概率论讲义(茆诗松)

1、第二章随机变量及其分布 教学I的与教学要求：理解随机变量的概念；掌握离散和连续随机变量的描 述方法；理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质；会利用概率 分布计算有关事件的概率；掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均 匀分布等；会求简单随机变量函数的概率分布及特征数。 教学重点：不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连 续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布。 教学难点：概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布。 教学措施：理论部分的教学多釆用讲授法，注意思想方法的训练，讣算类问 题采用习题与讨论的方法进行教学。 教学

2、时数：20学时 教学过程： 随机变量及其分布 例(1)掷一颗骰子，出现的点数X： 1、2、6； (2) 个产品中的不合格品个数Y： 0、1、2、； (3) 某商场一天内来的顾客数Z： 0、1、2、； (4) 某种型号电视机的寿命T： O,+s) 2.1.1随机变量的概念 定义2. 1. 1定义在样本空间。上的实值函数称为随机变量，常用大写X、 Y. Z等表示；随机变量的取值用小写字母兀、y、z等表示。 注意：(1)随机变量X(e)是样本点。的函数，其定义域为G,其值域为 r =(yo,+s),若X表示掷一颗骰子出现的点数，贝iJX=1.5是不可能事件； (2) 若X为随机变量，则X =k. a

3、Xb.均为随机事件，即： a X b = coa ) /?) czl ； (3) 注意以下一些表达式： X=k = Xk-Xk aX b = X b-X b = Cl-X b (4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量。 两类随机变量： 若随机变量X可能取值的个数为有限个或可列个，则称X为离散随机变量; 若随机变量X的可能取值充满某个区间34,则称X为连续随机变量，其中可 以是Y, b可以是+00。前例2. 1.1中的X、Y. Z为离散随机变量；而T为连 续随机变量。 2.1.2随机变量的分布函数 定义2.1.2设X是一个随机变量，对任意实数x,称 F(x) = p(Xx) 为随机变量X的分布

4、函数，且称X服从F(x),记为X F(x),有时也可用 竹(尤)表明是X的分布函数。 定理2. 1.1任一个分布函数F(x)都有如下三条基本性质： (1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(YO,”3)上的单调非减函数，即对 任意的 x, x2,有 FCq) F(x2)； (2) 有界性：Vx,有0SF(x)l,且 F(yo) = lim F(x) = 0 F(+oo) = lim F(x) = 1 (3) 右连续性：F(x)是x的右连续函数，即对任意的有 lim F(x) = F(xg) 即：F(x0+0) = F(x0)o 注：(1)上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件；

5、 (2) 有了分布函数的定义，可以计算： p(aX b) = -F(b-0)等。 2. 1.3离散随机变量的概率分布列 定义2. 1.3设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是x,、兀、 儿、，则称X取匕的概率 Pi = pg) = P(x =xi)(, = 1,2,仏) 为X的概率分布列或简称为分布列，记为X门。 分布列也可用下列形式表示： X 兀2 % p PW P(v2) p( (2) 离散随机变量的分布函数为：F(x) = 2；/Xxf)o 求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值； (2) 计算每个取值点的概率。 对离散随机变量的分布函数应注意： (1

6、) F(x)是递增的阶梯函数； (2) 其间断点均为右连续的； (3) 其间断点即为X的可能取值点； (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值。 例2.1.2已知X的分布列如下： 求X的分布函数 x0 0 xl 1 x 2 2x 解: F(x) = 1/3 1/2 例2.1.3已知X的分布函数如下，求X的分布列 x0 0 x 1 lx2 2 0 ； (2) 正则性：匚 p(x)dx = 1 o 注：(1)上述两条可以作为判断一个函数是否为密度函数的充要条件； (2) p(a X /?) = p(xlx ； (3) 尸(对是(上的连续函数； (4) p(X =x) = F(x) - F(x-0)

7、 = 0 ； (5) p(a X b) = p(a X b) = p(a X h) = p(a X b) = F(b)一F(a)； (6) 当F(x)在x点可导时，p(x) = Fx),当F(a)在x点不可导时，p(x) = 0。 离散随机变量与连续随机变量对比： 离散随机变量 连续随机变量 分布列：Pi - p(X - x)(唯) 密度函数：Xp(x)(不唯一) F(x) =MX J 30 F(a) = F(a + 0)且 p(a X b) = F(b) F(a) 点点计较 p(X =a) = 0 F(x)为阶梯函数，即: F(x)为连续函数，即： F(a)丰 F(aO) F(a) = F(

8、a _0) 例2. 1.4设火 ;(2) F(x) F(x)= 例 2. 1.5 设“ 解：F(x) = 例2. 1.6设X与 pM = ,求常数k x0 x0 o l+x -lx0 P(x)= 1-x 0 xl ,求 F(x) 0 其它 0 xvl 1 + X + - 2 -lx0 o 1 丄丄 0 xl 2 1 x 丫同分布，X的密度为 0 x a和3 = Y。独立，且p(AU3) =二，求常数“ 4 解：因为p(A) = p(B) 9且A、B独立，得 (A U B) = p(A) + p(B)-p(AB) = 2/?(A)-/?(A)2 3i 再由 p(AjB) = -解得：p(A) =

9、 - 由此得0vo a) = J = _寻 从中解得a =返。 随机变量的数学期望 数学期望的概念 例2.2.1 （分赌本问题）若屮乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元，无平局, 谁先赢3局，则获全部赌注，当甲贏2局.乙赢1局时，中止了赌博，问如何分 赌本 赌本有两种分法： 2 1 （1）按已赌局数分：则屮分总赌本的三、乙分总赌本的丄； 3 3 （2）按已赌局数和再赌下去的“期望”分：设再赌下去，则再赌两局必分胜 负，共四种情况：甲屮、屮乙、乙屮、乙乙。于是，甲的所得X是一个可能取 值为0或100的随机变量，其分布列为： X 0 100 P 1 4 3 4 I3 甲的“期望”所得是：0 xl +

10、100 x- = 75o 44 这就是数学期望的山来，乂称期望或均值，数学期望是一种加权平均。 2. 2. 2数学期望的定义 定义设离散随机变量X的分布列为 （X =齐）=（兀）（, = 1,2,仏） 若丈Ml3）v+s,则称E（X） =丘舌心）为随机变量X的数学期望，简 r-1r-1 称期望或均值。若级数|召1（兀）不收敛，则称X的数学期望不存在。 r-1 定义设连续随机变量X的密度函数为（X） 若 J Ixl p(x)clx +O0 则称 简称期望或均值。若级数 E（X） = xp（x）dx为随机变量X的数学期望, 匚IxlpdMr不收敛，则称X的数学期望不存在。 例设随机变量X的分布列如

11、下： X -1 0 1 2 P 求 (X) 解:E(X) = -lx0.2 + 0 x0.l + lx0.4+2x0.3 = 0.8a 数学期望的性质 定理 设随机变量x的分布用分布列(舌)或用密度函数”a)表示，若x的 某一函数g(X)的数学期望E(g(X)存在，则 E(g(X) = 1 r-1 Lc ggpEcLx 例设随机变量X的概率分布为: X 0 1 2 n 1 1 1 r 2 4 4 求 E(X2 + 2) 解:E(0+2) = (0,+2)x丄+ (F + 2)x1 + (22+ 2)x 244 3 613 =1 = O 4 44 数学期望的性质： (1)若c是常数,则E(c)

12、= c； (2) 对任意的常数有E(aX) = aE(X)； (3) 对任意的两个函数gi(x)、g2(x)，有 E( (2) (X-2)2 解： E(2X-1) = |； (2) E(X-2)2= o 随机变量的方差与标准差 数学期望只能反映平均值即X取值的中心，有很大的局限性，在一些悄况 下，仅知道平均值是不够的，还要讨论随机变量与其平均值的偏离程度，用什么 量去表示随机变量X与其数学期望的偏离程度呢显然，可用随机变量 I X - E(X) I的平均值E(l X-E(X)I)来表示X与E(X)的偏离程度，但为了数字 上处理的方便，通常用E(XE(X)2来表示X与E(X)的偏离程度。 方差与

13、标准差的定义 定义若随机变量X：的数学期望E(X2)存在，则称偏差平方(X-E(X)2的 数学期望E(X-E(X)2为随机变量X (或相应分布)的方差，记为 Var(X) = E(X-E(X)2= +3C 工(兀-E(X)门心) r-l (x-E(X)2p(x)c/x 在离散场合 在连续场合 称方差的正平方根为X (或相应分布)的标准差，记为b(x)或出。 注意：(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度。方差越大，则随机 变量的取值越分散。 (2)标准差的量纲与随机变量的量纲相同。 方差的性质 性质 畑(X) = E(X2) (E(X)2 性质若c为常数,则Var(c) = 0。 性质 若

14、 “、b 为常数,则 Var(aX+b) = a2Var(X). x 例设 X p(x) = 2 x 0 0 xl 1a0,有 “(I X-E(X)*)或 p(X-E(X)1-XU，(X - 定理 若随机变量X的方差存在，则Var(X) = 0的充要条件是X儿乎处处为 某个常数，即p(X=a) = . 常用离散分布 二项分布 定义如果随机变量X的分布列为 伙=0,1,.) 则称这个分布为二项分布，记为X以儿“)。 当=1时,称“1, /7)为二点分布或0- 1分布。 Q 例设X b(2、p)、Yb(4 已知p(Xr)= -,求p(Yni) 8i 解：由 p(XY) = -知 ”(X=0) =

15、6，于是 C(l-仍叫 从而解得/?=|,所以 /?(yl) = l-/?(y = 0) = 1- C：)(2/3)(l/3)“ = 80/81 o 二项分布的数学期望与方差： n k !（“一）! pF (m) 设 X b(n,p),令q = _ p ,则 e（x）= MX=） = kc； p/ A-0A- =ijpX 2 -1）! 伙 _1）!（拜_1）_伙_1）! 2 又因E(XB =才C宀协伙一1) +灯爲二严旷 = 心-1) J1 n! 伽一)! pkQ =灯(-1)2工 + np (川 _ 2)! 2 5-2)-仏-2) 伙2)!(舁2)伙 一2) =讹- 1巾吆C：f严2)3)

16、+砂 22 =/?(n-l)/?2(/? + )H2 +np = n(n-)p2 +np 于是Var(X) = E(X2)-(E(X)2 =n(n-V)p2 +np-(np)2 =npq o 泊松分布 定义如果随机变量X的分布列为 lk p(X =灯=一厂伙=0丄) k 其中参数兄0,则称这个分布为泊松分布，记为XP(2)。 泊松分布的数学期望与方差： 设X 陀),则 +3C+x Q k+ j H E(X) =，kp(X = k) =，k e7 = AeA V= Aee = A 台幺 k!幺伙-1)! ooj k+q k 又因e(x2)=/牛戶=伙伙一 i)+幻牛 x-o R!dk! +xk十

17、A 2 k+30 2 女一2 hk台k台伙-2)! =A2eAeA + 2 =才 + 2 于是巾7*(X) = E(X2)-(E(X)2=/l2+/l-，=/l。 二项分布的泊松近似： 在二项分布中，当“较大时，直接计算是很麻烦的，下面我们给出一个当n很大而Q很小时的近似计算公式。 定理（泊松定理）在“重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为 pn （与试验总数有关），Um npn = 2（2 0为常数），则对任意确定的非负整 数k,有 lim b（k;n、pj = lini k 证明：设Atl =啊，则pn= 于是 n b伙;儿几）= G；忧（1-几 n（”_l）（_ + l） k n

18、n = xlx（l丄）（1 2）.（1 口 ）（1盒）（1盒尸 k!n nn n n 对任意确定的 k,当 m +8 时= 1,2, -J -1）、 V nJ 所以 lim Z?伙;mJ = o ” T+W* A 在实际计算中，当n20, “50.05时，上式的近似值效果颇佳，而nhlOO 且np0时，效果更好。 超儿何分布 定义如果随机变量X的分布列为 Ffi/ P（X =k） = （k =0,1,丿） 其中 = minM,川、MSN、n m + n X m) = n) o 定义如果随机变量x的分布列为 p(X=k) = Cpr(l-p)k-r 伙=人+ 1,.) 则称这个分布为负二项分布(

19、巴斯卡分布)，记为X Nbg)。 负二项分布对应于抽样模型： X为独立重复的伯努里试验中，“第门欠成功”时的试验次数。 注：(1)二项随机变量是独立0-1随机变量之和; (2)负二项随机变量是独立儿何随机变量之和。 常用连续分布 正态分布 定义若随机变量X的概率密度函数为 p(x) = j e 当x1.52)； (3) /?(% -1.52)； (4) /?(-0.75 X 1.52) ； (5) p( X 1 1.52) 解：略。 非标准正态分布的计算： 定理若 X则 Y = iN(O,l)。 b 利用定理，将非标准正态分布化为标准正态分布计算，即 若XNgb、则令丫 =兰二上，于是 7 例

20、 若X N(10 (2)若p(Xa) = 0.95,求 常数d 卸小V)02 108X-108117-108、 ffi?： (1) p(102 X 117) = p() 117-108102-108 =D(一)一割一:)=(3) - (一2) = 0(3) + (2) -1 =0.9987 - 0.9772 -1 = 0.9759 3 (ii / vX108 a 108 a 108 c (2) |l p(X a) = p(:)= (一；一) = 0.95 反查表得：(1.645) = 0.95,于是 d-108/ =1645=“ = 112.935。 3 正态分布的数学期望与方差： 设 X 贝

21、|J E(X) = j* x-j=e 2a dx = -= I (/ + at)e 2dt *oc . re 2dt *2 W/r(X) = E(X-E(X)2 =厂dx = -= J-x妬b厉 正态分布的3b原则： X -X k = k = 2 k=3 fO.6826 p( X - “ I) v kb) = p(k) =伙)-(一幻= 0.9545 旷0.9973 可见在一次试验中，X儿乎必然落在区间(“-36 + 3b)内，或者说，在一 般情形下，X在一次试验中落在区间(“-3b,“ + 3b)以外的概率可以忽略不计, 这就是通常所说的3b原则。 252均匀分布 定义若随机变量X具有概率密

22、度函数 ! axb (x) = b a 0 其它 则称x在区间(“*)上服从均匀分布，记为x uab)o 相应的分布函数为： 0 xa F(X)= axb b-a 1bx “(X)和F(x)的图形分别如下图所示： 5) 由 X (0,10)得 /? =/?(X 5) = l/10t/x = 0.5 于是，所求概率为 p(Y 23) = C(1 -p) + C=4 x 0.54 + 0.54 =。 16 均匀分布的数学期望与方差： 设xug,则 em小i字 e(x2)= Ja b-a a2 +ab + b2 3 于是U“(X) = E(X2)-(E(X)2W空)2 =匕匸 o 253指数分布 定

23、义 若随机变量X具有概率密度函数 P(x)= x0 x0,则称X服从参数为2的指数分布，记为XExpW o 相应的分布函数为: 0 x0 x0、/0, 有 p(X s+tX s) = p(X t) o 证明:lkX-Exp(A)知 p(X s) = 乂因Xs+tciXs9 于是 p(X s + tX s)= e = p(X t) o pX s) e 例2. 5. 4若某设备在任何长为f的时间0,/内发生故障的次数N服从 P(加)，则相继两次故障之间的间隔时间TExp(A)。 证明：由W)P(),则 p(N= =竿宀 伙=0,1,.) k 乂因两次故障之间的间隔时间T是非负的随机变量，且事件Tt

24、表明此设 备在0,/没有发生故障，即Tr = N(/) = 0,于是 当/) = l p(N(r) = 0) = l eS 于是T的概率密度函数为 AeA/ t 0 几珂0z 0。 伽玛函数具有如下性质： (1) 厂(i)= i、r(i/2)= 77 ； (2) V(a + ) = ar(a),当a为自然数“时，有 r(7? + l) = 7?r(/2)= 7?! 定义若随机变量X具有概率密度函数 严严x0 p(x) = r(a) 0 x0为形状参数，20为尺度参数，则称X服从伽玛分布，记为 X Gu(ct,A) o 伽玛分布的数学期望与方差: 设XGa(a9A),则 E（X） = r（a +

25、 l） _ a 2r（a）2 E(x?)=丄广严严心=W + 2)=处小) r(a)JoA2r(a) A2 于是 W/r(X) = E(X2)-(E(X)2 =_()2 = J o 定义若随机变量X具有概率密度函数 宀肿- %o #(劝彳2”/2厂(刃/2) 0 x0、/70o 贝塔函数具有如下性质： (1) B(a、b) = B(b、a)； （2） B（aQ = 厂（）厂（方） r（a + h） 定义若随机变量X具有概率密度函数 Ovxvl r（6/ + /） pW = r（6/）r（z?） 其它 其中“0、b0都是形状参数，则称X服从贝塔分布，记为XBe(a.b). 贝塔分布的数学期望与方差: 设 XBeW 贝 IJ r(6/)r(z?)r(o+z?+i) u+b E(X) = r(6/+b) iww r(a + b) r(a + 2)r(b)_ a(a + ) r()r(b) r(a + b + 2)(a + b)(a +/? + !) 于是 Var(X) = E(X $) - (E(X )2 = a(a + ) (d + b)(d + Z? + l) )2 _ab (a + h)2(a + b + ) 贝塔分布的特例： (l,l) = t/(O,l)。 随机变量函数的分布 在实际问题中，我