二项式知识点十大问题练习含答案

1、二项式知识点+十大问题+练习(含答案) (a+b) n =Cnoan +C： a2bA|+C：才七 +|j + |jbn (nW)； 2. 基本概念: 二项式展开式：右边的多项式叫做 bf的二项展开式。 12 /12 通项：展开式屮 二Cy，表 :是升幕排 数依次 的两个二项式系数相等; 二项式系数：展开式屮各项的系数5 (二。，十，/). 项数：共项；是关于a与b的齐次多项式 的第r1项叫做二项式展开式的通项。用 zj O 3. 注意关键点： 项数：展开式屮总共有厲项。 顺序：注意正确选择a, b，其顺序不能更改。匕川与-b a*是不同的。 指数：a的指数从n逐项减到0；是降幕排列。b的指数

2、从0逐项减到n 列。各项的次数和等于n. 系数：注意正确区分二项式系数与项的系数；二项式系 c； ,Cn, C：，,C：，,C：.项的系数是a与b的系数(包括二项式系 数)。 4常用的结论： 令 a=1,b=x, (1 x)AC: x CjX2 川 C： xr 川 C： xn(n N ) 令 a =1 ,b = -x, (1-x)n-C： x C； x2 -川 C： x r(-1)nC： xn(n N ) 5.性质： 二项式系数的对称性：与首末两端“对距离” 式系数和 项式系数的和 CoCn1 CAI CAIL Cnn 变形式c： +c： +川+c： + I)|+Cnn = 2n1o 奇数项的

3、二项式系数和/禺数项的二项式系数和： 项式定理中； C； Cn1 C2 -C；川(_1)nC：=(1-1)n =0 : cO +C； +C：+c； r + _ =cn +C；+1 朴 +c： +二丄X2n = 从而得到： 2 奇数项的系数和与偶数项的系数和： /、n0n01nA2n2g n On 1 2n (a x) Cna xCna x Cna x (Xa x a0 a,x a2xanx (x a)n = Caxn C： axs -C： a2xn， 川 C； anx 二 anxn H| a2x2 - aiX1 令 x- 1,WJ a0 a1 a2 a：川 an - (a T)n 令 x =

4、-1,贝卩 a。 a2-a； HI an= （a -1）n 得,a。 a2aA, an = lJ a （奇数项的系数和） 2 -得,ai-a： aAan-旦止严爼（偶数项的系数和） n 二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数n是偶数时；则中间一项的二项式系数Cn 取得最大值。 如果二项式的幕指数n是奇数时；则中间两项的二项式系数 nJ n 讣 1 52,52同时取得最大值。 系数的最大项：求abx）展开式中最大的项；一般采用待定系数法。设展开式屮各项 系数分别 Ar 1 A 为A*2,-,乓U设第项系数最大；应有AA.2:从而解出r来。 专题一 题型一：二项式定理的逆用； 例：C1 Cn 6

5、C3 6A1 C： 6 解：(1 6)n 二 C C： 6 Co 62 C； 63 HI - C： -6n 与已知的有一些差距.二 cn+c； 6+C；62 钏l+C： 故X9的系数为喙冷)3 一#。 严二丄（C：6+C：62+|+C：.6n） 练：C； 3Ci9C： HI 3nJ C；二 设 Sn=C： +3C： +9C： + 川+3 c；.则 解： 3Sn二 C： 3 七語；33 引-C; 3AC -C03 C： 32 C； 33 川 C： 3n-1 =（1 3）n-1 s_（1 3）n-1 _4n-1 题型二：利用通项公式求X的系数; *s)的展开式中倒数第3项的系数为45 ；求含有X3

6、的项的系数? 例：在二项式 解：由条件知C: 0 ； 由 =45 ；即Cn =45 ； n?n .90 = 0 ；解得n =9（舍去）或n勺 1 210j.2r /3 Tr1=C； O（XB1OJ（X?）r 二 C；0 xF ;由题意 10 r2 r =3,解得 r = 6 43 则含有x的项是第7施CioX = 21法3,系数为 210o （X2-丄）9 练：求2x展开式中x的系数? 2曲严(2心严(-” 严；令I 一，则 解： 题型三：利用通项公式求常数项； *+J_)1 例：求二项式2y/ 的展开式中的常数项? 解: r210 r1 r Tr“ClO(x)X)=C1O(2)X r1 r

7、5 20 r 20 -5r =0 冷 2 得8；所以 练：求二项式的展开式中的常数项? Trc6(2x)6t1)rG* 解： 1 r 6_2r ；6_2r = 0 :得 r=3 所 33 以 T4=(-1) Ce- -20 21、n 练：X，X的二项展开式屮第5项为常数项；则二 4 2n-4 (442n2 解：T5 *)弋)“x 令 2127 得 n = 6 题枫通项公式；再讨论而确定有理数项；例：求 二项式2 一 ： x) 9展开式中的有理项？ 1 127 _ 解：1 二C； (X2)9J m = (-1)rc； XT 27 令I 所以当r=3时; 当r=9时；6 27 -r 6=4-T4=

8、(-1)3C； x4 -84 x4 . 27； 3 二一X 题型五：奇数项的二项式系数和 二偶数项的二项式系数和; h/X5=)、 例：八虫展开式中偶数项系数和为-256 ；求n . 你_冷 5 设叹2展开式中各项系数依次设为 解： 令X 则有a。. a1令灼则有 a0 - ai a2 一 a3 将得：2(a,a3a )= -2： 已知(2沏 例：；若展开式中第 5项；第6项与第7项的二项式系数成等差数列；求展 开式中二项式系数最大项的系数是多少? 解.* cncn- 2Cnn-21n98 = 0,解出 n = 7 或 n=14；当 n = 7 时；展开式屮二 项式系数最大的项是T4和T5-的

9、系数乂净八35 T5的系数 乂；(丄)324 =70, 2当n =14时；展开式中二项式系数最大的项是 T8的系数二齢山勺7 =3432 2 练:在ab) ”的展开式屮；二项式系数最大的项是多少？ 也就是 解：二项式的幕指数是偶数2n ；则屮间一项的二项式系数最大；即 练：在2的展开式中；只有第5项的二项式最大；则展开式屮的常数项是多少？ -1=5 解：只有第5项的二项式最大；则即n=8,所以展开式中常数项为第七项等于 例：写出在(a-小了的展开式屮；系数最大的项？系数最小的项？ 解：因为二项式的幕指数7是奇数；所以中间两项(第役5项)的二项式系数相等；且同时取得最大 值；从而有二-的系数最小

10、；严系数最大。 例：若展开式前三项的二项式系数和等于79 ；求9 2X，的展开式中系数最大的项？ 1 12 1 12 12 解：=79,解出 n=12,假设项最大；，(-2x)12 = (?)12(1 4x)12 A i_A_C； 24r_G4 一 r rr :1 r H1 A 1 A? Ci2* - C121；化简得到 9.4_r_10.4 :又：0_r_12 ； tT 片严 Ci12410 x-16896x10 r-10 :展开式中系数最大的项为丁门,有2 练:在(12x) 1C1的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设T项最大；二C； 0 2xr 人人二 C： o2lco： 2：解得 2

11、(1-) _ r A t-A 2C； o2rr 1_2 (10-r):化简得到 6.3乞乞7.3 ；又;0乞心；展开式中系数最大的项为 T8aC7o27x7 -1536Ox7. 题型七：含有三项变两项； 2 5 例：求当(X3x2的展开式中X的一次项的系数？ 解法 : (X2 3X2)A(X2 2) 3X5 ； Tn - c； (x2 2)5J (3x)r ；当且仅当 Ai 124 时；E的展开式中才有X的一次项；此时TrT2C5(X2)3X .所以X c c 得一次项为243X： 它的系数为C5C423=24Oo 解法: (X23X 2)5 =(X 1 )5(X 2)5 NCfx5 C； X

12、4C/)(c5 X5 - C； x42 C： 25) 45544 故展开式屮含X的项为C5XC52 C5X2 = 240X ;故展丿|式小 X的系数为240. (x“ 练：求式子的常数项？ (X + 占_2)，ATi)6 117內；设第r+1项为常数项；则 解： rr 6 .q6_2r Tr=Ce(-1) k 一 幕、亠 X 1X1得 6 -2r =0, r =3, n-1)3C；=-20. 题型八：两个二项式相乘； 例:求(1 2X)3(1 -X)4展开式中X?的系数. 解：(1 2X)3的展开式的通项是Cm (2X)ACm 2m Xm, (1-x)4 的展开式的通项是 C4(-x) n=C

13、4-1nxn,M中 m =0,123, n =0,123,4, 令 m n =2,则 m = 0 且 n = 2,m =1 且门=1 ,A=2 且 n = 0,因此(12X)3(1-X)4 的展开式中 X?的系数等于 cO 2c2b(-i)2+c3-21 c4 ? (3.5 j)2 5的展开式中的有理项是展开式的第项. 10/12 4、(2x-1)s展开式屮各项系数绝对值之和是 4、 (2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为 (2x+1)s展开式系数之和；故令x=1;PliJ所求和为35* 16 /12 5、 5、 21039 (1+X+X )(1 一X)=(1 x)(1X),要得到含

14、 冷的项；必须第一个因式中的1与(1 44 x)9展开式屮的项 c9 (_x)作积；第一个因式中的 积;故X4的系数是C/9J35” X3与(1X)9展开式屮的项 1 C9 (-X)作 6、求(1+x)+(1+x) 2+(1+x)展开式中刘的系数+ (1 x)(1 x)2 (忱10异护x)10 (x fx 1-(1 X) 原式中X， 实为这分子中的対；则所求系数为011 7、若 f (X) =(1 X)m 2 时；X的系数最小？ (1 - x)n(m n N)展开式中; x的系数为21 : n为何值 2222 7、由条件得m+n=21;冷的项为cx cnx ；则 Cm -C2 弋一 尸 399 - 4 故IZ| n=10或11时上式有最小值；也就是m=11和小. 自然数n为偶数时；求证： n=1O；或 m=1O 和 n=11 时；x n N; 原式=(c CC一 Cn_Cn)(C TC3 V - CniA2n nJ n J 2 =3.2 、 99、 UU 19 8 1- 1 C uCn81-1 = 81k_1(k Z) 求(1+x+x 0(1-x) “展开式中*的系数+ 11 ./k 乙9k-1 Z;. 81被9除余含乂的项为5 = 25=32 ;含乂的项为 C： 24X =80 x 展开式