2014年“北约”“华约”自主招生数学模拟试题带答案

1、2014年“北约” “华约”自主招生模拟试题数学(满分150分)第一部分：填空题(共5小题 每题10分)2八.l21 .右 tana =2 ,则 4sin a 3sin a cos a 5cos = =1.2 .在复数集c内方程2x2 (5 i)x +6 = 0的解为.3 .设 x =(15 +v220)19 +(15 +%-220)82,求数 x 的个位数字.4 .设a=n|100 n -2h b =ix1 5.若 ap| b 0 ,求实数 a 的取值22ji x-a j范围-1a0或 0aw32.为了搞好学校的工作， 全校各班级一共提了 p(pw nq条建议.已知有些班级提出了相同的建议，

2、且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于 2 p4个1 . 3 3 .设平面向量a = (73,1),b =(,-).若存在实数 m(m*0)和角8(ew(万,万),使向量 c = a (tan2 -3)b, d = -ma + b tan 8,且 c _l(i)求函数m= f(e)的关系式；(ii)令t =tan日，求函数m = g(t)的极值.4 .已知双曲线的两个焦点分别为f1,f2淇中f1又是抛物线y2 =4x的焦点，点a(-1,2),b(3,2)在双曲线上.(i)求点f2的轨迹方程；(ii)是否存在直线y = x + m与点f2的轨迹

3、有且只有两个公共点非存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由.5.已知a, b均为正整数，且a ab,sin日=22ab 2 (其中0 日 工),an =(a2 +b2)n sinno,求证: a b2对一切n n *an均为整数参考答案一、 选择题2,22,21 .由 tana =2，得since =2cosa，有sin a =4cos a，即 1 cos a =4cos a .2 12_222.贝u cos a = $，原式=16cos a 6cos a 5cos a =5cos u =1.2 .设 x=a+bi,a,bwr，代入原方程整理得(2 a2 2b2 5a + 6 b) + (4

4、 ab + a 5b)i = 03士 2a2 -2b2 -5a 6-b-0 a =1有，解得 或4ab a - 5b =0b =1a =2, .3 3,所以 x = 1 + i 或 x=- i.,32 2b =23 .直接求x的个位数字很困难，需将与x相关数联系，转化成研究其相关数.解令 y =(15-7220)19 +(15_砺)8241 + 丫=(15 + /函)19 +(15+7220)82+(15 -220)19 +(15 -v220)82,由二项式定理知，对任意正整数n.(15 + /220) +(15-220)n =2(15n + cn2 15t 220+)为整数，且个位数字为零.

5、因此，x + y是个位数字为零的整数.再对y估值，因为 015v220=5=5 =0.2，且(15v220)88 (15v220)19,15 、22025所以 0 y 2(15 -v1220)19 2x0.219 0.4. 故 x 的个位数字为 9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题4 .解：被7除余2的数可写为7k+2.由100 w 7k+2 w 600 .知14 w k w 85.57n 2 n 2又若某个k使7k+2能被57整除，则可设7k +2=57n.即k = 57n 2=8n+n. 77即 n 2 应为 7 的倍数.设 n =7m+2 代入，得

6、 k =57m +16 . . 14 57m+1685. .m=0,1.于是所求的个数为70 .x0 2 0y0 2 (-1)一5 .设点 p(x0,y0) ,m (x,y)，有x =, y =，得 = 3x, y0 =3y + 233一 22而% -4y0 4% =0，于是得点m的轨迹万程是9y -12x-4 = 0.二、解答题1 .解：a = xlex3, b = x|(x a * x 3a )0 时，b=x0ax3a,由 a b # 0 得 0 a 3 ；当 a0 时，b =x 3a x a 1；当a =0时，b =1x x2 0=0 ,与a0| b丰0不符.综上所述，a-1,0 j 0

7、,32 .证明：假设t校共有 m个班级，他们的建议分别组成集合a, 4,，am。这些集合中没有两个相同(因为没有两个班级提出全部相同的建议)，而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在a, a2,，am中至多有 a (所有p条建议所组成的集合)的 1m2p =2p，个子集，所以mw2p23 .解：(i)由 c id ,a b = - 73-1 = 0 ,得c d= a + (tan29 -3)s -ma + stan6 22*3#i j234i2=-ma +(tan 8-3tan8)b =0,1p m a = (tan h3tanh)b ,得1 q .,：,

8、二m = 一(tan 二-3tan)(一一：二). 42213(ii)由 tan 6 =t 彳导 m =g(t) = (t3 -3t),t w r43 2求导得 m =g(t) =(t -1)，令 g (t) =0,得 =-1,t2 =1 4、一 ，一， ,、 . 、 _ _ . 、 _ .当 t u ( *, 1), g a 0, g(t)为增函数；当 t w ( 1,1)时，g (t) 0,去掉绝对值号有两种情况，分别得f2的轨迹22方程为 x =1 和 (x-1) +(y -2)84(ii)直线 l1：x=1,l2:y= x+m,d(1,4)，椭圆 q:2_ 2(x-1) . (y-2)

9、若12过点fl或d,由fi,d两点既在直线li上，又在椭圆q上,但不在f2的轨迹上, 知12与f2的轨迹只有一个公共点，不合题意.若12不过f1,d两点(m#_1,m=3).则12与11必有一个公共点 e,且点e不在椭圆q上,所以要使12与f2的轨迹有且只有两个公共点，必须使1与q有且只有一个公共点把y =x+m代入椭圆的方程并整理得 3x2 (10 4m)x + 2m2 8m + 1=0由二=0,得 m=1 _2 3.5 .【思路分析】由sin nb联想到复数棣莫佛定理，复数需要cos日，然后分析an与复数的关系.22【证明】因为 sin 0 = 22ab 2 ,且0 0 b,所以 cosq

10、 =v1-sin20 = a2 b2 .a b2a ba a b 2ab n一 ( zt tf i)a b a b显然 sinnh为(cos8+i sin8) n 的虚部,由于(cos6 +i sin6)n212rl (a2 -b22abi)二一212rl (a bi)2n.(a2 b2)n(a2b2)所以(a2 +b2)n (cosnh +i sin n0) =(a +bi)2n.从而 an =(a2 +b2)n sinng为(a + bi)2n的虚部.因为a, b为整数，根据二项式定理，(a + bi)2n的虚部当然也为整数，所以对一切n w n *a,为整数.【评述】把an为与复数(co

11、se +isin9)n联系在一起是本题的关键合同管理制度1范围本标准规定了龙腾公司合同管理工作的管理机构、职责、合同的授权委托、洽谈、承办、会签、订阅、履行和变更、终止及争议处理和合同管理的处罚、奖励;本标准适用于龙腾公司项目建设期间的各类合同管理工作，厂内各类合同的管理，厂内所属各具法人资格的部门，参照本标准执行。2规范性引用中华人民共和国合同法龙腾公司合同管理办法3定义、符号、缩略语4职责4.1 总经理：龙腾公司经营管理的法定代表人。负责对厂内各类合同管理工作实行统一领导。以法人代表名义或授权委托他人签订各类合法合同，并对电厂负责。4.2 工程部：是发电厂建设施工安装等工程合同签订管理部门

12、；负责签订管理基建、安装、人工技术的工程合同。4.3 经营部：是合同签订管理部门，负责管理设备、材料、物资的订购合同。4.5 合同管理部门履行以下职责:4.5.1 建立健全合同管理办法并逐步完善规范;4.5.2 参与合同的洽谈、起草、审查、签约、变更、解除以及合同的签证、公证、调解、诉讼等活动，全程跟踪和检查合同的履行质量;4.5.3 审查、登记合同对方单位代表资格及单位资质，包括营业执照、经营范围、技术装备、信誉、越区域经营许可等证件及履约能力（必要时要求对方提供担保）,检查合同的履行情况;4.5.4 保管法人代表授权委托书、合同专用章，并按编号归口使用;4.5.5 建立合同管理台帐，对合同文本资料进行编号统计管理;4.5.6 组织对法规、制度的学习和贯彻执行，定期向有关领导和部门报告工作;4.5.7 在总经理领导下，做好合同管理的其他工作,4.6 工程技术部：专职合同管理员及材料、燃料供应部兼职合同管理员履行以下职责:4.6.1 在主任领导下，做好本部门负责的各项合同的管理工作，负责保管-法人授权委托书”4.6.2 签订合同