椭圆专题复习

1、椭圆专题复习一、椭圆的定义：.这两定点叫做椭圆的平面内到两个定点 Fi、F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做 ，两焦点间的距离叫.集合 p=M|MFi+ MF 2= 2 a , FiF2= 2c,其中 a0, c0，且 a, c 为常数:(1)若，则集合P为椭圆；若，则集合P为线段；(3)若，则集合P为空集.、椭圆的标准方程、参数方程和一般方程:x1焦点在X轴:2、焦点在y轴:2x2a2ya般方程可设为:2mx22詁 1(a b0)2x2 1(a b 0)ny2a cos(参数方程，其中bsi nbcos(参数方程，其中asi n为参数)为参数)、椭圆的几何性质(以1、范围：

2、a x a,2、对称性：两条对称轴3、顶点及焦点坐标：两个焦点 Fd c,0) , F2(c,0)4、长短轴及焦距：长轴长为1(n, m 0)2xayy(通常已知椭圆过两点时求椭圆方程,2爲1(ab0)为例) bb可设为一般方程)0 , y 0 ； 一个对称中心(0,0)椭圆与坐标轴的交点叫做双曲线的顶点，即四个顶点(a,0) , (a,0) , (0, b) , (0,b)；2a，短轴长为2b，焦距5、a,b, c的关系及离心率:c2 a2 b2；离心率eFj F2 2cc(0v ev1), e越小椭圆越圆，e越大椭圆越扁a6、通径：过焦点并垂直于长轴的弦，弦长为2b2例：1、分别求满足下列

3、条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的3倍，经过A(3,0)(2)椭圆经过两点 Pi(.6, 1)，P2( .3, . 2)2、求出椭圆的离心率 x2 v2if1若P是以F1、F2为焦点的椭圆 1+ 2= 1(ab0)上的一点，且PF1 PF2= 0, tan / PF1F2=r则此椭圆的离a b2心率为设以F1、F2为焦点的椭圆=1(ab0)上存在一点P,使 | PF1 |2|PF2 |,求离心率的范围3、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1 )椭圆上点P到两个焦点的距离分别为 5、3,过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点;四、共焦点椭圆系方程2 2 21（a b0），再代点求参数x

4、vx与r 2 1（a b0）共焦点的椭圆方程可设为一a ba例题：求经过点（2, 1），且与椭圆12x2 + 3y2= 36有共同焦点的椭圆方程五、点与椭圆的位置关系2X 例题：已知直线l : v 2x m，椭圆C : 一421,试问当m取何值时，直线I与椭圆C22 2(1)占八、P（Xo, Vo）在椭圆内Xo 2Vo.21六、直线与椭圆的位置关系(1)/亠护方 位置大糸:相交相切相离(2)判断方法:联立直线与椭圆方程，通过判别式判断若o直线与椭圆有两个交点相交相交相切相离七、中点弦问题：与圆锥曲线的弦的中点有关的问题处理椭圆中的中点弦问题主要有三个途径：1、 方程组法：联立直线与椭圆方程，通

5、过韦达定理写出中点坐标进行求解（注意判别式要大于0）2、点差法：对直线与椭圆的两焦点设而不求，分另M弋入椭圆方程，两式相减既得弦的中点坐标和斜 率的关系2 2例：1、已知直线I与椭圆- V 1交于A、B两点，A、B中点坐标为2,1 ,求直线I的方程16 1222、已知椭圆 y21 (1)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程(2)过点2,1的直线I与椭圆相交，求2被I截得的弦中点的轨迹方程八、焦点三角形：(椭圆上的一点与两焦点构成的三角形)(1)焦点三角形的面积：PFi F2中结合定义 PF1 PF22a与余弦定理cosF1PF2，将有关线段PF1PF2、 F1F2 和角结合起来，设F1PF2，则

6、S pf1f22例：1、已知F1 ,F2是椭圆C： Xy ，a积是16,则b b21 (ab0)的两个焦点,P是椭圆上一点，且PF1PF2，若 PF1F2 的面2 - .2、已知点P是椭圆 手 y2 1上的一点，F2为焦点，PF ?PE0，求点P到x轴的距离(2)焦点三角形的周长：利用椭圆的定义MF1 MF2 2a ( M为椭圆上的一点)2 2B两点若F2A F2B 12，则例：已知F1、F2为椭圆 I 1的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A259AB (3)有关PF1 PF2的问题2 2例题：设椭圆h 1的两焦点分别为F1和F2，p为椭圆上一点，求PF1 ? PF2的最大值，并求此时P点9

7、4的坐标九、弦长冋题（1）若直线y kx m与椭圆相交于两点 A（Xi,yJ、B（X2, y?） , AB.1 k2 x1 x21 k2yiy2推广：AB1k2 x-!x2求解，最后可得ABJ1 k2av1k2 寸（为x?）24%X2，再联立直线与椭圆方程，通过韦达定理进行（a为联立所得的一元二次方程的二次项系数,为判别式）例题：已知斜率为2的直线经过椭圆2L 1的右焦点F ,与椭圆交于A、4B两点，求AB长十、三角形面积问题若直线y kx m与椭圆相交于两点A%, %）、B（X2, y2），直线外有一点P（x。, yo），连接 PA,PB，则X22例题：已知直线y 2x 1与椭圆4S F2AB例题:卜一、椭圆的最值问题1、设F1, F2分别是椭圆=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6,4），贝U PM +S PAB的求解方法是求出弦长 AB b0)的离心率e=，直线I被圆0截得的弦长与椭圆的短轴长相等(1) 求椭圆E的方程46S OEG S OFG2(2) 在椭圆E上是否存在三个点E、F、G使得S oef5、已知椭圆E：2b2