数列经典例题(裂项相消法)

1、数列裂项相消求和的典型题型11.已知等差数列an的前n项和为sn,a5 =5,s5 =15，则数列的前100项和为(anan 1100a. 一10199b. 一10199101c. 100 1002.数列a1n n(n 1)一一.9，其刖n项之和为 一，则在平面直角坐标系中，直线 (n+1)x + y + n 100在y轴上的截距-可编辑修改-为()a. 10 b. 9 c. 10 d. 93 .等比数列an的各项均为正数，且 2a1十3a2 =1,a； = 9a2a6.(i )求数列an的通项公式;1(n )设 bn =log3 a +log 3a2 + +log 3an,求数列的刖 n 项

2、和.24 .正项数列an满足 a2 (2n 1)an 2n = 0.(i )求数列an的通项公式an ；(n )令 bn =(n 1)an，求数列bn的前n项和tn.5 .设等差数列an的前n项和为sn ,且 s4 =4s2,a2n =2an +1 .(n )设数列bn满足工+丝+a1 a2(i )求数列an的通项公式;b1*+ =1 - -,nc n，求bn的前 n项和 tn.an26.已知等差数列an满足：a3= 7,as+a7=26. an的前 n 项和为 sn.(i )求 an 及 sn ；(n )令 bn =a2 -1_* 一一 一 一(nu n ),求数列bn的前n项和tn.1 2

3、7.在数列an中，a =1,2an由=(1 +一) an . n(i )求an的通项公式;-1(n )令bn =an邛一一 an,求数列bn的刖n项和sn ； 2(出)求数列an的前n项和tn，8 .已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为y.(i )求数列an的通项公式；(n )设 bn =(4 an)qn,(q 00,n w n*),求数列必的前 n 项和 sn .*29 .已知数列an满足 ai =0,a2 = 2,且对 vm,n = n 都有 a2m+ a2n=2amw+ 2(m - n) .(i )求 a3, a5;(n)设bn =a2n,a2n(nu n ),证明：bn是等差数列

4、；(出)设 cn =(an书-an)qna(q #0,n w n*),求数列g的前 n项和 sn .10 .已知数列an是一个公差大于 0的等差数列，且满足 a3a6 =55,a2 +a7 =16 .(i )求数列an的通项公式;b1b2 b3b*(n)数列an和数列bn满足等式an = +4r(n n ),求数列bn的前n项和sn .2 22211 .已知等差数列an的公差为2,前n项和为sn,且s1,s2,s4成等比数列.(1)求数列an的通项公式；人,.、n4n(2)令b2 =(1) ,求数列bn的刖n项和tn.an an 12,2212 .正项数列an的前 n 项和 sn 满足：sn

5、(n +n1)sn(n +n) = 0.(1)求数列an的通项公式an ;人n 1* , , _5(2)令bn =,数列bn的前n项和为tn,证明：对于 v n n，都有tn.h n=.、=i j(n+1) an 2n (n+1)2 n n+1tn= (1 -j -j -) = ( 1=.222 3 n n+12n+12n+2数列bn的前n项和tn为#2n+25 .解：(i )设等差数列an的首项为ai,公差为d ,由s4=4s2, a2n=2a n+1有:45+6d= 8a j+4daj (2n- 1) d= 2a,+2 (n-l) d+1 l 11解有 ai=1 , d=2 .an=2n

6、4，n gn*.bi b3bni*(n )由已知+ + - + =1 , n n , 有：力 a2an2nm 当 n=1 时，一=, al 2当 nm时，-=(1- q 士 )=+，.，n=1 时符合.a 9n rn 1 nn-!b=n cn*% 2n由（i ）知，an=2n 1, n cn*.bn=, n cn*. 2npt 1 352n-1又 tn=-+- +,2 22 23 2n.n=+w+t2+2, 222 23 2n 2nh两式相减有:（工工-2）包工g2n-i2222 23 2n 2nh 2 2n_1 2nht_q 2n+3 i n = 32n6.解：（i）设等差数列an的公差为d

7、, - a3=7 , a5+a 7=26 ,%i+2d = 7.有 i2a1+10d=26解有 ai=3 , d=2 ,an=3+2 （n1） =2n+1 ;sn= 二 ，=n2+2n ;-w（n ）由（i ）知 an=2n+1 ,n+1：一aw2 - 1 （2n+l ） 2 - 1 4 n（n+1） 4 ntn=.：| j l i1 = 1 1 =n ： 二二 r n 广 1 j -二 t：即数列bn的前n项和tn=n4 （rl）an .x1 nsip, j j i7.解：（i）由条件有 丁，又n=1时,（n+1） * 2 /故数列构成首项为1,公式为工的等比数列.二-l； 即a =2_22

8、2 力n-1口n _n-1n乙n 22/n+1 lc 35 2n 2n 22 232n- 1 2n+l出）由九二期山-企二2有, n 2n 2n 2n n 2两式相减，有:（出）由土二仁之+叼+已用2n2 cai+ 七+ %)有tnfi+a 1th2 t -oq ,c /c1 n _ n +4n+6t n=2s n+2a 1 2a n+1 = 12 -2寸18 .解：（i ）设an的公差为d, 由已知有解有 ai=3 , d= 1故 an=3+ (n1) (t) =4 n； （n ）由（i ）的解答有，bn=n?qn1,sn=1?q0+2?q1+3?q2+tn?qn1若q月，将上式两边同乘以q

9、 ,有 qs n=1?q1 +2 ?q2+3 ?q3+-+n?qn.上面两式相减，有2 “、 n ”:(q1) sn=nq n - 1+q+q 2+ +qn1) =nq n-q- i是sn=j(q-1) 2什 ,c n (n+l)右 q=1 ,贝u sn=1+2+3+ - +n=-m-,sn=“产= g+d j+l(的) (q-1) 22-tll(q0由32+37 = 16 ,有，2a什7d=16由 a3a6=55 ,有(ai+2d) (ai+5d ) =55由 联立方程求，有d=2 , ai=1/d= 2, ai=(排除) 7an=1+ ( n 4) ?2=2n 4(n )令 cn= ,贝u

10、有 an=c1+c2+-+cn 2nan+1 =c1+c2+-+cn+1两式相减，有an+1 an=cn+1 ,由(1) 有 ai=1 , an+1 an=2cn+1 =2 ,即 cn=2 (n 或)，即当nm时，bn=2n+1,又当 n=1 时，bi=2a 1=22, (n=l)叫(n2)于是 sn=bi+b2+b3+- +bn=2+2 3+24+ -2n+1=2n+2 6, n,f 2n=ln22 xi11 .解 因为 si=ai, s2=2ai+ x2 = 2ai + 2, 24x3s4 = 4ai + x2 = 4ai +12 , 2由题意得(2ai+ 2)2 = ai(4ai+ 12

11、),解得 ai = 1,所以 an=2n- 1.4n4n(2)bn=( 1)n1=(1)n1anan+1=(-1)n 1(2n 1)(2 n+1)(2n- 1 +2n+ 1)当n为偶数时,tn=(1 +1)-(1+1)+- + (+-)-(+-)=133 52n 3 2n 12n- 1 2n+12n+12n2n+1当n为奇数时,11 1tn=(1+3)-(3+5)+-11111(2n-3 + 2n- 1) + (2n - 1 +2n+ 1)- 1 2n+ 12n+22n+ 12 2n+ 22n+ 1所以tn =2n2n+ 1n为奇数，n为偶数.(或 tn=2n+ 1 + (-1)n 12n+ 112 . (1)解 由 sn(n2+n 1)sn(n2+n) = 0,得sn(n2+n)(sn+1) = 0,由于an是正项数列，所以 sn+10.所以 sn= n2+n(ncn*).n/时，an= sn sn-1 = 2n,n = 1时，a1 = s1 = 2适合上式. an=2n(nn).(2)证明由an= 2n(n玳*)得n+ 1bn =(n+2)2ann+11 1114n2(n + 2