概率论与数理统计作业2

1、第一章随机事件与概率 1将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两 次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本 点。 解解门-正正、正反、反正、反反 A= 正正、正反B=- 正正1, C = :正正、正反、反正? 2.设P(A)=3，P(B)詔，试就以下三种情况分别求P(BA): 32 (1)AB ，(2) A B，(3)P(AB) 8 解： (1) P(BA)二 P(B _ AB)二 P(B)_P(AB)二P(B) = 0.5 (2) P(BA)二 P(B - AB)二 P(B)-P(AB)二P(B) - P(A)= 0.5-1

2、/3= 1/6 (3) P(BA)二 P(B - AB)二 P(B)-P(AB)=0.5-0.125 二0.375 3. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三 次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概 率是多少？ 解：记H表拨号不超过三次而能接通 Ai表第i次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码 H = A + Aa +入A2A3三种情况互斥 P(H)二P(A) P(A)P(A2|A!)p(Ajp(A2 |A)P(A3 |入入2) 10 10 910 9 810 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在

3、B已发生的条件下, 求H再发生的概率 P(H | B) =PAi | B AiA | B AA2A31 B) = P(A | B) P(Ai |B)P(A2 | BAi) P(Ai |B)P(A2 | BAi)P(A3 IBA1A2) 4. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为错误！未找到引用源。， 试求以下事件的概率： (1) 直到第r次才成功； (2) 在n次中取得r(L n)次成功； 解：(1) P=(1 p)rp (2) P=C：pr(1-p)n 5. 设事件A，B的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：(a) 必然对，(b)必然错，(c)可能对也可能错，并说明理由。 (

4、1) 若A，B互不相容，则它们相互独立。 (2) 若A与B相互独立，则它们互不相容。 (3) P(A) =P(B)=0.6，则 A 与 B 互不相容。 (4) P(A)二 P(B) = 0.6，则 A与 B相互独立。 解:(1)b,互斥事件，一定不是独立事件 (2) c,独立事件不一定是互斥事件， (3) b,P(A + B) = P(A)+P(B)-P(AB)若 A与 B互不相容，则 P(AB) = 0 而 P(A B)二 P(A) P(B) -P(AB) =1.21 (4) a,若 A与 B 相互独立,则 P(AB)二 P(A)P(B) 这时 P(A B)二 P(A) P(B) -P(AB

5、) =1.2 -0.36 =0.84 6. 有甲、乙两个盒子，甲盒中放有3个白球，2个红球；乙盒中放有4个 白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球， 试求： (1) 从乙盒中取出的球是白球的概率； (2) 若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。 解：记，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B表“再从乙袋中取得白球”。 TB=Ai B+A2B 且 Ai, A 互斥 34+124 P (B)=P (Ai)P(B| Ai)+ P (A2)P (B| A2)= 3+24+4+13+24+4+1 (2) 7. 思考题：讨论对立、互斥(

6、互不相容)和独立性之间的关系。 解:独立事件不是对立事件，也不一定是互斥事件；对立事件是互斥事件，不 能是独立事件；互斥事件一般不是对立事件，一定不是独立事件. 第二章随机变量及其概率分布 1. 设X的概率分布列为： X 0 1 2 3 P 0.1 0.1 0.1 0.7 F(x)为其分布的函数，则F (2) =? 解:F(2) =PX ；则常数c等于？ b，x曰 解:由于:dx : dx=c=1,故 C =1 -x1 x 3. 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率 为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻 (1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？ (2)

7、 至少有3台计算机被使用的概率是多少？ (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？ (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？ 解：(1) PX =2 =C；0.620.43 = 0.2304 (2) pX _3 =1 PX =4 -PX =5 =1 C40.640.4 0.65 二 0.66304 (3) PX 空 3 =PX =1 PX =2 PX =3 =C；0.6 0.44 C；0.620.43 C；0.630.42 =0.0768+0.2304+0.1728=0.48 (4) PX _1 =1-PX =0 =0.4 0.98976 4. 设随机变量K在区间(0, 5)上服从均匀分

8、布，求方程4 x2+ 4Kx + K + 2 = 0有实根的概率。 解:由厶=16k2 -4 4 (k 2) =16k2 -16k -32 _0 可得:k 1,k _ 2 所以 PK -2- 5 5. 假设打一次电话所用时间(单位：分)X服从:=0.2的指数分布，如某人正 好在你前面走进电话亭，试求你等待：(1)超过10分钟的概率；(2)10分钟到 20分钟的概率。 解:X f (x) =0.2e2x,x 0 10n 2 x_2_2 PX 10 =1 PX 乞 10 =1 - o 0.2e dx = 1 -1 e 二e 20 P10X 乞200.2e2xdxe， 6. 随 机变量 XN (3,

9、4),(1) 求 P(2X 5) ,P(- 4X2),P(X3); (2)确定 c,使得 P(Xc) = P(X2=1PX 兰 2 =16（）+（） = 1（一0.5）+（一2.5） 2 2 =1 一（1 一门（0.5）1 （2.5） =1 -0.99380.6915 = 0.6977 3 _3 PX 3 =1-PX _3 =1）=1-0.5=0.5 2 PX c =1 PX 空 c =1G（C 3） =PX ：c-：（E 3） 2 2 所以 G（c 3） =0.5 故 c = 3 2 7. 设随机变量X与Y相互独立，且X, Y的分布律分别为 X 0 1 P 1 3 4 4 Y 1 2 P 2

10、 3 5 5 试求：（1）二维随机变量（X Y）的分布律；（2）随机变量Z二XY的分布律. 1 2 0 0.1 0.15 1 0.3 0.45 Z 0 1 2 P 0.25 0.3 0.45 8.思考题:举出几个随机变量的例子 第三章多维随机变量及其概率分布 1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表 示取到的红球个数，用 Y表示取到的白球个数，写出（X, Y） 的联合分布律及 边缘分布律。 0 1 2 0 0 0 0.1 1 0 0.4 0.2 2 0.1 0.2 0 2.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为: 试根据下列条件分别求a和b的值； (1) P(X

11、-1) -0.6 ； (2) P(X =1 |Y =2) =0.5 ； (3) 设F(x)是丫的分布函数，F(1.5) =0.5。 解：(1) PX =1 =0.1 b 0.2 =0.6, b 二 0.3 Y X 0 1 2 0 0.1 0.2 a 1 0.1 b 0.2 (2) PX =0 PX =1 =1, PX =0 =1 -PX =1 =0.4 = 0.3 a, a =0.1 3. (X、Y)的联合密度函数为：f(x,y)= k(x+ y) 0vxc1, 0cyc1 0 其他 求(1) 常数 k；(2)P(X1/2,Y1/2) ； (3) P(X+Y1) ； (4) P(X1/2)。

12、解:(1) : 1 1 t , I i f (x, y)dxdy I i k(x y)dxdy = k = 1,故 k = 1 0 0 PX 1 1 11 1 J202 02(x y)dxdy=8 PX Y : 1二 11 -x 0 0(X y)dxdy PX = f 0(x+y)dxdy=； 2 8 4. (X、 Y)的联合密度函数为：f(x, y) = J kxy OcxdOcycx 0 其他 求(1) 解：(1) 常数 k ；( 2)P(X+Y1)； (3) P(X1/2)。 :1 X Uf (x, y)dxdy = 0 L kxydxdy =令=1,故 k = 2 1 1 1 (2)

13、PX Y : 1 = ： .y 2xydxdy = pX J 1 2 02 O 2xydxdy = 64 5.设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求X与丫的边缘密度函数。 f (x, y)二 22 一二：:：x ；： ：;- := : y : 二 二(1 x )(1 y ) h-be1 解:fx(x)f(x, y)dy=. 吵qQ匕如 be11 二 2(1 x2)(1 y2) d 二(1 x2) f/y) = . J(x,y)dx 二 be11 2 22dx 2 n (1 x )(1 y ) 二(1 y ) 6. 设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。 f (x, y

14、)二 -x e 0 ： y ： x 0 其他 bex fx(x)二 J(x,y)dy 二 oedy 二 xe二(0 ： x ：-) bobo fX(x)=【f(x,y)dx=J edx =e (0 v y v 址) y 7. (X, Y)的联合分布律如下, 试根据下列条件分别求a和b的值; (1) P(Y : =1) -1/3 ； P(X 1| Y =2) =0.5 ； (3) 已知 X与Y相互独立。 Y X 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 a b 1/9 解：(1) PY =1 =a 工，a = 636 (2)1/6+1/6+1/9+b+1/18+1/9=1,b=7/18 8.

15、(X, Y) 的联合密度函数如下，求常数 C,并讨论X与Y是否相互独立? f (x, y)= f 2 cxy 5(18x4) 0 一1乞x空1 3 汀 5y_5y2 fY(y) L How many loved your mome nts of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you, And loved the sorrows of your cha nging face; And bending dow n beside the

16、glow ing bars, Murmur, a little sadly, how love fled And paced upon the mountains overhead And hid his face amid a crowd of stars. The furthest dista nee in the world Is not betwee n life and death But whe n I sta nd in front of you Yet you dont know that I love you. The furthest dista nee in the world Is not whe n I sta nd in front of you Yet you cant see my love But whe n un doubtedly knowing the love from both Yet cannot be together. The furthest dista nee in the world Is not being apart while being in love B