考点解释构建空间模型求解应用问题

1、精品资源考点解释构建空间模型求解应用问题刘大鸣默写应用问题常常构建立体几何模型求解定的两点口 木梁处于水 动一个角度三角知识陕西洋县中学（723300）数学的工具性和应用性越来越受到人们的重视1构建线和面的距离模型求解应用问题.例1 一根长为a的木梁ab它的两端悬挂在固q处，且在互相平行长度都是b的两条绳索下，平位置，如果把木梁绕通过它中点的。铅垂轴转邛，那么木梁升高多少？思维展示构建特殊的线和面的距离，利用线面垂直构建 求解.认识绕通过它中点的 o铅垂轴转动一个角度中的意义,如图，转动后木梁的位置为aibi,作a2b2/ab,则/bob=中 ,连b1b2,。为a1b1中点，在华等腰三角形 b

2、2ob可求出，b2bi=asin .而铅垂线始终垂直于水平面，故在直角三角形 qbr中易求qb= 1b2 _a2sin22，故木梁一 2升高 bb巾-b2.a2sin2 ；, 2学习体验 木梁的高度构造线面平行的模型，化为线面距离简化求解。2构建空间角的模型求解应用问题 .例2有一条东西方向的河流，离河岸若干米处有一探照灯，照着岸边某点，探照灯在这北方向，灯光与地面成450角，求灯光与河岸所成的角.思维展示如图，/ badh sab=46，且s在面abc上的射影为 b.bcl ad于c,连结sc由三垂线定理知，ac! sc.在三个直角三角形中知 cos/sac=cos/ sab- cosz b

3、ad=cos45）- cos450=1/2.故灯光与河岸所成角为 600.学习体验本题实质为教材习题“三面角公式”赋予实际应用背景，起源于最小角定理所构造的特殊四面体模型，只要有空间概念和方位角的意识，容易解决3构建空间距离模型求解的应用问题.例3 一只小船以10m/h速度，由南向北等过湖面， 在离湖面20m高度的桥上，一辆汽车由 西向东以20m/h的速度前进，现在小船在水面 p点以南40m处，汽车在桥上 q点以西30m处, 求小船与汽车间的最短距离（不考虑汽车和小船本身的大小；线段pq分别垂直于小船和汽车的路线）.思维展示应用问题构建异面直线两点距离公式的模型切入，n aq仿例题的求解方法，

4、化归为二次函数的最值求解经过t小时后，汽车在a点，小船在b点，则_c aq=30-20t,bp=40-10t,pq=20. .aq和pq确定确定的平面a，水面3 .m/b作 ac cp于 c,则 acl 3 , aq=pc , ac=pq=2斑结 ab,则有 ad=ad+bc=pq+bp2+pc2=202+(40-10t) 2+(30-20t) 2=1005(t-2) 2+9,当t=2时，小船与汽车间距离最短为30m.学习体验 异面直线上两点的最值问题，适当的构建辅助面，借助公垂线沟通关系建立目标 函数，用函数单调性求解。4构建多面体模型解决跨学科综合应用问题例4过氧化氢h2o2结构如图所示，

5、若h2o2分子的二面个&0h均为p, o _h键长为ri , o _o键长为2 ,求两个氢原 距离.思维展示.c,d为两氢原子，a,b为两氧原子化学问题空间化，用二面角的定义直接做二面角的平面角 借助构建异面直线上任两点的距离公式探讨过程，依题意有，.cab =/dba =b, ca =db = ri,过e做eg_ab于e,ab =r2,注意图形的对称性，过d做de_lab于e,过c做cfab于f,且 使 ge=cf, 连 接 gd,cg则.ged = : ,ge = de =1 sin 二.gd =2gesin =2r1sin -sin , 22gd _cg, cd2 =cg2 gd2=(r

6、2 -2r1cos - )2 4r12 sin2 - sin2 2. .cdbr2-2rico +4r21sin2 psi嗯为所求的距离学习体验 本题实质为异面直线上任两点间的距离赋予化学背景，可直接作出二面角的平面角构造三角形算距离，也可直接用异面直线上任两点的距离公式求解例5例1甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，四个氢原子为顶点构成一个正四面(原子和体的体 中的“分求.h为底面关系，用体纳入正方体正方体的外体，碳原子位于该正四面体中心，若将碳原子和氢原子均视为一个点，求氢键角 碳原子连线所成角).思维展示本题以化学中的应用问题为背景，其实质是探求正四面bi积，棱长，外接球，内接球之间的

7、关系，涉及到体积求解 割与补形”.如图，外接球和内接球的球心重合为o, cos/aom所三角形的中心，易知cos / aod工，只需研究r和r的 r积分割有方法1,设若每两个氢原子之间的距离为2 a,正四面体中，可知正方体棱长为a,正四面体的外接球半径即接球半径为切球和x3a,则正四面体的体积v=v正方体-4v锥2= = a3 _4 mx2a3.另一方面内23 23半径将正四面体分割成四个全等的正三棱锥，a, r =,3aa3 14r32v = = r 4s = 2a , r3 334,则r=疗其即cos zaod=3,而/ aod和/ hoe补，故所求角的余弦为角为 兀-arccos 1=109028 .3体中，探究若能把握正四面体和正方体共球，把正四面体纳入正方有方法2:如图，球心为0,所求角为na0b,则易知，1 -ao=bo=i3a ab = j2a ,由余弦定理可求角的余弦为2 ，氢键角为 n-arccos 1 =109028 .3学习体验第一次求正本题以分子结构中的空间问题为背景，突显正四面体的体积计算的两种方法, 四面体积“补形纳入正方体，割补法” ，这是由教材习题的学习体验决定的；第二次探求外 接球半径和内接球半径的关系用“体积分割法” ，这