数列求和专题(裂项相消)

1、精选文本 数列求和专题复习 一，求 x X2 log2 3 例1 ：已知log 3 x 一、公式法 1等差数列求和公式： Sn n(a1 i 2 an) n n(n 1)d 2 na (q 1) 2.等比数列求和公式： Sn a1(1 q ) a1 anq / (q 1) 1 q 1 q 3常见数列求和公式： cn1 n 2 1 n 31 Snk n(n 1)； Sn k n(n 1)(2 n 1) ；Sn k丁(n1) k 12 k 1 6 k 12 3 X xn 的前n项和. 例 2 :设 Sn 1 2 3 n，n N，求f(n)S可的最大值. 、倒序相加法 似于等差数列的前n项和的公式的

2、推导方法。 如果一个数列 an ,与首末两项等距的两项之和等于首 末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称 为倒序相加法. 例 3:求 sin21 sin22 sin23 sin2 88sin289 的值 例4 :求 12 12 102 22 2292 32 32 82 III 102 102 12 的和. 2x 变式1:已知函数f x -= 2x、2 (1)证明：f x f 1 X 1 ; (2)求 f 1 2 f III 8 f f的值 10 10 10 10 三、裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 .裂项法的实质是将数

3、列中的每项（通项）分解，然后 重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 .通项分解 （裂项）如: (1) an f(n 1) f(n) (2) sin 1 cos n cos(n 1) tan(n 1) tan n (3) an 1 n(n 1) an (2n)2 (2n 1)(2 n 1) 的） (5) an n(n 1)(n 2)2 n(n 1) (n 黑 an n 2 n(n 1) 2(n1) n n(n 1)2 例5:求数列 In 1 n 1n 2 (n 1)2 的前n项和. 例6:在数列an中，an n 1，又 bn ，则 Sn1 (n 1 n 1)2 ，求数列 bn的前n项的

4、和. 精选文本 1 3. 变式1求证: 1 cosO cosl 1 cosl cos2 1cosl 2 cos88 cos89sin 1 四、q倍错位相减法 若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项 类似于等比数列的前 n项和的公式的推导方法 相乘得到，即数列是一个“差比”数列，则采用错位相减法 右an bn Cn，其中 bn是等差数列, Cn是公比为q等比数列，令 Sn 卅 bn 1Cn 1bnCn 则qSn b|C2 bnCn 1 两式相减并整理即得 例7:求和：Sn 1 3x 5x2 7x3 (2n1)xn 1 例 (2)令 bn 1 (n 2)，bi 1，求数列bn的前n项和Sn. 9an lan3 16.已知数列an的前n项和为sn，且Sn 2an 1 ；数列bn满足bn 1 g bnbn i(n 2,n N ) , d 1. (1)求数列 an , bn的通项公式; (2)求数列 an bn 的前n项和Tn. 17.在等比数列an中，a10， n N ，且a3a28，又a1，a5的等比中项为16. (1 )求数列an的通项公式； 1111 (2)设d log 4 an，数列bn的前n项和为Sn，是否存在正整数k