“)= eAr-X-I n(0) = 0 所以m(x) = ex-x2-x-l在(0, + 8)上单调递增，即m() = x-x2-x1 m(O) = 0.故当X (0,2)时，,(x)O,吃)=捉“：在(0,2)上单调递增；当x(2, + )时，hx) 1)23.解：函数 -)=3x+1-21x-1=j 5x _広” VI),图像如图所示:、-X - 3, (X -*)函数+1)的图像即为将几的图像向左平移一个单位所得,如图,联立尸并3和 尸 5x+4解得交点横坐标为X=-I原不等式的解集为工比V -右.【解析】1. 【分析】本题考查了复数的四则运算与模长，属于基础题【解答】

14、解：由z = l + i得, = 2i, 2z = 2 + 2i, |,2z = 2i (2+2i) = 2. 故答案选D.2. 【分析】本题考查了集合的交集运算，属于基础题【解答】解：由己知可得u4=x-2x2, = xx-,又因为A CiB = x-2rl,所以一?=1，从而 = -2,故答案选B.3. 【分析】本题考查了立体几何中的比例关系，属于基础题根据题意列出必力的关系式，化简即可得到答案.【解析】解:如图，设正四棱锥的高为九底面边长为4侧面三角形底边上的高为2 = ,则由题意可得h2 = ，)2_()2，(ft,)2-2 = ah, 化简可得4(J2-2(-l = 0,解得* 学

15、故答案选C.4. 【分析】本题考查了抛物线的性质，属于基础题利用抛物线的性质建立等式，即可求得P的值.【解析】解：设点A的坐标为(x,y),由点A到y轴的距离为9,可得X = C)I由点A到点C的焦点的距离为12,可得x + =12解得P = 6.故答案选C.5. 【分析】本题考查函数模型的应用，属于基础题.连接各点，判断图象的大致走向，可判断函数为对数模型.【解析】解：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图彖的走向判断，此函数应该是对数函数类 型的，故应该选用的函数模型为y = + bln X.故答案选D.6. 【分析】本题考查了函数的切线方程，属于基础题求出导函数与点(V(I)的切线斜率，由

16、直线方程的点斜式可得切线方程，即可得解.【解析】解：先求函数的导函数/(%) = 4%3-6x2,则由函数的几何意义可知在点(l,r(l)的切线斜率为k = fm = - 2.又因为 = 一 1,则切线方程为y-(-i) = -2(X-1),贝 IJy = -2x + 1.故答案选B.7. 【分析】本题考查了余弦型函数的图象与性质，属于中档题 先利用f(-身)=O得到1=_若兰伙GZ),由T22T,可得1 ValV 2,由IV =-(k Z)可得k的值，w的值可得，即可求解.【解答】解：由图可知f(v) = cos(善V + ) = 0,所以一菩W +冇=夕+ k(k Z),化简可得VV =-

17、3 伙 Z), 又因为T 2 2T,即晋V 2TrV背，所以1 0, Sina = Jl-COS乞=y,故答案为A.10. 【分析】本题考查球的结构与性质，球的表面枳公式，属中档题.【解答】解：由圆0的面积为4r = rr2,故圆0】的半径P=2,-AB = BC = AC=OOIt则三角形ABC是正三角形，由正弦定理：7=2r = 4,得AB = OOI = 23,sn60-L由r2 = + 002,得球O的半径R = 4,表面积为4R2 = 64r.故答案为人11. 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式，切线的性质，属较难题.由题意，根据切线的性质及圆的对称性可知PW丄要使

18、PMAB最小，只需P4最 小，即IPA切最小，此时PAfU ,进而利用点到直线的距离公式以及切线的性质求解即可.【解答】解：圆 M 方程化为：(X-I.)2 + (yI)? = 4，圆心 M(1,1),半径 r=2,根据切线的性质及圆的对称性可知PN丄,则IPMl AB = 4SEM = 2PA AMt要使其值最小，只需P4最小，即IPMl最小，此时PMU ,.PM =忆+；1 刁=石,p = spm2-AM2 = 1过点M且垂直于I的方程为y_l = (-l),联立/的方程解得P(-1,O),以P为圆心,PA为半径的圆的方程为(x+l)2 + y2 = l,即x2+ + 2x = 0,结合圆

19、M的方程两式相减可得直线AB的方程为2x + y + l = 0,故答案为D12. 【分析】本题考查指数及对数的运算性质，指数及对数函数的单调性，属中档题.根据指数及对数的运算性质，46+21og4fe = 226 + log2b,根据指数及对数的运算性质,46 + 21Oge = 22b + log2b,由此可得答案.【解答】 解：根据指数及对数的运算性质，46+2log4fe = 226 + log2b, .log2(2ft) = log2Z) + 1 log2b,.2 + log2(2) 2” + Iog2Zi = 2 log2,根据函数(t) =2x + log?%是定义域上的增函数,

20、由f(2b) (),得a2b,故答案为B.13. 【分析】本题考查利用线性规划求最值问题，属基础题.【解答】解：根据约束条件画出可行域为：1一丹要使7最人，则y =-孑+量在y轴上的截距最人,由图可知经过点AaO)时截距最人，此时Z=I, 故答案为1.14. 【分析】本题考查平面向量数量积、向量的模，属于基础题先利用己知条件求出然后求出一;U疗即可 a ba 【解答】： rr2=:2a ar2r22?;=1a b a b a ba b-fl = 3.a b故答案为筋.15. 【分析】本题考查双曲线的几何性质，属于中档题分别求出力、B点坐标，再根据条件列方程即可求解【解答】解：由题意可知，B在双曲线C的右支上，且在X轴上方,BF垂直于X轴， 把X = C代入亍寻=1,得y =片, B点坐标为(C),又4点坐标为,0),kAB = ?= 3，化简得於=3ac-3a2 = c2-a2,即 2a2-3ac + c2 = O解得c = 2或c = (舍)，故 e = =2.故答案为2.16. 【