数列求前N项和方法总结(方法大全,强烈推荐)(可编辑修改word版)

1、求数列仙的前n项和的方法 (1)倒序相加法 (2)公式法 此种方法主要针对类似等差数列中 an + al = anl + a2=，具有这样特点的 数列. 此种方法是针对于有公式可套的数列，如 等差、等比数列，关键是观察数列的特点，找 出对应的公式. 例：等差数列求和 5=绚+他+色 = + ( + d) + - + + (n -)d 把项的次序反过来，贝IJ： S= a+ (an-d) + -+an-(n-)d +得： n个 2Sn =(G1 + 如)+ ( 1 + 如)+ + + (In) = n(a + an) S =/7(仕+ 他) ”一 2 公式： 等差数列： s呦+) ” 2 1 2

2、 咻一1) =叫一7“ = Sm+Sn +mnd S,= S,n Sn(n 2m, m, n e TV*) -H- H2w 等比数列： ,(1 -q1) a - a q s =八 7 = Y4(gi) nl_q1 一 g S,/S”+S 7?(n+l) 1+2+3+n=: ? l2 + 22 + 32+-+/r =n(n +1)(2 +1) l3+23 + 33 + -+/? =(1+2 + 3 +n)2 = Ln2 (n+1)2 4 （3）错位相减法 （4）分组化归法 此种方法主要用于数列勺乞的求和， 此方法主要用于无法整体求和的数列，可 将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分 其中为等差

3、数列,饥是公比为q的 别进行求和，再综合求出所有项的和. 等比数列，只需用-qS便可转化为等比 数列的求和，但要注意讨论q=l和qHl两 种情况. 例：试化简下列和式： 例：求数列h 1+1, 1+1 +1.， S = 1 + 2x + 3工 + +H 0) n 22 4 ,111心心 1+ +的和. 解： 若 x=l,贝|J Sn=l+2+3+- +n = 2 4严 72(77+1) 2 解:T =1+丄+丄+丄 ”2 42“ 若xHl,则S= 1+2丫 + 3疋+,卍- 1-(丄)1 n =2=2-丄 xS = x + 2jt + 3x3 + + nx91 n 1 1 2-1 两式相减得：

4、 ：.S= 1+ (1+ 1 ) + (1+ 1 + 1)+ 2 2 (l-x)S= +x + x2 +厂 一“0 n 1 0 n =-nx +(1+ 1 + 1 + + 1 ) *2 4严 1一0卅 s = =(2-1) + (2 - )+ (2 - ) ”(【7)2 +(2 一一) 2一1 =2 - (1+ 1 + 1 + 1 ) 2 4岀 =2/2 2 + 2“】 （5）奇偶求和法 （6）裂项相消法 此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑 符号的数列，要求0就必须分奇偶来讨论， 最后进行综合. 此方法主要针对 1 + 1 +1这样的求和，其中 冷3也 an是等差数列. 例：求和 n-1 Sn

5、 =1 3 + 5 + 7 + (1) (2 1) 解：当 n 二 2k (keN-w. S,i=(l-3) + (5-7) + +(4R - 3)-(4比一1) =一 2k = 一口 当 =21伙屮)时， S” = $21 = S2k- a= -2k -(4k -1) = 2k- =n 综合得：S=(-l)n+,n n 例：缶为首项为ai,公差为d的等差数列，求 C1111 叩2件3 丫 4出 解： 7 1 =1=10-5 俶+i 业( + d ) d ak (ak + d ) 11 1.11 1 =(_ )=(-) d 5 5 %】 1 1 1 1 1 1 :_T+ ； 4- a a aa a a 3 丄宀丄) dan = 1(1-1) + (1-1)+ a巧吨右丐咔咗 = 1(1-1) 廿w qr _n _ 1 “1 (7)分类讨论 0 法) 证明：(1)当”=1 时.r?7(4/72 -1)=1=5 31 n =1时成立. (2)当n 7时，乞0 (2)假设当 =k时.k(4k 2 k 3 8) 此时， S = 722 - “ 2 13 -n +42 ( n 2 T S =S + (2k+l)2 kk 1 . 2 =R(4 斤一 1)+(2R+1) 3 k+1 1 7 13 =(2k + 3)(2k+l) n + n (n W7) 3 2 2 k+1 =_2 伙+