巧借旋转妙解题

1、巧借旋转妙解题6、正三角形和正方形的旋转例1.如图，o是等边三角形的旋转中心，/eof = 120, / eof绕点过程中,oe与of与4abc的边构成的图形的面积（a.一 一一 一 1等于 abc面积的-3一 1b .等于 abc面积的一2- 1等于 abc面积的-4d.不确定o进行旋转，在旋转例2.如图2所示，两个边长都为2的正方形 abcd及正方形opqr.如果o点正好是正方形 abcd的中心，而正方形的面积吗?分析：opqr可以绕着o点旋转，那么可以求出它们重叠部分qr bme图3于 e, of1ab 于 f.可以将ofn逆时针方向旋转90。与oem重合，所以重叠部分的面积就转化为正方

2、形ofbe的面积，而正方形 ofbe的面积为1 ,所以重叠部分的面积为 1 .例 3.如图 4 所示，在四边形 abcd 中，/ adc = /abc=90, ad = cd , dpab 于 p图4若四边形的面积为注：在有正方形的条件下，考虑旋转方法，常常把旋转角度选为求以线段oa, ob,oc为边构成的三角形的各角.例4.如图6所示,设 o是等边三角形 abc内一点，已知/ aob=115, /boc=125,分析：要求线段oa ob oc为边构成的三角形白各角，而线段 oa ob。5是同一个三角形的三条边，可以利用“图形旋转前后的图形形状大小不变，对应线段相等”这一性质 解决问题，同时利

3、用旋转可以将分散的线段、角集中到同一个图形之中.解：以b为中心，将aboa逆时针方向旋转60,则点a落在点c,点o落在点d,连接od, cd,（图7） . ob=bd, / obd = 60,.bod是等边三角形；则 od=ob.又 cd=oa, .cod是以oa, ob, oc为边构成的三角形. ./boc= 125 , / bod = 60.，/cod=65.又. / bdc = z aob= 115,而/ odb=60, ./odc = 55 ,从而/ ocd =18065 55嗔60，故求得以线段 oa, ob, oc为边构成三角形的各角为 65, 55, 60.注：在有等边三角形的条

4、件下考虑旋转方法，常常把旋转角度选为60 .练习一.1、如图8,点m, n分别在正方形 abcd的边bc, cd上.已知 mcn的周长等于正方形abcd周长的2、（青岛）、如图10, p是正三角形 abc内的一点，且pa=6, pb=8, pc=10求/ apb的度数。3、（旅顺）如图， abc是正三角形， bdh顶角/ bdc=120的等腰三角形，以 d为顶点作一个60角，角的两边分别交 ab ac边于m n两点，连 mn探究：线段 bm mn nc 之间的关系，并加以证明。4、把两个全等的等腰直角三角板abc和efg （其直角边均为4）叠放在一起（如图 1）,且使三角板efg的直角顶点g与

5、三角板abc的斜边中点o重合，现将三角板 efg绕点o 按顺时针方向旋转（旋转角”满足条件：o1cot 0),求:(1)/apb 的度数;(2)正方形abcd的面积.二、与旋转有关的探索性试题例析分析：由于在旋转的过程中，虽然点 o的位置发生了变化，但/ aoc和/ coe的大小 不变，都是45。，因此可过c分别作oa、ob的垂线，从而转化为等腰直角三角形(图 1) 来处理.对于图3可仿图2处理.例1:（衡阳市）已知，如图2,平行四边形 abcd, ab/ cd ab=1, bc=/5 ,对角线agbd交于。点，将直线 ac绕点o顺时针旋转，分别交 bg ad于点e、f.证明：当旋转角为 90

6、0时，四边形是平行四边形；试说明在旋转过程中，线段af与ec总保持相等；在旋转过程中，四边形 bedf可能是菱形吗？如果不能，请说明理由：如果能，说明理由并求出此时ac绕点。顺时针旋转的度数.解：. ao=co, / faoh eco, / aofh coe. . .ao庭 coe. . . af=ec.四边形bedf可是是菱形.理由：如图2,连接bf、de.由（2）知4ao障 coe得oe=of. ef与bd互相平分.当ef bd时,四边形bed协菱形.在 rtmbc中,ac= j5 -1 =2, .-.oa=1=ab .又 abac： / aob=45,aof=45.ac绕点。顺时针旋转450时，四边形bedf为菱形.例2:（河北省）如图31, 一等腰直角三角尺 gef的两条直角边与正方形 abcd的两条 边分别重合在一起. 现正方形abcd保持不动，将三角尺gef绕斜边ef的中点o （点o也是bd中点）按顺时针方向旋转.(1)如图13 2,当ef与ab相交于点m,gf与bd相交于点n时，通过观察或测量bmfn的长度，猜想bm , fn满足的数量关系，并证明你的猜想;