一元二次方程根的分布情况归纳

1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳21、一元二次方程ax bx c 0根的分布情况设方程ax2 bx c 0 a 0的不等两根为x-i, x2且论x2，相应的二次函数为f x ax2 bx c 0，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况OO小根个 丁从X2 a得出的结论大致图象 一 a _得出的结论综合结论不讨论a )表三：（根在区间上的分布）分布情况内n内 一 n 了 m, 画只 在 , 根 况 一 怖 咖(ffl和在根 q 一 P 另, n内n m m, 在qft 根 qO

2、大致图象 a得出的结论f m 0f n Off m f n 0 或f p0f p f q 0f q0O 大致图象 a得出的结论f m0f nf m f n 0或f p0f p f q 0f q0综（ 不 讨 论a)根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n夕卜，即在区间两侧xi m,X2 n , （图形分别如下）需满足的条件是t f m 0t f m 0（1）a 0 时，；（2）a 0 时，f n 0f n 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在 m,n内有以下特殊情况：若f m 0或f n 0，则此时f m gf n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有

3、 一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m,n内，从而可以求出参数的值。如方程mx2 m 2 x 2 0在区间1,3上有一根，因为f 1 0，所以 mx2 m 2 x 2 x 1 mx 2，另一根为，由1 3得-m 2即为所求；mm 3方程有且只有一根，且这个根在区间 m,n内，即 0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在， 舍去相应的参数。如方程x2 4mx 2m 6 0有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：由f 3gf 00即14m 15 m 30得出3 m 15 ;由 0即14316m2 4 2m

4、60得出m 1或m -，当m 1时，根x 23,0，即m 1满足23315题意；当m -时，根x 33,0，故m -不满足题意；综上分析，得出3 m 一或2214m 1根的分布练习题例1、已知二次方程2m 1 x2 2mx m 1 0有一正根和一负根，求实数m的取值范围1解：由 2m 1 gf 00即 2m 1 m 10，从而得 一 m 1即为所求的范围。2例2、已知方程2x2 m 1 x m 0有两个不等正实根，求实数 m的取值范围。解：由0 m 3 2,2或m 3 2.2即为所求的范围。例3、已知二次函数y m 2 x2 2m 4 x 3m 3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1,求实

5、数m的取值范围。1 解：由 m 2 gf 10即 m2 g2m 10 2m-即为所求的范围。2例4、已知二次方程mx2 2m 3 x 4 0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。解：由题意有方程在区间 0,1上只有一个正根，则f 0 gf 10 4g 3m 101m 丄即为所求范围。3（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由 0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）例1、当关于X的方程的根满足下列条件时，求实数 a的取值范围:(1) 方程x.若、 是关于x的方程x2 2kx k 6 0的两个实根，则(1)2 (1)2的最小值为. .若关于x的方程x2 (m

6、 2)x 2m 10只有一根在(0,1)内，则m _.4.对于关于x的方程x2+(2m?1)x+4 ?2m=0求满足下列条件的m的取值范围：(2) 两个根都小于?1 ax a2 70的两个根一个大于2，另一个小于2；(2) 方程7x2 (a 13)x a2 a 2 0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上;(3) 方程x2 ax 20的两根都小于0；变题：方程x2 ax 20的两根都小于?1.(4) 方程x2 (a 4)x 2a2 5a 3 0的两根都在区间1,3 上;(5) 方程x2 ax 40在区间(？1, 1)上有且只有一解；例3、已知函数f (x)例2、已知方程x2 mx

7、 40在区间?1 , 1上有解，求实数m的取值范围.mx2(m 3)x 1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围.检测反馈：1. 若二次函数f(x) x2 (a 1)x 5在区间(丄,1)上是增函数，则f(2)的取值范围是(1)有两个负根2(3) 个根大于2, 个根小于2(4) 两个根都在(0 , 2)内(5) 个根在(?2 , 0)内，另一个根在(1 , 3)内(6) 一个根小于2, 个根大于4(7) 在(0, 2 )内有根(8) 一个正根，一个负根且正根绝对值较大5已知函数f(x) mx2 x 1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。2、二次函数

8、在闭区间 m,n上的最大、最小值问题探讨设f xax2 bx c 0 a 0，则二次函数在闭区间 m,n上的最大、最小值有如下的分布情况：对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论:(1)若 一 m, n，则 f x max max f m , f 一，f n 2a2abf x min min f m , f, f n2ab(2) 若m, n，贝q f x max max f m , f n , f x min min f m , f n2a另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开 x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开

9、 x轴越远，贝U对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手： 开口方向、对称轴 以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例1、函数f Xax2 2ax 2 b a 0在2,3上有最大值5和最小值2,求a,b的值解：对称轴xo 12,3，故函数f x在区间2,3上单调。(1)当a 0时，函数f x在区间2,3上是增函数，故maxX min3a b 2 52 b 2(2)当a 0时，函数f x在区间2,3上是减函数，故xmaxX minb 2 5a 13a b 2 2 b 3例2、求函数f xx2 2ax 1,x1,3的最小值解：对称轴

10、 x0 a(1)当 a 1 时，ymin f 1 2 2a (2)当 1 a 3时，f a 1 a2 ; (3)当 a 3 时， ymin f 310 6a改： 1 本题若修改为求函数的最大值，过程又如何解：( 1)当 a 2时， f x max f 310 6a；max( 2)当 a 2时， f x max f 12 2a 。2 本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行解：(1当 a1 时，fXmax f3106a ,fx minf12羽；(2) 当1a 2时，f x maxf310 6a， f xminfa1 a2；(3) 当2a 3时，f x maxf12 2a，f x minf a 1a2；(4) 当 a3 时，fxmax f122a ,fx minf3106a。例 3、求函数 y x2 4x 3 在区间 t,t 1 上的最小值。解：对称轴 x0 2(1)当 2 t 即 t 2 时，yminymin2 1；t t2 4t 3；(2)当 t 2 t 1即1 t 2时，3)当 2 t 1 即 t 1 时，yminf t