各高校量子力学考研试题汇总要点

1、习题1 一、 填空题1 .玻尔的量子化条件为 。2 . 德布罗意关系为 3 .用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 4 .波函数的统计解释：5 ,为归一化波函数，粒子在 （另0）方向、立体角 口内出现的几率 为,在半径为r,厚度为 办 的球壳内粒子出现的几率为。6 .波函数的标准条件为 。7 .=/ , /为单位矩阵，则算符 a的本征值为 o8 .自由粒子体系， 守恒；中心力场中运动的粒子守恒。9 .力学量算符应满足的两个性质10 .厄密算符的本征函数具有 o11 .设为归一化的动量表象下的波函数，则 i c3） f dp 的物理意义为12 .次落卜；&，/=;上切=。a a_ a a28.如两力

2、学量算符 as有共同本征函数完全系，则 乂田=13 .坐标和动量的测不准关系是 。14 .在定态条件下，守恒的力学量是 o15 .隧道效应是指16 .量子力学中，原子的轨道半径实际是指 17 . %鲍 - 与 卜）。（h w 为氢原子的波函数， 注11m的取值范围分别为18 .对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 ,考虑自旋但不考虑自 旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 ,如再考虑自旋与轨道角动量的 耦合，能级的简并度为 。19 .设体系的状态波函数为i乎，如在该状态下测量力学量f有确定的值2，则力学量算符f与态矢量i田 的关系为 o20 .力学量算符如f病）在态平。）下的平均值可写

3、为 心（门辞（尸岫取击的条件为21 .量子力学中的态是希尔伯特空间的 ;算符是希尔伯特空间的 22 .设粒子处于态* 一g乳+a。，任为归一化波函数，y输为球谐函数，则系a数c的取值为，4的可能值为,且本征值为 劭口出现的几率为 23 .原子跃迁的选择定则为24 .自旋角动量与自旋磁矩的关系为25 . ct为泡利算符，则 万二氏讣a /oa26 . s为自旋算符，则 二氏号二。27 .乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是28 .轨道磁矩与轨道角动量的关系是 ；自旋磁矩与自旋角动量的关系是29 .费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有 ,玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有 o30 .

4、考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为i平式h（已归一化），则在态 中g下，自旋算符 求平均的结果可表示为01 %、gi 4）对自旋的平均可表示为;对坐标和自旋同时27.考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为口的意义为4g计算题当（工里式茶乂即（已归一化），则i.在 m和的共同表象中，算符 4和了的矩阵分别为1 0) /o -i 01? a v2： s v2 .lv 10 1 lv = z 0 -j2/2求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵a1和/对角化2 . 一维运动粒子的状态是一10w）=.o 工0其中0,求（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。9 n ax i 5！ 工序成二一

5、r（利用公式更色 ）3 .设在 8表象中， h的矩阵表示为司o qh= 0 e blyj其中e；就 送,试用微扰论求能级二级修正。（ io分）4 .在自旋态21）中，求凡）回）。（10分）5 . a和以各是厄密算符。试证明，ab也是厄密算符的条件是a和以对易。6 .在动量表象中角动量 ac的矩阵元和 lr的矩阵元。7 .求自旋角动量在（cosa,cos/, cosy）方向的投影a扁am = e + co + s* cosy的本征值和所属的本征函数8 .转动惯量为/ ,电偶极矩为 d的空间转子处在均匀电场 中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。（ io分）（基态波函数杷跖,利用公式

6、(/ +1)3+/y(2/+ 1)(2/ +3) 5 *2 1)(2 1)9 .证明下列关系式:i.山角二。,2. d加二7，3.| ,4.产 h.：、，；a色色 .，色八h（其中为角动量算符， =乙土*事，亍为泡利算符，/为动量算符）io.设t = i时，粒子的状态为,2 1材=山 sin br+-costr2求此时粒子的平均动量和平均动能。11. %,为厄密算符，%二二?（，为单位算符），42+船二0。（1）求算符as的本征值；（2）在a表象下求算符的矩阵表示0h= 0 2e 012. 已知体系的哈密顿量 2与,试求出（1）体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。（2）将h对角化，并给出对角

7、化的么正变换矩阵。13. 一质量为 m的粒子在一维无限深势阱中运动，x /80x-27（x） = 0/j - m x /一打 2, b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。14.证明下列算符的对易关系。1 .伉升倦）=2肪内 d甚a l2 k1二，工（f 二）a aa aa a aa a a3 . 设算符4与它们的对易式 a.b对易,即： au刈=0,刈=。,a aa i a a证明：幺0二田身15 .设有两个电子，自旋态分别证明两个电子处于自旋单态（唯（1-cos呜凤（1 +侬玛（*） = 1）的几率分别为：2222 （2。分）16 .求自旋角动量在（co犯coscos力方向的投影m

8、=当8，&+跖侬/? + 34。沙 的本征值和所属的本征函数（20分）。17 .由任意一对已归一化的共知右矢和左矢构成的投影算符中。试证明（1） p是厄密算符；（2）有力=/ ; （3） /的本征值为0和1 （20分）。0 g0成b18 .设在 声表象中，行的矩阵表示为1口 b 里），其中e： e：,试用微扰论求能级二级修正（14分）。19 .证明下列算符的对易关系（24分）：1 / j（物，口蜥 j6）+/（2）2.一1（1*）a aa aa a aaaa3.设算符力与它们的对易式4用对易，即:2（引=0,&幺,即=0,证明：ab = nafarb20 . 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色

9、子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？21 .求证在 上 l 的共同本征态下，角动量沿与z轴成g角的方向n的分量4二疝上的平均值为般co0a a4 h22 .证明如算符 乂,3有共同的本征函数完备集，则 乂,3对易。及“21t0 ）的本征值和所属的本征函数。三 问答题1且 p 八a a a1 . 电子在均匀电场中运动，哈密顿量为2m ,试判断pap/品各量中哪些是守恒量，为什么？2 . 经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？3 . 量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？4 .

10、 什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系？5 . 表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？6 . 乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？7 . 什么是塞曼效应，对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？8 . 什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？9 . 什么是斯塔克效应？10 .不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？11 .量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同？12 .什么是定态？定态有什么性质？13 .量子力学中的守恒量是如何定义的？

11、守恒量有什么性质？14 .简述力学量与力学量算符的关系？15 .轨道角动量和自旋角动量有什么区别和联系？16 .简述量子力学的五个基本假设。17 .简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？18 .什么是光电效应？光电效应有什么规律？19 .什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的。20 .简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的。21 .简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。22 .能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么？23 .原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的？习题21.1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、

12、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量 p的自由粒子，满足德布洛意关系： 2 .假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：3 .计算1k时，c60团簇(由60个c原子构成的足球状分子)热运动所对应的物质波波长4 .计算对易式?x，f(x)和x, f (?x),其中？x为动量算符的x分量，f(x)为坐标的x函数.5 .如果算符 留 留满足关系式0?-隘=1,求证：?2 _ ?2;？ = 2?？3-？3? = 3?2.dde6 .设波函数中(x) =sinx，求(d x绅x d 2皆=?dxdx7 .求角动量能量算符i? = t左的本证值和本征态 lz8 .试求算符f? = -

13、ieix - 的本征函数 dx9 .证明一维束缚定态方程的能量e是非简并的10.在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称:u (x) =u (x),证明粒子的定态波函数具有确定的宇称11. 一粒子在一维势场f, x 0u(x)=j0, 0 x aj中运动，求粒子的能级和对应的波函数12 .设t=0时，粒子的状态为(x)= asin2 kx ；coskx求此时粒子的动量期望值和动能期望值13 . 一维运动粒子的状态是(x)当x _0当 x ：二 0其中九a0 ,求：(1) 粒子动量的几率分布函数;(2) 粒子的动量期望值。14 .在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a,如果粒子的状态由波函数

14、中(x)=ax(ax)描写，a为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值4二 x2 二x15 .设粒子处于范围在 qa的一维无限深势阱中状态用函数(x) =-sin cos2 ,求a a a粒子能量的可能测量值及相应的几率、一 .11r-16 .设氢原子处在 中(r,e) =-e a的态(a0为第一玻尔轨道半径)，求a；2e r的平均值；势能一 的平均值17 .质量为 m的一个粒子在边长为a的立方盒子中运动，粒子所受势能v(x,y, z)由下式给0,x0,a ;y 0,a ;z 0,a 、十巨山太拈、叩七铲 笠十步出：v(x, y, z) = 4;试与出te态辞tei亏方程，并求系j-, o

15、thers统能量本征值和归一化波函数；12218.氢原子处于态中仁日卅尸二小丫31+二r41y10 二巳1丫1中，问 333(1)中(r,中)是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由；(2)在中(r,3cp )中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少19.20.p的矩阵表示在一维谐振子能量表象中写出坐标x和动量在t=0时，自由粒子波函数为中, 、一x,0 一卜jb 2二 sinbx给出在该态中粒子(吊 b)12(+2i)sin2 二 px2】x2 二 一b台匕 目匕应的几率振幅；求出几率最大的动量值；px = 有b求出发现粒子在方b 一%b+dpx区间中的几率;2(b

16、) dpxqdpx 21.设一体系未受微扰作用时有两个能级:e01及e02,现在受到微扰r?的作用，微扰矩阵元用微扰公式求能量至二级修正值为 h12=h21=a, h11=h22=b; a、b都是实数22 . 一维无限深势阱(0 x 0时处于弱电场数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。25 .质量为m的粒子处于位势v x,y,z0 0 ： x 工 a,0 : y m a和0 : z 工 a其他中。假设它又经受微扰 i? = bxy,试求第一激发态能量的一级修正26 .用试探波函数x /a =eh ,它在h 0表象中的表示为估计一维谐振子基态能量和波函数27 .设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量

17、为（h?）e0ee3eeoj4a.求h的本征值和本征态;1 0十ie2盘”e =e 0- e， u. =ob.若t=0时，粒子处于它在 白0表象中的表示为。试求出t 0 时的粒子波函数;e-ie0t/d coet网 1-isinaet/勺28. 一个电荷为的一维谐振子受到弱电场的作用，利用微扰理论求能量至二级修正值并与其精 确结果比较28.若s是电子的自旋算符，求(1)sxszsxsysx=?1 一，29.二个自旋一的粒子组成的系统由等效哈密顿算符2田=a(s1zs2z)bs1 s2描述，其中s,s2是二个自旋，sz,s2z是他们的分量，a, b为常数，求系统的所有能级30. 一体系由三个全同

18、的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子 态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？31. 一量子体系的哈密顿算符i? = i?0 + i?,在i?0表象中400i?=020201其中常数k 1,0 k 0彳=k 0 0、0 0 0,（1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似；（2）求出体系能量的精确解，并与（1）式结果比较南京大学1998年硕士研究生考试试题量子力学x-x ： 0（一）20分 有半壁无限高势垒的一维阱v（x）=00 x a在e v0的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至 少有一个束缚态的存在的充要条件是

19、什么？（二）20分 一个取向用角坐标 e和中确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述:h? = al2+b cos（25），式中a和b均为常数，且a b , l2是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p能级（l =1）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。,2（三）20分求在一维无限深势阱中，处于tn （x屐时的粒子的动量分布几率4 n（ p）（四）20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果：?？?-1（1）e e = e?式中？和？分别是x和y方向的单位矢量。(2)?式中rx，?xf ? ?x 1 = ?xf (x) i(3)系统的哈密顿算符为h?二，设中n（r）

20、是归一化的束缚态波函数，则有：cu2巴）=2nv（f叫）？（五）20分碱金属原子处在 z方向的外磁场b中，微扰哈密顿为h?1 = h?1s + h?b ，其中h?lseb2日clz2sz,应取什么样的零级近似波函当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量） 数，能使微扰计算比较简单，为什么？p coseim ；：）（2l +1 ）（l -|m|!注 lm 4 4n（l+|m!012 1/212 1/2p1(x)=x； p1(x)=(1-x ) ； p2(x)=3(1 -x ) x22p2 x = 31 -x南京大学1999年硕士研究生考试试题一一量子力学专业：理论物理、粒子物理与原子核物

21、理2 .（20分）一、t=o时，粒子的状态为 e（x） = asin kx,求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。、粒子被约束在半径为 r的圆周上运动（20分）（a） 设立“路障”进一步限制粒子在0 小 e0的一段圆弧上运动:0（00）（0 :二：二2二）求解粒子的能量本征值和本征函数。（10分）（b）设粒子处在情形（a）的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少 ？(20 分)三、边长为a的刚性立方势箱中的电子，具有能量3- 2 23一1，如微扰哈密顿mah1 = bxy ,试求对能量的一级修正 （式中b为常数）。（15分）四、 对自旋为1/2的粒子，s

22、和sz是自旋角动量算符，求as+bs的本征函数和本征值（a和b是实常数）。（15分）五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是邛(x)= n)exp(ax2)exp(p0x/h)；*(p) =c(p- p0)exp-b(p- p。)2式中n、cg c、b和p0都是已知实常数.试求t=0和t0时粒子坐标和动量的平均值，：二 x t0 =?：二 p t0 二？,（?表示力学量算符 a的平均值）二2心 1x e dx =04a南京大学2000年硕士研究生入学考试试题一一量子力学 专业：理论物理，凝聚态物理，光学等一维谐振子处在状态,（1）势能的平均值（7（2）动能的几率分布

23、函数（7动能的平均值（7分） 分） 分）提示：ext-) dx =二质量为m的粒子在一维势场 v（x） = 0x : 00 x a中运动，求,（1）决定束缚态能级的方程式（2）至少存在一个束缚态的条件q0质量为m的粒子在一维势场 v（x）=）cx(15(5分）分）x ： 0, x a0 ： x : a中运动，其中c是小的实常数，试用微扰论求准到c 一次方的基态能量.（20分）四.1两个自旋一的非全同粒子系的哈密顿量2h?s = -js?（1） s?（2） j 0求h?s的能量本征值和相应的简并度.（20五.（1）设氢原子处于沿 z方向的均匀静磁场 b中，不考虑自旋，在弱磁场情形下求n=2能级的

24、分裂情况.（10分）（2）如果沿z方向不仅有均匀静磁场b,还有均匀静电场 e,再用微扰论求 n=2能级的分裂情况.（9分）提示：（200 z 210）= -3a南京大学 2001年硕士研究生入学考试试题量子力学专业：理论物理、凝聚态物理、光学等00, x a一、有一质量为 n的粒子处于长度为 a的一维无限深势阱中 v（x）=，在t=02,0 x a时刻，粒子的状态由波函数中（x） =0, x ,ax(a - x),0a描述。求:x : a(20 分)1 .归一化常数a;2 .粒子能量的平均值；3 . t=0时刻，粒子能量的几率分布；4 .人艺t0时刻的波函数的级数表达式提示:nt,3,596二

25、、考虑势能为 v（x ）= 3v0,x 0的一维系统，其中 v0为正常数。若一能量为e的粒子从q x 0x = -0c处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑e的所有可能值。（20分）1.00p2二、有一质重为 n的粒子，在一维谐振子势场v （x ）= no x中运动。在动能 t =上-的非221匚 1 存，,、f 国 7 f 2 2 1相对论极限下，基态能 eo = 0 ,基态波函数为 翼0（x）= - i exp - -x 2-1 ，考虑t与p的关系的相对论修正，计算基态能级的移动ae至一2阶。（c为光速）（20分）c四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成

26、束缚在一个尺 度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁 波的最长的波长。（20分）0提示：电子质量mc2 = 0.511mevc电197mev fm ,晶格常数a定1 a1五、考虑自旋s = 方的系统，21 .求算符t?=asy+bsz的本征值和归一化本征波函数；（a、b为实常数）2 .若此时系统正处在 t?的某一个本征态上，求此时测量sy结果为+g j的几率。（20分）南京大学2002年硕士研究生入学考试试题量子力学21一维自由粒子的状态由波函数中（x ）= sin kx + coskx描述。求粒子的动量平均值和2动能平均值。（20分）粒子被约束在半

27、径为 r的圆周上运动1）设立“路障”进一步限制粒子在0 中 50的一段圆弧上运动，即巾 0,0v （中）= 巾 巾，求解粒子的能量本征值和本征函数；叫中0 中 2几2）设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在最低能量态的几率是多少？ （20分）提示：在柱坐标系下2u =1，；卫上包.最： ：:：2 厂2；z2三、设算符n? = s?+s?且一名夕+ = 1 ,证明：如果里是！？的本征函数，对应的本征值为九，那么，波函数 巴=封也是n?的本征函数，对应的本征值为1 -1 ,而波函数% =? 也是n?的本征函数，对应的本征值为九十1。（20分）四、个粒子在二维无

28、限深势阱v （x）=，0,0 x, y a一, 中运动，设加上微扰 h1 =/.xy g, elsewhere（0 x,y 001） 根据归一化条件，求待定常数 c ； （ 5分）2） 求t时刻粒子所处的状态 中（x,t ）； （ 5分）3） 求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率；（10分）4） 求粒子能量的平均值； （5分）1 .2 25） 若在t =工时刻，粒子所处的势场突然变为v （x ）=3neo x ,求粒子在 e时刻处于新的势场 v （x）的第一激发态的几率。（5分）二、一根长为l的无质量的绳子一端固定，另一端系质点m。在重力作用下，质点在竖直平面内摆动，d 写出质点

29、运动的哈密顿量；（10分）2）在小角近似下求系统的能级；（10分）3）求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。（10分）其中c是归化常数，提示：质量为 m,本征频率为8的一维谐振子的基态波函数为12 2x =c exp -一 二 x2a ,高度为 v 的一维势垒j：exp（ -x2 dx =而。三、质量为 n的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为0|x| a/2v （x ）= v0。试求发生共振透射（即透射系数为vo|x|：a/21）的条件。（30分）四、两个自旋为 1/2的粒子组成的系统由哈密顿量h = alsz+s2z ）+bs|l|m描述，其中3和分别是两个粒子的自旋，而s

30、1z和s2z则分别是这两个粒子自旋的z分量，a和b是实常数。求该哈密顿量的所有能级。（30 分）五、一个质量为带电荷为q的粒子，束缚在宽度为a的一维无限深势阱vfx =1|x|b c的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能为-x2 ）可以作为微扰，其中 xi和x2分别为两个粒子的坐标，a为实常数。分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准至a的一次方。1）两个粒子为自旋为零的全同玻色子；（15分）2）两个粒子为自旋为 1/2的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行（即总自旋为1）。（15分）南京大学2004年硕士研究生入学考试试题一一量子力学、已知电子质量为n ,电子电量为（-e）,回答以

31、下问题：1）一个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；（5分）2）五个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑相互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式。（10分）1.223） 一个电子处于一维谐振子势场一8 2x2中运动，其中 切是谐振子的本征园频率，x是2电子的坐标，请写出该体系的能级公式。（5分）4）如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态上，求电子的坐标和动量的平均值，这些平均值随时间变化么？ （10分）5）请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；（10分

32、）26）假定氢原子处于基态，求电子势能-e-的平均值，其中r是电子的径向坐标。（10r分）、假定电子的波函数在球坐标体系下写为：（几日，平）=（ei*sin日+ cosh）g（r）,其中g（r）仅是径向坐标r的函数。1）求角动量平方 l2的可能测量值和相应的几率；（10分）2）求角动量的z分量 匕的可能测量值和平均值。（10分）三、s代表电子的自旋算符，n = （sin8cosqsin日sinqcos）为从原点指向单位球面上（日,中）方向上的单位向量，其中6是纬度，是经度。-i-* h1）在（s2, sz）表象下求自旋 s在n方向上的投影 sn = n s的本征值和相应的本征波函数。（10分）

33、2）假定电子处于 &的某个本征态，那么测量sz会得到哪些数值，相应的几率是多少,测量sz的平均值又是多少？ （10分）2四、一个质量为m,无电荷但自旋为1/2 ,磁矩为 ns的粒子在一维无限深势阱h0; x l算符。现在考虑在 x 0的半空间有一同样大小但沿x方向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函数，并指出 b能作为弱磁场处理的具体条件。（微扰只须计算到最低阶，自选空间的波函数在pauli表象下写出。）（30分）五、一个质量为 m的无自旋的粒子在三维情形下与一个球对称势v（r） = -c6（r -a）作用，其中c, a为正常数，r是径向坐标，为了保证该体系至少有一个束缚

34、态存在，试问c的值最小可以取多少？（30分）21六、一个质量为 m的无自旋的粒子受到中心势v（r）=22的散射，其中 a是ma2 cosh2 （r/a）= e*x（tanhx，ik）,在低能极限下，求常数。已知方程 d y +k2y+2y=0有解ydx2cosh2x粒子能量为e时，s分波的散射截面及其角分布。（30分）南京大学2005年硕士研究生入学考试试题量子力学一、问答题1、试述量子态的叠加原理。（5分）讨论自由粒子的波函数是否一定是平面波？问什么？ （5分）e-2、为什么波函数 中（x,t）必定是复数？ （ 5分）一维定态薛定调方程的解 中（x）是否也必定是复数？ （ 5分）3、以下的波

35、函数是否代表同一个量子态，并说明为什么：（1）、w（x,t）和eiw（x,t）,其中中是实常数；（5分） （2）、中（x,t）和e&zw （x,t）,其中邛（x）是实函数。（5分）4、为什么力学量算符 a应是线性厄米算符？ （10分）5 、为什么全同粒子的波函数对于粒子的交换应是对称或反对称的？ （10分）、质量为 n的粒子在一维无穷深势阱中运动,v(x) = j0;1其中a是正实数，求解定态薛定调方程。（20分）三、质量为 n的粒子在一维势场中运动，势能为:v(x)=1210x 0x : 0其中x0区v（x）为谐振子势能，求解基态的能量和归一化的波函数。（20分）四、设质子是半径为 r的薄球

36、壳，其电荷 e均匀分布在球壳表面上。对于氢原子，以电子所受势能偏离质子为点粒子模型时的值为微扰，求氢原子第一激发态能量的一级修正e21）（积分公式列出后不必计算）。（20分）五、中子有内禀磁矩：m? = g e 其中g=1.9 , m为中子质量。当自旋在 z方向向上极mc化的中子束，沿 x轴作一维运动时，在 x0区域存在恒定磁场 b ,其一 e b方向沿z方向。(20 分)右目匕重 e g,求解中子的一维散射运动。2mc0;0 x a六、求两个关在一维无穷深势阱v（x） = j（ a为正常数）; x a中，并以接触势 u （xi,x2）=d6（xi x2） （d 1）相互作用的全同中子系统的零

37、级近似归一化波函数（考虑自旋态），并以接触势为微扰，求准到一次方的基态能量。（20分）南京大学1998年硕士研究生考试试题量子力学x-x : 0（一）20分 有半壁无限高势垒的一维阱v（x）=00 x a在e v0的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？（二）20分 一个取向用角坐标e和中确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：h? = al?2 + b亢2 cos（2中），式中a和b均为常数，且a b , l2是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p能级（l =1 ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。（三）20分求

38、在一维无限深势阱中，处于n（x作时的粒子的动量分布几率1n（p。（四）20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果：?-犷八 （1）e e = e?式中？和？分别是x和y方向的单位矢量。r1h d rx，?xf（?）?xl： ?xf（x）?式中？x = 1一,ii x（3）系统的哈密顿算符为?2h? = - v r2，设n r是归一化的束缚态波函数，则,？2 、1.-.有：cm呆已）=为就网（）九）?（五）20分碱金属原子处在z方向的外磁场b中，微扰哈密顿为h?i = h?is + h?b ，其中i当ls悬八20,应取什么样的零级近似波函当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动

39、积分（守恒量） 数，能使微扰计算比较简单，为什么？注:ylm +1 )(1 - m )v 4n(1 + 1m !mim :p| 1 cos e0p(x )=x；12 1/2p1(x)=(1-x );12 1/2p2 x = 31-x x2p2 x =31 -x南京大学1999年硕士研究生考试试题量子力学专业：理论物理、粒子物理与原子核物理(20 分)t =0时，粒子的状态为d（x） = asin2 kx,求此时动量的可能测值和相应的几率，并计算动量的平均值。、粒子被约束在半径为 r的圆周上运动（20分）（a） 设立“路障”进一步限制粒子在0 小 0时粒子坐标和动量的平均（表示力学量算符 a的平

40、均值）二 2 上x20 xe南京大学2000年硕士研究生入学考试试题量子力学 专业：理论物理，凝聚态物理，光学等五.一维谐振子处在彳（x） =m求:势能的平均值动能的几率分布函数动能的平均值(7(7(7分） 分） 分）提示：e4x- dx =,.二-so六.质量为m的粒子在一维势场 v（x） =（ 00 x a中运动，求,七.v。（1）决定束缚态能级的方程式（2）至少存在一个束缚态的条件(15(5分）分）质量为m的粒子在一维势场 v（x）=，x : 0,cx0 :二 x : a中运动，其中c是小的实常数，试用微扰论求准到c一次方的基态能量.(20分）八.两个自旋1 , ，一 上1的非全同粒子系

41、的哈密顿量2h?s = -js?(1) s?(2)求h?s的能量本征值和相应的简并度(20五.（1）设氢原子处于沿 z方向的均匀静磁场 b中，不考虑自旋，在弱磁场情形下求 n=2能级的分裂情况.（10分）（2）如果沿z方向不仅有均匀静磁场 b ,还有均匀静电场 e ,再用微扰论求 n=2能级的分裂情况.（9分）提示：（200 z 210）= -3a南京大学 2001年硕士研究生入学考试试题量子力学专业：理论物理、凝聚态物理、.,00,x 0;x a a一、有一质量为 口的粒子处于长度为 a的一维无限深势阱中 v（x）=， ,，在t=0。0 x aqx 0; x a a时刻，粒子的状态由波函数

42、中（x）=a / 、八描述。求：（20分）ax（a - x）,0 x 0时刻的波函数的级数表达式。41二提不：=n,3,5 n496v0为正常数。若一能量为e的粒子从e的所有可能值。（20分）二、考虑势能为 v（x）=jv0，x 0的一维系统，其中0, x :二 0x= -如处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑三、有一质量为 n的粒子，在一维谐振子势场v （x ）=1 k 2x2中运动。在动能 t =卫一的非22112 相对论极限下，基态能e0 =，基态波函数为 乎0（x）= - i exp -x22）2 2h ）1 .考虑t与p的关系的相对论修正，计算基态能级的移动ae至2阶。（c为光

43、速）（20分）c四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺 度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。（20分）0提示：电子质量mc2 = 0.511mev, c之197mev fm ,晶格常数a定1 a1五、考虑自旋s=一左的系统，23 .求算符t?= asy +bz的本征值和归一化本征波函数；（a、b为实常数）八 八 r八4 .若此时系统正处在 t?的某一个本征态上，求此时测量sv结果为 + i,的几率。（202 2）分）南京大学2002年硕士研究生入学考试试题量子力学21六、一维自由粒子的状态

44、由波函数中（x）=sin kx+ coskx描述。求粒子的动量平均值和2动能平均值。（20分）七、粒子被约束在半径为 r的圆周上运动3）设立“路障进一步限制粒子在0mtp m中0的一段圆弧上运动,求解粒子的能量本征值和本征函数;0,0 邛1- -, ;:0 . : 2 二4）设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在最低能量态的几率是多少？ （20分）提示：在柱坐标系下1 c2u a2up +f2+2 cp 2 p2 6邛2 cz2八、设算符 n? = aa?且名夕=i，证明：如果中是q的本征函数，对应的本征值为九，那么，波函数 中1 =黜也是n?的本征函数，

45、对应的本征值为儿-1 ,而波函数中2 =0? 也是n?的本征函数，对应的本征值为九十1。（2。分）0,0 x, y a九、一个粒子在二维无限深势阱v（x）=中运动，设加上微扰h1=xy心,elsewhere（0 x,y 0o6） 根据归一化条件，求待定常数c； （5分）7） 求t时刻粒子所处的状态 中（x,t ）; （ 5分）8） 求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率；（10分）9） 求粒子能量的平均值；（5分）1 ,2 210）若在t=时刻，粒子所处的势场突然变为v （x）=-n8 x ,求粒子在 e时刻处于3新的势场v （x）的第一激发态的几率。（5分）二、一根长为l的无质量

46、的绳子一端固定，另一端系质点m。在重力作用下，质点在竖直平面内摆动，4）写出质点运动的哈密顿量；（10分）5）在小角近似下求系统的能级；（10分）6）求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。（10分）提示：质量为 m,本征频率为8的一维谐振子的基态波函数为a ,高度为 v0的一维势垒0(x )=cexp ；ot2x2 j ,其中 c 是归一化常数三、质量为 n的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为v（x ）=里|x|a/2。设粒子的能量 e v0 o试求发生共振透射（即透射系数为v。 |x|；a/2描述，其中g1）的条件。（30分）四、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由哈密顿量h =a（z+s2z ）+和分别是两个粒子的自旋，而s1z和s2z则分别是这两个粒子自旋的z分量，a和b是实常数。求该哈密顿量的所有能级。（30分）五、一个质量为带电荷为q的粒子，束缚在宽度为a的一维无限深势阱|x|b c的长方体盒子中运动，粒子间的相互