概率论和数理统计复旦大学课后题答案7

1、7习题七X的样本，求参数 p1设总体X服从二项分布b (n, p), n已知，Xi, X2,，Xn为来自 的矩法估计【解】E(X)二 np,E(X)二 A 二X，因此 np= X所以p的矩估计量2设总体X的密度函数2f (x,0)=尸 Qx)，0沐“,【0，Xi,X2,，Xn为其样本，试求参数 0的矩法估计【解】E(X)2 二 220x(x)dx 2令E(X)=Ai= X ,因此三=X3所以0的矩估计量为3设总体X的密度函数为f ( x, 0 ), X1, X2,，Xn为其样本，求0 (1) f(x, 0)严的极大似然估计0,x 一0,x 0.(2) f(x, 0)严0,0 ： ： x ：1,

2、其他.nn a口 绻xif (Xjj) 7n【- Je=e ii =1n【解】(1)似然函数L = |丨i A由dgdln Ln Xii =1所以0的极大似然估计量为 =Xn 似然函数 L - y x严,0 :：: xi =：1,i=1,2,n.i 4nIn L 二 n In v ( v -1)1 n | xii由如J inn xid-i4=0知处一nn In | Xii 4nnzIn x仃L【、丨nr . /rvf 幻4 Z-U、. 曰.n所以0的极大似然估计量为nzIn xii A4从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下:序号12345678910收益率0

3、.01-0.11-0.12-0.09-0.13-0.30.1-0.09-0.1-0.11求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值【解】X - -0. 0 94 s=0. 1 0 1 89 3n =9EX = -0.094.n 2由 E(X2) =D(X) E(X)2,E(X2) = A?八 生知:?2 E()?)2 二 A 即有im n；?=,A-E()?)210：X-10(X)20.9 0.10189=0.0966于是-0.94 和 0.966.所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为5随机变量X服从0上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8

4、,0.4,0.4,0.7,0.6 ,求0的矩法估计和极大似然估计，它们是否为0的无偏估计.6 【解】(1) E(X)=,令 E(X) = X，则22X 且 E( =2E(X) =2E(X) _ v ,所以0的矩估计值为 -2x -2 0.6=1.2且-2X是一个无偏估计8似然函数L = |i -4f(XiC)显然 L=L( 9) J (9 0)，那么 v - max时，L=L( 9 )最大,1空8所以9的极大似然估计值 ？=0.9.因为E( f?)=E(max x)工9 ,所以t?=maxx不是9的无偏计.1空8怛虫n_l6.设 Xi,X2，Xn 是取自总体 X 的样本，E (X )=u,D(

5、 X )=6 2, ；:?2 =Q (Xi.i-Xi)2,i 4问k为何值时:？2为6 2的无偏估计.【解】令丫 =X Xi,i=1,2,n-1,则E(Y) =E(X“)E(XJ=卩=0,D(Y)=2b2,n A.于是E；：?2=Ek( Y2)=k(n-1)EY.2 =2；2(n- 1)k,那么当 E(；?2) “J2,即卩 2；2(n _i)k =；丁2时,有25-1).7.设X1, X2是从正态总体N ( ,6 2)中抽取的样本2?2X11X2；13?2 =2X1-X2；1 1?3X1X233442 2试证？，？2,尽都是卩的无偏估计量，并求出每一估计量的方差i212121【证明】(1)

6、E(?J =E -X1 -X-E(X1) -E(X2H - -133丿 33331 3E(?2)E(XJ：e(X2)=0.95的置信区间为x_u-(14.95一 0.1 1.96) = (14.754,15.146)./2 n9.总体XN（卩,b2）, b 2已知，问需抽取容量 n多大的样本，才能使 的置信概率为1-a , 且置信区间的长度不大于L ?【解】由b2已知可知卩的置信度为1- a的置信区间为(_CT )于是置信区间长度为2二Lu./2, n2三10.设某种砖头的抗压强度XN（卩，b 2）,今随机抽取20块砖头,646949925597418488998466100987274878

7、44881(1)求卩的置信概率为0.95的置信区间.(2)求b2的置信概率为0.95的置信区间.那么由测得数据如下（kg -cm-2）:L22 2 L,得n 竺：/-【解】x =76.6, s = 18.14,匚-10.95 = 0.05, n = 20,t； / 2( n- 1) = t. 0 2(51 9)2. 0 9 3,:/ 2(n - 1益.02(51 另 3 2. 852。,.9 75=(1 9)8. 907（1）卩的置信度为X Sn0.95的置信区间ta/2(n -1)18 14= l76.6x 2.093 =(68.11,85.089)IJ20丿2二的置信度为0.95的置信区间

8、(n 1)s2(n 1)s2rJ2 (n -1)工 1叙2( n -1)/口旦灯8.142，丝“8.14232.8528.907=(190.33,702.01)11.设总体Xf(x0，曲0其他1；其中-1Xl,X2，,Xn是X的一个样本，求0的矩估计量及极大似然估计量【解】(1)1 二 1E(X)二 _xf (x)dx = j (二 1)x： dX=e(x) X日+2J 士1 -X所以B的矩估计量1 -X(2)似然函数取对数f(x)=9 1九站 0*1(心12川n)其他nIn L = nln(日 +1) +&送 ln xi(0 c* 成1；1 兰 i 兰 n),dln Ln JIn x =0,

9、d1 i d所以0的极大似然估计量为 =-1nnv In Xii W6x(日x)12.设总体 Xf(x)=【0,0 ： x ： J;其他.Xl,X2,Xn为总体X的一个样本(1)求B的矩估计量；(2)求 D().12 .【解】(1) E(X)二 j竺xf(x)dx。二姿匕 _x)dx 二?,EX =X J2所以B的矩估计量? = 2X.(2) D(另二D(2X)= 4D(X) =4 DX , n10D(X) =E(X2) -(EX)2104J20,，所以D&)=55n13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为2(x_DX V；X .2ef(x, 9=10，其中9 90)为未知参数，又设

10、X1,X2,n是总体X的一组样本观察值，求9的极大似然估计值.【解】似然函数L = L() = 2 en八(x T)iXi 0;i =1,2,|H, n;其他.nIn L = nIn2-2i =1以-巧必_可i =1,2,川,n,由 d|nL =2n 0知 In L(r), d -那么当 = min xi时In L(诃=m.ax ln L所以9的极大似然估计量 min xi14.设总体X的概率分布为2 9(1- B)2921-2 9其中 如1, 00，设X1,X2,Xn为来自总体X的样本(1 )当0=1时，求(2) 当=1时，求(3) 当3=2时，求3的矩估计量；3的极大似然估计量; o的极大

11、似然估计量【解】当 =1时,f(x, Fx1(x,1, )= x1, x1；0,xv1.I2：2 当B =2 时，f(x,：)二 (x,： ,2)=I 0,x心;X 篇.：-l：,I-1 ：-be1令E(X)二X ,于是?亠X -1所以-的矩估计量2丄X -1 E(X)1 -d x1-(2)似然函数nL = L( ：) ： | f (Xi,:)i i【Xi0,Xi1,(i =1,2,11 n);In Xi,dln L n / _门匚ln XT所以1的极大似然估计量?_ nn In xii A(3)似然函数2na2n、3 -f(x,G)= pn xlim 丿l 0,Xi-：,(i =1211(,

12、 n);显然L二LC),那么当2 = min xi时,L=L(：?) = max L( = ),a %所以二的极大似然估计量-2 = min xi.(1.4, 5.4)16. 从正态总体XN(3.4, 62)中抽取容量为n的样本，如果其样本均值位于区间 内的概率不小于 0.95,问n至少应取多大？42/2dtz1.281.6451.962.330.90.950.9750.99_(62X34【解】X N 3.4 I,则 Z =N(0,1),I nJ 6/亦P1.4 ： X : 5.4 =P1.4 -3.46/n:Z :5.4 一 3.46/、n于是 G 山 _ 0.975则_1.96,13丿3n 35.17. 设总体X的概率密度为|0 . x ： 1,f(x,0 )= 1 - H 1 _x ： 2,0其他.其中0是未知参数(0 0 1) ,X1,X2，,Xn为来自总体 X的简单随机样本，记N为样本值X1,X2,Xn中小于1的个数求：(1 )0的矩估计；(2 )0的最大似然估计解(1 )由于: