因式分解竞赛题不含答案

1、因式分解1、公式法序 号公式记忆特征12 +(a + b)x+ab = (x+a)(x+b) x (十字相乘法)常数项两数积(1) (2) 一次项系数两数和1二次项系数为(3)222 = (a-b)(a+b) a-b (平方差公式)3222 +2ab+ba = (a+b) 222 = (a-b)a-2ab+b(完全平方公式)42222+c+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)a+b(完全平方公式扩展)(1)三数平方和2倍(2)两两积的533223 b+3ab+3a = (a+b)a+b 32332+b a = (a-b)-3ab-3ab (完全立方公式)对照完全平方公式相互加强记忆623

2、32) = (a+b)(a -ab+ba+b3223a-b = (a-b)(a+ab+b)近似完全平方公式(1)缺项之完全立方公 式32-3ab(a+b)(a+b)(a+b) -3ab=(a+b) 32+3ab(a+b)(a-b)(a+b)+3ab=(a -b)7223332-ab-ac-bc) +ca+b+c -3abc = (a+b+c)(a+b4相互加强记忆对照公式8n-1n-2n-2n-32nnn-1 整数 +b = (a-b)(a +a) b+a b+ab+a -bn=(平 方差公式扩展)(1)短差长和；(2)a指数逐项递减1;(3)1b指数逐项递增；。(4)长式每项指数和恒等于n-

3、19n-1n-2n-32nnn-1n-2 )b-+aban=-b = (a+b)(a -b-a 偶数 b+a(立方差公式扩展)短式变加长式加减相间；(1) 1a指数逐项递减；(2) (3);指数逐项递增b1 (4)b指数决定 偶加可减。母项7kl勺10n-12n-2n-1n-2n-3nn 奇数)-a+ab+b = (a+b)(a -a-bb+an=b(立方和公式扩展)的异同对比公式 9运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选 择公式.分解因式：例13333n-1nn+2n-1n+45n-1 -8y-6xyz-z(2)x;-2xy+4xy-2xy;333

4、 . 3abca2 例分解因式：+b+c-说明本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为333-+c+b3abc a333333333 显然，当 a+b+c=0 时，则 a+b+c=3abc；当 a+b+c0 时，则 a+b+c-3abc 0,即 a+b+c 3abc,而且，当且仅当 a=b=c时，等号成立.333 , z=c0 ,则有 如果令 x=a 0, y=b 0牛涧等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.变式练习2141315. +x+1x+ +x- - +x+x 分解因

5、式：2 .拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个 同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.3-9x+8.例3分解因式：x变式练习1分解因式：96322-1 )+4mn；(2)(m3; - (1)x+x1)(a+x -42243322 + 1 . a-1)1)(3)(x+1)+(x -+(x -；abab+b3 .换元法换元

6、法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.2222+8x+3)-90+3x+2)(4x . 12+x+2) -.(21 例 4 分解因式：()(x ) +x+1)(x(x变式练习222. +4x+8)+2x+4x+8)2+3x(x 1. 分解因式：(x4 .双十字相乘法22+dx+ey+f) , +bxy+cy我们也分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax可以用十字相乘法分解因式.22当作常数，于是上式可变y降募排列，并把-7xy-22y-5x+35y-3.我们将上式按 x例如，分解因式2x形为2

7、2 ,-(5+7y)x-(22y-35y+3)2x x的二次三项式.可以看作是关于的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为对于常数项而言，它是关于 y2 +35y-3=(2y-3)(-11y+1)-22y即：x的二次三项式分解 再利用十字相乘法对关于r )所以，原式=x+(2y-3) 2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:它表示的是下面二个关系式：22 ； (x+2y)(2x-11y)=2x-7xy-22y2 (x-3)(2x+1)=2x ; -5x-32 . (2y-3)(-

8、11y+1)=-22y+35y-3这就是所谓的双十字相乘法.22+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：用双十字相乘法对多项式ax+bxy+cy 22 )；,得到一个十字相乘图(有两列(1)用十字相乘法分解 ax+bxy+cy分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式把常数项f (2). ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 dx中的 例1分解因式：22+x+9y-2; -3xy-10y (1)x22+5x+3y+4; -y (2)x 2+x-y-2 ; (3)xy+y 222. -xz+7yz-2z(4)6x7xy-3y - 2.求根法 nn-i

9、+ax+a(n为非负整数+ax)的代数式称为关于x的一元多项式，并x我们把 形如a*用f(x) , g(x),等记号表示，如252+6,，+xf(x)=x -3x+2, g(x)=x当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)2-3 x 1+2=0 f=1 ;2-3 x (-2)+2=12f(-2)=(-2)若f(a)=0 ,则称a为多项式f(x)的一个根.定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式 f(x)有一个因式x-a .根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的 根.对于任意多项式f(x)要求出它

10、的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即 整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有 理根.君氏*1 了莒范安丁二1, 4g 工整r值1h以 ls -2 定理 的根，则必有p是a的约数，q是a的约数.特别地，当a=1时， 整系数多项式f(x) 0n0的整数根均为a的约数.n我们根据上述定理，用求多项 式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解.32+6x-4 . x -4x 分解因式： 例2变式练习432-3x-2 . +7x 分解因式：1. 9x -3x3 .待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用.在

11、因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于 该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该 相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法.22+4x+5y+3. x +3xy+2y 例 3 分解因式：变式练习4322222) . -4乂丫仅+丫(x2x11.分解因式：()-2x-27x-44x+7 . () +xy+y)真题精解：五、.23,那么，它除以3x-2时的余数是1+cx+d除以x-1

12、1、已知多项式ax时的余数 是+bx,除以 时所得的余数是什么？ (x-1)(x-2)届“希望杯”试题)(第1222为何值时，多项式x+3x-5y+2-2xy+ky能分解成两个一次因式的积？2、 k (天津市竞赛试题)23a+b的值。x+1和3、如果xx+2+ax,求+bx+8有两个因式(美国犹他州中学竞赛试)4、下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是()届“希望杯”试题8(第 2d. c. (a-b)(m-n)=(b-a)(n-m) ab-a-b+1=(a-1)(b-1) a. (x+1)(x-1)=xb.m2-2m-3=m(m-2-3/m)10届“希望杯”试题)5、下列五个多项式中在有理

13、数范围可以进行因式分解 的有()(第 3232x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2ba2b2-a2-b2-1x-9ax+27ax-27a 2+4x(x-2)3m(m-n)+6n(n-m)c. a.b. d.a - bh -c则，的值()(a-b)+(b-c)=a-c、6设bwc,且满足届“希望杯”试题)12(第小于零d. a.大于零 正负号不确定b.等于零c.的个数是()7、已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式乘积，则符合条件的整数a d. 8个b. 4个c. 6个a.3 个 届“希望杯”试题)7 (第22 ) -yk-k的一个因式，则的值是(y-2x+18、是4xy-4x 届“希望杯”试题)(第 14d. 4 a. 0 b. -1 c. 2222 -1 2yz因式分解结果是(、将多项式 9x -4y) -9z届“希望杯”试题)9 (第b. (x-2y-3z)(x-2