数值分析复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序

1、数值分析第五次程序作业 PB09001057 孙琪 【问题】 分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序: 用如上程序计算积分：1(f) = J； sin(x) dx 取节点肓，i = 0,.,N,N为2k,k= 0,1,，并分析误差： 简单分析你得到的数据。 【复化Simpson积分公式】 Simpson 法则: ”f(x)dx 吐f(a) + 4f a6 + ) 使用偶数个子区间上的复合Simpson法则: 设 n 是偶数，Xj = a + ih , h =, (0 i n) 则有 n bfX2fX451 f X2i f(x)dx = I f(x)dx+ I

2、f(x)dx + f(x)dx =I f(x)dx a人。Jx2台i 人2i_2 将Simpson法则应用丁每一个区间，得到复合Simpson法则: nn b h 2 2 i=2 i=l f(x)dx 兀-f(x0) + 2f(x2i_2) + 4f(X2i_J + f(xn) 公式的误差项为: 1 而(b-Mf (6) 其中 Se (a,b) 【复化梯形积分公式】 梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则： fbb a f(x)dxf(a) + f(b) 如果划分区间a, b为： a = x0 Xx v Xn = b 那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯

3、形法则: bn xn / f(x)dx =J f(x)dx 血扌(论 一 Xi_i)f(Xi_J + f(xj ai=l丿论-丄i=l 对等间距h二(b-a)/n及节点论=a + ih,复合梯形法则具有形式： b.n1 f f(x)dx f(a) + 2 V f(a + ih) + f(b) 山2台 误差项为:-(b-a)h2r(6) 【算法分析】 复合Simpson法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。 【实验】 通过Mathematica编写程序得到如下结果: 1.利用复化Simpson积分公式得: 标准解的14位数值解为：1.6536436208636 N =1复

4、合Simpson法则计募得：-1 0090699937439 N =2复合Simpson法则计算得：1 92025814132S9 N =4复合 Simpso n 法则计算得：1.6640521099382 N =8复合 Simpso n 法则计算得：1.6542353517616 N =16复合Sliupnon；去贝U计算得:1 65367S7760021 N =32复合Simpson法则计算得：1.6536458679402 N =64复合Simpson法则计算得：1.6536437611C99 N =128复合Simpson；去贝U计畀M : 1 653643629G259 N =256

5、复合Simpson法则计算得：1.6536436214112 误差为:-2.6627136146075 谋差 ):0.2666145204663 误差为:0.0104084890746 误差为:0.0005917308979 误差为；0.0000361551385 误差为:2.2470766xl06 误差为:1.402463xl07 误差为:8.7623 X109 误差为:5.476xlO10 误差为：3.42 X W11 N =1024 复合Simpson法则计算得:1.65364362C8 65E 误差为:2.1X1O12 N =512复合Simpson法则计算得：1.6536436208

6、978 误差为：！ x 1013 误差为:0. X1014 N =2048复合Simpson法则计畀得：1 G53G43G2C8637 N =4096复合Simpson法则计算得:1 65364362C8636 可以看出，当节点数选取越來越多时，误差项越來越小，这从复合的Simpson公式 很好看出來，因为在每一段小区间内，都是用Simpson法则去逼近，而每一段的误 差都是由函数在该区间内4阶导数值和区间长度的4次方乘积决定的，当每一段小 区间越來越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越來越好，从而整体的逼近效 果就会越來越好。 2.利用复化梯形积分公式得: 标准解的14位数值解为：1.65

7、36436208636 N =1 复合梯舵法则计算得:-1.5136049906159 误差为:-3.1672486114795 N =2 复合梯形法则计算得：1.061792 3583434 误差为：-0 5918512625202 N =4 复合梯形法则计算得：1.5134871720395 误差为:-0.1401564488241 N =8 复合梯龙法则计算得:1.6190483068310 误差为:-0.0345953140326 N =16 复合梯形法则计算得;1.6450219087093 误差为:-0.0086217121543 N =32 复合梯形法则计算得:1.6514898

8、781325 误差为:-0.0021537427311 N =64 复合梯形法则计算得:1.6531052903656 误差为:-0.0005383304980 N = 128 复合梯形法则计算得：1.6535090448109 误差为：-0.0001345760528 N =256 复合梯形法则计算得:1.6536099772611 误差为:-0.0000336436025 N = 512 复合梯形法则计算得:1-6536352099887 误差为：-8 410875 0 x N = 1024 复合梯形法则计算得:1.6536415181465 误差为:-2.1027171x10 N =20

9、48 复合梯形法则计葬得：1.653 6430951844 误差为:-5.256732xl0-7 N = 4096 复合梯形法则计算得：1.653 643489443 8 误差为:-1.314198 x IO-7 可以看出，当节点数选取越來越多时，误差项越來越小，这从复合的梯形公式很好 看出來，因为在每一段小区间内，都是用梯形法则去逼近，而每一段的误差都是由 函数在该区间内2阶导数值和区间长度的2次方乘积决定的，当每一段小区间越來 越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越來越好，从而整体的逼近效果就会越 來越好。 【分析】 通过对上述两种法则的效果來看，复合Simpson法则的误差要比复合梯形

10、法则收敛到0 更快，说明复合Simpson法则逼近到原來的解更快，这主要是因为在每一段小区间内, 复合Simpson法则利用得是Simpson法则，复合梯形法则利用得是梯形法则，前者的 课差项要比后者的误差项小很多，因此造成了逼近速度的不一样。 【程序】 Mathematica 程序为: 复合Simpson法则： Clear f, kt, s, h; f x. : = Sin-x; s = N Integ-rate Sin x , x, 0 , 4 z 14; For k = 0z k 12, k+r h = 4 / (2 Ak); t = N (h/ 3) * (f 0 + 2 * Sum

11、Sin (2 i - 2) *h x i, 2, 2 A (k - 1) , 1 + 4SumSin(2x-l) * h z (xz lz 2 A (k - 1) z 1 +f4)z 14; ak = t f Print -标准解的14位数值解为s; For k = 0, k = 12, k + x Print HN = n , 2 Ak, n H z 11 复合Simpson法则计算得：“，a k z J” 误差为:, ak - s 复合梯形法则： Clear f, k, t, s , h; f -x_:二 Sinx; s = N Integrate Sin x , x, 0 , 4 z 14; For k = 0, k 12, k+, h = 4 / (2 Ak); t = N (h/2) * (f 0