数列通项公式经典例题解析

1、求数列通项公式一、公式法类型 1 an 1.二an , f (n)解法：把原递推公式转化为 an+ -an = f (n),利用累加法(逐差相加法)求解。例1已知数列烝满足an书=2an +3x2n, & = 2 ,求数列an的通项公式。解：国出=2+3两边除以2n+,得条=粤+且，则书骞=3故数列目是 n n2n 11 2n 22n 1 2n 22na1 23 _ an3以w=2=1为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得t=i + (n1), 21222n2 31c所以数列an的通项公式为an =(n)2n。 22评注：本题解题的关键是把递推关系式 an = 2an +3x

2、2n转化为 养 -an =：,说明数列 a-是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出殳=1 +(n-1)1 ,进而求出数列an的通项公式。练习题：1 .已知数列an满足an书=3an+2m3n+1,4=3,求数列an的通项公式。2 .已知数列n 满足a1 =- , an由=an +二一,求an2n2 - n例2 已知数列an满足an+=an +2n +1, a1 =1 ,求数列an的通项公式。解：由 and! =an +2n+1 得 an书一an =2n+1 贝u-可编辑修改-an =(an - an)(an-an/) iii (a3 - a2)(a2 - ai) ai= 2(n -1)

3、1 2(n-2) 1 |h (2 2 1) (2 11)1= 2(n -1) (n -2) | 2 1 (n -1) 1= 23n (n.1)12=(n -1)(n 1)12 二 n所以数列an的通项公式为an = n2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an邛 = an + 2n+1转化为an卡-an = 2n +1 ,进而求出(an an)+(anan_2)*| *(a3 a?) *(a2 a)*a1 ,即得数列an的通项公式。二、累乘法类型 2 an 1 = f (n)an解法：把原递推公式转化为a= f(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。an例3已知数列an满足an4=2(n+1)5

4、nm an, a1=3,求数列an的通项公式。解：因为 an=2(n+1)5nma。，4=3,所以 a0#0,则 汕=2(n+1)5n,故anan ana3 a2anaianan 2a2 &= 2(n -1 1)5142(n -2 1)5 iii 2(2 1) 522(1 1) 51 3= 2nn(n-1)川 3 2 5(n”nw21 3n (n)二3 2nl 5 n!n(n -1)所以数列an的通项公式为an =3父2n4m5 mn!.评注：本题解题的关键是把递推关系&由=2(n+1)5n man转化为 电土 =2(n + 1)5n,进而求an出n，互主相，组，曳.，a1，即得数列an的通项

5、公式。 an 4 ama2 a1例 4 已知数列an满足 a1 =1, an =a1+2a2+3a3+ih+(n-1)an(n 之 2),求an的通项公式。解：因为 an =a1 +2a2 +3a3 +川 +(n 1)an(n 之 2)所以 an + = a1 +2a2 + 3a3 +| +(n 1)an+ nan用式一式得an i - an = nan.贝u an i. =(n 1)an(n _2)故且a = n 1(n 2) an所以 an= an1111 a2= n(n -1) !ll 4 3a2= a2.anan _2 a22由 an =a1 +2a2 +3a3 +川 +(n 1)an

6、(n 2),取n =2得a2 =a +2a2,则 a? = a，又知n!a1 =1,则 a2 =1,代入得 an =1 3 4 5 iii n=o2n!所以，an的通项公式为an= .2评注：本题解题的关键是把递推关系式an书=(n+1)an(n22)转化为 包 = n + 1(n2),an进而求出-an- a工$11 a2，从而可得当n之2时，an的表达式，最后再求出数列4的 anqanqa2通项公式。练习题：1.已知数列 右n 满足a = 2 , an+=-n- an ,求an3n 13n -12.已知 a=3, an+=an (n 至 1),求 an3n 2三、待定系数法类型 3 an4

7、 = pan+q (其中 p,q 均为常数，(pq(p 1) # 0)。解法(待定系数法)：把原递推公式转化为：an书-1 = p(an -t),其中t = ,再1- p利用换元法转化为等比数列求解。例5已知数列an满足an4=2an +3m5n, a1 = 6 ,求数列an的通项公式。解：设 an4+xm5n* =2(an+x m5n)将an4=2an +3m5n代入式，得 2an+3m5n+x 5nh1 = 2an+2xm5n ,等式两边消去 2an ,得3 w +x4* =, 5,两边除以5n ,得3 + 5x = 2x则x = 1代入式得 an + -5 +=2(an -5 )a _

8、5n 1由a151 =65=1 #0及式得an5n#0,则上一=2,则数列an5n是以 an -5a151=1为首项，以2为公比的等比数列，则 an 5n =2n,，故an =2n/+5n。评注：本题解题的关键是把递推关系式an+=2an + 3m5n转化为an由5n木=2(an 5n),从而可知数列an-5n是等比数列，进而求出数列 an-5n的通项公式，最后再求出数列 an的通项公式。练习题1已知数列an满足an* =3an +5父2n +4, a1 =1,求数列an的通项公式。2练习题2已知数列an满足an4=2an +3n +4n+5, a1 =1 ,求数列an的通项公式。过关练习：1

9、 已知数列an1中，a1 =1 , an+=2an+3,求 an2在数列an中，若a1 =1,an甲=2an +3(n 1),则该数列的通项an四、数学归纳法例6已知数列an满足an书=an +8(n12 , ai ,求数列an的通项公式。(2n1)2(2n 3)29解:an 1 二 an吗t)2及8(2n 1)2(2n 3)29a2-ai8(1 1)_2 _ 2(2 1 1) (2 1 3)88 2249 9 25 - 25a3二a28(2 1)_2_42(2 2 - 1) (2 2 3)248 34825 25 49 - 498(3 1)488 480a4 = a3 22 二 二(2 3

10、1) (2 3 3)49 49 8181,(2n 1) -1 八 由此可猜测an =(-，往下用数学归纳法证明这个结论。(2n 1)2,(2 1 1)2 -1 8“(1)当n=1时，a =(2 1 1) 21 =8 ,所以等式成立。(2 11)9(2 k 1)2-1(2)假设当n=k时等式成立，即ak = (2k l1,则当n = k+1时,k (2k 1)2ak 1 = ak8(k 1)(2 k 1)2(2k 3)22(2k 1)2 一18(k 1)= z2-22(2k 1)(2k 1) (2k 3)(2 k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(

11、2k 3)2 -(2k 3)2 8(k 1)2(2k 1)2(2k 3)2-2 -2-2(2k 1) (2k 3) -(2k 1)22(2k 1)2(2k 3)2-2(2k 3) -1一(2 k 3)22(k 1) 12 -122(k 1) 12由此可知，当n = k +1时等式也成立。一 .根据(1), (2)可知，等式对任何 nw n都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。其他类型类型 4 an = pan+qn （其中 p , q 均为常数，（pq（ p1）（q-1） = 0）。 （或 an+= pan+r

12、qn淇中p, q, r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn*,得：与震=卫*+,引入辅助数列q q q q&（其中bn =）,得：bn书=艮+1再待定系数法解决。 qq q课后练习题已知数列qn）中，a1 = , an书=1 an+（，）n* ,求an。632类型5递推公式为sn与an的关系式。（或sn = f （小）这种类型一般利用$ (n = 1)an = 一 一， 一、sn - sn(n 2)an =sn sn= f(an) f(an)消去 sn(n 之 2)或与 sn = f (sn sn_t) (n2)消去 an进行求解。课后练习题 已知数列on 前n项和sn = 41- an -27j .（1）求an+与an的关系；（2）求通项公式an.类型 6 an 1 = pan an b