求数列通项公式的常用方法(有答案)

1、求数列通项公式的常用方法 一、累加法 1适用于：an 1 an f(n) 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之 2 解题步骤：若an 1 an f(n)(n2), a2 aif(1) III f (2) III an 1 anf(n) n 两边分别相加得an 1 a1f(n) k 1 例1已知数列an满足an 1 an 2n 1, ai 1，求数列a.的通项公式。 解：由 an 1 an 2n 1 得 an 1 an 2n 1 则 an(anan 1 )(an1 an 2)(a3a2)(a2a1)a1 2( n 1) 1 2( n 2) 1(2 2 1) (2 1 1) 1 2(n 1

2、) (n 2)2 1 (n 1) 1 2 (n 1) 1 2 (n 1)( n 1) 1 2 n 2 所以数列an的通项公式为an n。 an an 1 练习已知数列an满足a13, 1 n(n 2) ，求此数列的通项公式 an 2- 答案：裂项求和n 评注：已知a1 a an 1 an f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函 数、指数函数、分式函数，求通项 an 若f(n) 是关于 n的一次函数, 累加后可转化为等差数列求和 若f(n) 是关于 n的二次函数, 累加后可分组求和； 若f(n) 是关于 n的指数函数, 累加后可转化为等比数列求和 若f(n) 是关于 n的分式函数,

3、 累加后可裂项求和。 二、累乘法 1.适用于: an 1 f(n)an 这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之 2 .解题步骤: an 1 an f(n),则 a2 务 a3 f(1), a2 也 f(n) an 两边分别相乘得, an 1 a1 例2已知数列 an满足an 2(n 解：因为 an 1 2(n 1)5n an, ai f (k) 1)5n an, ai 3，求数列a的通项公式。 3，所以an 0 ,则 an 1 an 2(n 1)5n ，故 an an an 1 2(n 2n1 n(n 1)卅 3 2 5 n(n 1) 3 2n 1 5丁 n! a3 a2 a2 a1

4、an 2 1 1)5n 12(n 1)5n 22(2 1) (n 2)2 13 1) 522(1 1) 51 3 (n 所以数列an的通项公式为an n(n 1) 3 2n 15 n!. 练习.已知习1 n 1,a1 1,求数列an的通项公式 答案：an(n 1)! (a11) -1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an 1 nan n 1,转化为 an 11n(an1),若令bn an1,则问题进一步转化为bn 1nbn形式，进而应用累乘法求 出数列的通项公式 三、待定系数法适用于an 1 qan f (n) 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自

5、然数集的一 个函数。 1.形如 an 1can d, (c 0 其中 a1 a )型 (1) c=1时，数列 an为等差数列； (2) d=0时，数列 an为等比数列； (3) 0时，数列 an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列 解题步骤: an 1 c(an ) 得 an 1 can (c 1)，与题设 a n 1 ca n d , 比较系 数得(c 1) ，所以 C，(c 0)，所以有：an c(an 1 c 1 因此数列 an - c a1 构成以 d 1为首项，以c为公比的等比数列, an 所以 cn 1 即: an(a1 c 例3已知数列 an中, a1 1,an 2

6、an 1 1(n 2)，求数列 an 的通项公式。 解：* an 2an 11(n 2), an 1 2(an 1 1) 又宀1 2,an 1是首项为2, 公比为2的等比数列 nn an12 ,即 an 21 22求通项an 练习.已知数列an中, ai 2,an 11 3n , an (1)n1 答案：2 2.形如：3n 1 p an q ( 其中q是常数，且n 若p=1时，即： a n 1 an n q ,累加即可. 若P 1时， 即: an 1 p an n q 求通项方法有以下三种方向 : i.两边同除以 n p 1 .目的是把所求数列构造成等差数列 3n 1 an 1 / P n a

7、n n 1 n p () bnn* 1 即: p q q ,令 p ，则 ii. 两边同除以 q 1 1 目的是把所求数列构造成等差数列 an 1 p an 1 n 1 即：q q n q q 5 n 0,1) O bn 1 p q ，然后累加求通项 bn 令 n q，则可化为 bn 1 P b qq，然后转化为待定系数法第一种情况来解。 iii. 待定系数法：冃的是把所求数列构造成等差数列 设 3 n 1 qP(3n pj.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项 注意：应用待定系数法时，要求p q,否则待定系数法会失效。 例4已知数列an满足3n 1 23n 4 3 ，31 1，求数列K的

8、通项公式。 解法一（待定系数法）：设3n 1132（3n n i 3），比较系数得14, 22 n 11 1 则数列4 3 是首项为a14 3 5，公比为2的等比数列, n 1 所以an 4 3 5 2n 1 5 2n 1 解法二（两边同除以 n 1 q )： 两边同时除以 n 1 3得: an 1 3n 1 2 an 3 3 4 32，下面解法略 解法三（两边同除以 ): 两边同时除以 2n1 得: an 1 2n an 2n 3.形如 an 1 Pan kn （ 其中k,b是常数，且 ) 待定系数法解题步骤: 通过凑配可转化为 (an xn y) P(an 1 X(n 1) y) 比较系数

9、求x、y ;解得数列 (an xn y）的通项公式；得数列 an的通项公式。 例5 .在数列 %中, ai an 1 6n 3 ,求通项an.（待定系数法） 解：原递推式可化为 2（an xn y) an 1 x(n 1) y 比较系数可得：x=-6，y=9,上式即为 2bn bn 1 所以 bn是一个等比数列，首项 bi ai 6n 9 9丄 2，公比为2。 即: an 6n 1 9 9 (丄广 2 , 1 an 9 (-)n 故2 6n 9 。 练习 在数列%中, a1h an 1 3an 2n,求通项（逐项相减法） 解: a n 1 3a n 2n, n 2时，an 3an1 2(n 1

10、), 两式相减得 an 1an3(anan1 )2 令 bna n 1an则bn3bn 12 知 bn 5 3n1 2 即 an1 an 5 3n 1 1 5 3n 1 1- 2 n 1 n 3 5 - 2 n a 出 亦可联立 an 再由累加法可得 2 4.形如3n 1 pa a n b n c ( 其中a,b,c是常数，且a 0) 基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 2 例6已知数列an满足an 1 2an 3n 4n 5, ai 1，求数列务的通项公式。 解：设 an 1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(an xn2 yn z) 比较系

11、数得x 3,y10,z18， 所以 an 13(n 1)2 10(n 1) 182(an 3n210n18) 2 2 由 ai 3 110 1 18 1 31 32 0，得 an 3n 10n 18 0 2 则 an 1 3(n V 匹鱼2，故数列an 3n2 10n 18为以 a* 3n 10n 18 2 a13 110 11813132为首项，以2为公比的等比数列，因此 an 3n2 10n 18 32 2n 1，则 an 2n 4 3n2 10n 18。 5.形如an 2 pan 1 qan时将an作为f(n)求解 分析：原递推式可化为an 2an 1 ( p)(an 1 an)的形式，

12、比较系数可求得，数列 an 1an为等比数列。 例7已知数列an满足an 2 5an 1 6anha2 2，求数列an的通项公式。 解：设 an 2an 1 (5)(an 1 an) 比较系数得3或2，不妨取2，(取-3结果形式可能不同，但本质相同) 则an 2 2an 1 3(an 1瓯)，则 1 2an是首项为4，公比为3的等比数列 n 1n 1n 1 an 1 2an 4 3 所以 an 4 35 2 练习数列 an中，若ai 8,a2 2 ,且满足an 2 4an 1 3an 0,求an 答案：113 四、不动点法 目的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法 不动点的定义：函数 f(x

13、)的定义域为D，若存在f(x)x0 D，使f(x0) x0成立，则称x0为 f(x)的不动点或称(x0, f(x0)为函数f (x)的不动点。 分析：由f (x) x求出不动点x0，在递推公式两边同时减去 x0，再变形求解。 类型一：形如 an 1 qan d 例8已知数列an中，a1 1,an 2a. 1 1(n 2)，求数列 务 的通项公式。 解：递推关系是对应得递归函数为f(x) 2x 1，由f (x) x得，不动点为-1 -an 1 12(an 1)， 类型二：形如an 1 a anb c and 分析：递归函数为 / 、 a x b f(x) c x d (1 )若有两个相异的不动点

14、p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点 p,q，再将两式相除得 an 1 p k乩一p，其中k an 1 q an q a pc .(ag pq) kn 1 ，an a qc (6P pq) (aip) kn 1 q) (2)若有两个相同的不动点 p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得 1 k，其中k an 1 panp 2c o a d 例9.设数列an满足a12, an 1 5an 4 ,求数列an的通项公式.(答案：an - 3n 1 2 ) 4 31 2an 7 分析：此类问题常用参数法化等比数列求解 解：对等式两端同时加参数 t,得: 相除得 a n 11 an 12

15、7t 4 an 1 t 5an 4 t 7 (2t5)an7tan2t 5 2an 2an 厶 I 7)5 72an 7 7t 4 an t 令t 解之得 t=1,-2 代入 an 1 t (2t5) n得 2t 5 2an 7 c an 1 an 2 an 1 1 3 ,a n 129 2an 7 2an 7 引,即是首项为旦一! an 2 an 2a12 公比为 1 1的等比数列， 3an 31 解得an 4 3n 12 4 3n 11 . 练习.已知数列an满足a1 2, an 1 2a 1 -(n N*)，求数列an的通项an 4an 6 答案: an 13 5n 10n 6 适用于

16、1 r Pan（其中p,r为常数）型p0 例10 .设正项数列 an 满足 a1an 2a： 1 解：两边取对数得： log an 2 1 1 2log；n1 log ；n bn 2bn 1 bn 是以 2为公比的等比数列， Iog；n 1 2n 1 log ；n 2n 11- an ? 2“ 1 22 练习 数列an 中, a1 1 an 2 an 1 (n2) 答案： an 22 ! 22 n n an 五、对数变换法 （n2）.求数列an的通项公式. 12（log；n1 1），设 bnlog 2“ 1，则 b1 log； 1 1 bn1 2n 12n 1 1 ，求数列an的通项公式 六、

17、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 2a 例11已知数列an满足an 1n ,6 1，求数列an的通项公式。 an 2 解：求倒数得 1 an 1 an 1 1 an 1 111 为等差数列，首项 -1，公差为-， ana12 1)， an 七、阶差法（逐项相减法） 1、递推公式中既有Sn，又有an 分析：把已知关系通过 an Si,n SnSi 1，n 2转化为数列 an 或Sn的递推关系，然后采用相应的 方法求解。 例12已知数列an的各项均为正数，且前 n项和Sn满足Sn 1 6(an 1)(an 2)，且 a24，a9 成 等比数列，求数列 an的通项公式。 解：对任意 1 N 有