解三角形完整讲义

1、正余弦定理知识要点:1、正弦定理abc2R或变形:sin Ca: b :csin A:sin B:sin Csin Asin BcosAb22 c2 a2、余弦定理：2 ab22 c2 2 b c2 2 a cb2 a22bccosA2accosB 或2ba cosCa22bc2 cb2cosBb22ac2 a2 ccosC2ab3、解斜三角形的常规思维方法是:(1 )已知两角和一边(如 AB、C),由 A+B+C =n求C,由正弦定理求 a、b;(2) 已知两边和夹角(如 a、b、c),应用余弦定理求 c边；再应用正弦定理先求较短边所 对的角，然后利用 A+B+C = n,求另一角；(3)

2、已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A),应用正弦定理求 B,由A+B+C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；(4) 已知三边a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由A+B+C = n,求角 G4、 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定 理及几何作图来帮助理解”。6、 已知三角形两边 a,b,这两边夹角 C,贝U S= 1/2 * absinC7、 三角学中的射影定理：在ABC中，b a cosC c cosA，8、两内角与其正弦值：在厶 AB

3、C中，A B si nA sin B，【例题】在锐角三角形 ABC中，有 (B )A . cosAsinB 且 cosBsinAB. cosAsinB 且 cosBsinB 且 cosBsinAD. cosAsinA2、 在厶 ABC 中，a= 23 , b = 2 2，B= 45。，则 A 等于(C )A. 30B . 60 C . 60 或 120 D. 30。或 1503、 ABC的内角A,B, C的对边分别为a,b,c,若c.2,b -G B120o，则等于()A.B. 2C.D.4、已知 ABC中,A 30o, C105o, b8，则a等于(B )A. 4B.4、2C.4、3D.4、

4、. 55、在厶ABC中，a=10, B=60 ,C=45 ,则c等于 (B)A. 10、3B. 10 .31C.、31D. 10、31 l6、已知ABC的内角A , B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA , b sinB ,则a等于()3A .空B.兰C .1D322ABC中，B 45 , C60, c 1，则最短边的边长等于& ABC 中，A： B1:2 , C的平分线CD把三角形面积分成3: 2两部分，贝U cosA证明:cos2A2acos2Bb21 2si n2A2a1 2sin2 Bb1 1 c sin2 Asin2 B22 . 2 2 . 2a ba b由正弦定理得:sin2

5、 A.2 sinb2cos 2 A2 acos2Bb21 1a2b2(C )113A .B .C .D . 03249、在厶 ABC中,证明：cos2A2cos2B21 12 2 。aba b专题：两边之和1、在厶 ABC中，A= 60, B= 45, a b12，则 a=(36 12 .6, 12 -624 )、2 sinC -2、已知 ABC的周长为 2 1，且si nA sin B(1)求边AB的长;1(2 ABC的面积为严6求角C的度数.专题：三角形个数、 ABC中，/ A=60 , a= 6 , b=4,那么满足条件的厶ABC(C )A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定2A

6、ABC中,a=1,b=, 3,/ A=30 ,则/ B等于(B)A . 60B.60 或 120C .30 或 150D. 120 3、在厶ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是(D )A. b = 10 , A = 45 , B = 70 B . a = 60 , c = 48 , B = 100C. a = 7 , b = 5 , A = 80D . a = 14 , b = 16 , A = 454、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（D ）A . a=1,b=2 ,c=3B. a=1,b=2，/ A=30C . a=1,b=2, / A=100C. b=c=1, / B=

7、455、在厶 ABC中,a= 12, b= 13,C= 60,此三角形的解的情况是（A.无解B . 一解C.二解D.不能确定6、满足A=45 ,c= . 6 ,a=2的厶ABC的个数记为m,则a m的值为（A ）A. 4B. 2 C. 1D.不定7、已知 ABC中, a181,b209, A 121，则此三角形解的情况是无解8、在厶ABC中，已知b50 ,3 , c 150 , B 30o,则边长 a。100亦或50方专题：等比叠加2、在厶 ABC 中，A=60 , b=1,面积为a b csin A sinB sinC2、393专题：变式应用1、在厶 ABC中，若/ A: / B: / C=

8、1:2:3,1:,3:22、已知 ABC 中，a : b : c = 1 :3 :2,则 A：B： C等于(A )A. 1 : 2 : 3B. 2 : 3 : 1C. 1 : 3: 23、在厶ABC中，周长为，且si nA : sinB:sinC = 4:5： 6,下列结论：a : b: c 4:5:6a : b:c 2 : .5:6 a 2cm,b2.5cm, c3cm A: B:C 4:5:6 其中、 ABC中,若 A 60o , a.3 ,则a b c等于(A )sin Asin B sin CA .21 B .C .3D.二22成立的个数是A. 0个B. 1个C.D.4、在厶ABC中，

9、已知边c/ c cos A10, cosB3求边a、b的长。si nB解：由，sinA ,可得，变形为 sinAcosA=sinBcosB,/ sin2A=sin2B,又.aM b, - - 2A= n 2B, A+B=. ABC为直角三角形由 a2+b2=102 和，解得 a=6, b=8。5、在厶ABC中，角A、B C所对的边分别为a、b、c ,若.3b c cos A acosC，则cos A 。6、设锐角三角形 ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c , a 2bsinA. (1 )求B的大小；(2 )求cos A si nC的取值范围.专题：求取值范围、 ABC中，已知a

10、 x,b 2, B 60。，如果厶ABC两组解，则x的取值范围(C)4 l4厂A. x 2B. X 2C. 2 x Q 3d. 2 3332、 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的取值范围是( B )A. 1 x 5 B .,5 x ,J3 C . 0 x .5 D.,13 x 53、在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 2答案：设由正弦定理得由锐角得，又，故，所以余弦定理专题：公式应用1、在厶 ABC中,a= 3, b=, c= 2,那么 B等于（C ）A. 30B. 45C. 60D. 1202、在三角形ABC中，AB 5, AC 3, BC 7，则BAC的大小为（3、4、5、6、

11、7、9、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为A. 90B. 120C. 135D. 150在厶ABC中,在厶ABC中,A. 900a 3 3,c若(a c)(aB.2, Bc)600在厶ABC中，三边长分别为A. 38.37在厶ABC中,已知a2 b2150,则 b =b(bC.c)，则 A ( C1200D.150在钝角 ABC中,已知a 1, b设a、b、c是ABC的三边长,A. f(x) 0 B.f(x) 09、三角形的两边分别为A. 523,b5,c 6,则 bccosAcacosBabcosC的值为.3635bc，则角A为（C）D.2，则最大边对任意实数C. f (x)c的取

12、值范围是。、5x, f (x) b2x2 (b2 c2 a2 )x0 D. f(x) 05和3,它们夹角的余弦是方程的根， 则三角形的另一边长为（B.C . 16D. 4c2有10、 在厶ABC中，已知AB=4, AC=7, BC边的中线AD -，那么BC=92 11、 设 A B、C为三角形的三内角,且方程(sinB sinA)x2+(sinA sinC)x +(sinC sinB)=0 有等根，那么角 B ( D )A . B60 B . B 60C . B60D. B 1，则 ABC ( A )A.定是锐角三角形B. 可能是钝角三角形C. 一定是等腰三角形D.可能是直角三角形2、A.直角

13、三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形D.等腰三角形3、A ABC中, b 60o，b2 ac，则 ABCr曰定是A.锐角三角形 B. 钝角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为A.锐角三角形 B. 直角三角形 C.钝角三角形D.由增加的长度决定, a b c5、A ABC中，则cosA cosB cosCABC -定是在厶ABC中，角均为锐角，且则 ABC的形状是（CA.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形D. 等边三角形6、在厶ABC中，若cosAacosBbsi nCc则厶ABC( BA.有一内角为C.有一内角为3

14、0的直角三角形30的等腰三角形B.等腰直角三角形D.等边三角形7、 若厶ABC的内角 A B C的对边分别为 a b c，且acosA bcosB，则（）A. ABC为等腰三角形C. ABC为等腰直角三角形B. ABC为直角三角形D. ABC为等腰三角形或直角三角形8、 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b c，根据下列条件判断三角形形状:(1). (a b c)(b c a) 3bc,且 sinA2si n B cosC，则 ABC 是(2). (a2 b2)si n(A B) (a2 b2)s in (A B)，则 ABC 是9、若(a+b+c)(b+c a)=3abc,且 sinA=

15、2sinBcosC, 那么 ABC是A 直角三角形B.等边三角形C .等腰三角形D等腰直角三角形10、在厶 ABC中，已知 2sinAcosBsin C ,那么 ABC -定是(D.正三角形A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 11、在厶 ABC中，若 acosA bcosB，则 ABC的形状是（D ）D.等腰或直角三角形A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形 12在 ABC中，a , b , c分别为角 A, B , C所对边，若a 2bcosC，则此三角形一 定是（C ）A.等腰直角三角形B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D.等腰或直角三角形13、在厶 ABC中，若 t

16、an Atan BA.直角三角形B.等腰或直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形14、已知锐角三角形的边长分别为1, 3, a，则a的范围是(A.8,10B.8,. 10 C.8,10D.10,815、A为厶ABC的一个内角,且 sinA+cosA=,则厶 ABC是12三角形钝角16、在厶ABC中，已知2a2c， sin A sinBsinC，试判断厶ABC的形状。解：由正弦定理asin A sinB盘C 2R得:sinA2R，sinBb2RsinC 2R。所以由sin2 AsinBsinC可得:(2R)2b c2R 2R，即:a2 bc。又已知2a bc，所以 4a2 (b c)2 ,2所

17、以 4bc (b c)，即(bc)2因而bc。故由 2a b c得：2a bb 2b， a b。所以 a b c， ABC为等边三角形。17、已知的三个内角 A B、C所对的边分别为，向量，且.(1)求角A的大小；(2 )若，试求当取得最大值时的形状9.解：(1)由2a=，则 ABC的形状是(B )b2又因为解得分()在，即，又由(I)知所以，为正三角形18、在4 ABC中,求分别满足下列条件的三角形形状:B=60 ,b2=ac ；由余弦定理cos60a2 c2b22aca2 c2 b21a2 c2 ac ac(a c)22ac20 ,b2 sin AcosAa2 sin BcosB2sin

18、BcosA bsin AcosB a2 2sin B.2sin Asin A cos A sin B cos B, sin 2Asin2B,a c.由a=c及B=60可知 ABC为等边三角形 b2ta nA=a2ta nB ;由 b2 ta nA a2 ta nB A=B或 A+B=90 , ABC为等腰或 Rt.a b,再sinC=sin B sinC sinA sin B ,由正弦定理： c(cosA cosB)cosA cosBcosA cosB 由余弦定理：2 2 2 2 2 2a b ca c b.cca b2bc2acABC 为 Rt(a b)(c sin2AcosAsin B s

19、in B a2 b2)0, c2a2 b2,(a2 - b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B).由条件变形为需22a b22a bsin(A B) sin(A B) a2 sin(A B) sin(A B) b22sin Acos B sin Asin 2B, A B 或 A B 90 ABC是等腰或 Rt .专题:1、在 ABC中，如果 sin A:sinB:sin C2:3: 4，那么cosC等于2、在 ABC 中，已知 sin A: sin B : sinC6:5:4，则 cosA3、在厶ABC中，b c : c4:5:6，则厶ABC的最大内角的度数是1204、在厶 AB

20、C中, a b 10，cosC是方程2x23x20的一个根，求 ABC周长的最小值。解:2x2 3xX12,X2cosC是方程2x23x20的一个则:c2cosC10010由余弦定理可得:a 5 275c 105、3c2a2b2 2ab?-25时，c最小且c 75 ABC周长的最小值为105 3b 2 ab5、在中，角所对的边分别为，且满足,(I)求的面积;(II )若，求的值.解 (1)因为，又由得，(2)对于，又，或，由余弦定理得专题：已知面积3 1、已知 ABC的面积为一，且b 2,c . 3，则/ A等于 (D )2A. 30B. 30 或 150 C. 60D. 60 或 1202、

21、在中，已知角、a b、所对的边分别是、，边，且C 60，又的面积为，则1123、已知中，则( )A. B . C .D .或4、 若厶ABC的周长等于20，面积是10._3 , A= 60，贝U BC边的长是(C )A. 5B . 6C. 7D. 815、在厶 ABC中，若 SA ABC (a2+b2 c2),那么角/ C=4 46、在厶 ABC中, BC= a,AC= b, a, b 是方程 x2 2,3x 20的两个根，且2cos A B1。求：角C的度数；(2)AB的长度。2、已知 ABC的三边长a 3,b 5,C 6，则 ABC的面积为 (B)解：(1) cosC cosA Bcos

22、A B12C= 120 a b2、3(2)由题设：ab2AB2AC2BC22 AC ? BC cosC a2 b2 2abcos120222 2a bab 2.3210ababAB . 107、在中，内角 A、B C的对边长分别为、，已知，且 求b解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得解法二：由余弦定理得:.又,.所以又，即由正弦定理得，故由，解得.专题：求三角形面积1、在厶ABC中，AB- 3 , AC 1,/ A= 30，则 ABC面积为 (B)A.3B3C.仝或.3D.乞或- 324242。40.3A., 14B- 2 14C.15D. 2、153、三角形的

23、一边长为 14,这条边所对的角为 60，另两边4、在厶 ABC中,a sin10 , bsin 50 ，/ C= 70，那么 ABC的面积为(C)1111A.-BC.D.64321685、 ABC 中，b 8,c &. 3 ,Svabc16,3，则A等于(C )A 30oB60oC30o 或 150oD60o 或 120o之比为& 5，则这个三角形的面积为6、在 ABC中, , sinB=.(I )求sinA的值；(II) 设AC=求ABC的面积.7、A、B、C为 ABC的三内角，对边分别为a、b、c,若cosBcosC sin Bsi nC(I)求 A ;(n)若 a 2、.3, bc 4，

24、求 ABC的面积.解: (I)1 cosBcosC sin BsinC -2cos(B C)B C - ABC(n)由余弦定理 a2b2 c2 2bc cosA得(2、(b c)22bc2bc2cos3即：12 16 2bc 2bc (丄),2bc 41 , . A1. 3bc sin A4222-S ABC8、在锐角三角形中，边a、b是方程x2 2 3 x+2=0的两根，角A B满足：2sin(A+B) 3 =0,求角C的度数，边c的长度及厶ABC的面积。厂至解：由 2sin(A+B) 3 =0 ,得 sin(A+B)= 2 ,/ ABC为锐角三角形 A+B=120 , C=60 ,又T a

25、、b 是方程 x2 2 3 x+2=0 的两根，二 a+b=2 3 , c= 61 - 亚並Svabcabsin C =2 x 2 X 2 =2 。2a b=2, c2=a2+b2 2a bcosC=(a+b)2 3ab=12 6=6, c= 6 ,Svabc -absinC=2 x 2 x f =29、已知 ABC的内角的对边分别为，其中，又向量m (1 , cosC) , n ( cosC ,1),m- n=1.(1)若A 45，求a的值;(2)若，求 ABC的面积.mn cosC cosC2cosC 1 cosC 12Q0 C180 C 60由正弦定理得,asin 45sin60 b22abcos604，二，510 在 AB