概率论第三版第2章答案详解(20210315202551)

1、第二章 作业题解： 掷一颗匀称的般子两次，以X表示前后两次出现的点数之和，求X的概率分布.并验证 其满足式. 解: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格知才的可能取值为2, 3,4,5, 6,7,8,9,10,11,12o 并且，P(X=2) = P(X=12) = ; P(X=3) = P(X = 11) = ; 3636 P(X =4) = P(X =10) = ； p(x = 5) = P(X = 9)=帶； P(X

2、=6) = P(X=8) = A; g)备 6_ I 7 _ I P(X =k) = -(A=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, 3o 设离散型随机变量的概率分布为PX=k = aek = L2- 试确定常数 解：根据工P(X = k) = 1.得工必=1 ,即 = 1 o A -0A -01 一 e 甲.乙两人投篮时，命中率分别为 和,今甲.乙各投篮两次，求下列事件的概率： (1) 两人投中的次数相同；(2)甲比乙投中的次数多. 解：分别用4,50 = 1,2)表示甲乙第一、二次投中，則 P(AJ = P(A2) = 0.7, P(人)=P(入) = 0.3, P(B J = P(

3、B2) = 0.4, P( p(X =3) = -L = = 0； C； 10C； 10 P(X=2) = l06 0l = 03 所以力的分布律为 X 1 2 3 p 才的分布函数为 0 0.6 0.9 F(x)= x 1 x 2 2x3 设连续型随机变量才的分布函数为: F(x)= 0, In x, 1, XV 1, xe 求(1) PX29 P0X3), P2X2.5). (2)求X的概率密度函数/(x)。 解：(1)P(X2) = F(2) = ln2 P(0 v X v3) = F-F(0) = 1-0 = 1 P(2X 0, 0,x 0. (1)求常数上 (2)求X的概率密度函数f

4、(x) o (3)求 P/h4 X 0 0 x0 (3) P(Vln4 X Vlnl6) = F(v,flnT6)- ln!6In 4 t I = (l e 2 )一(1一0 2 ) = - = 0.25 o 4 设随机变量X的概举分布为: X 0 n 7 n 3龙 T Pk 解：(1) /的可能取值为0, n2, 4n 因为 P(Y = 0) = P(X =-) = 0.2 : 2 P(y = 2)= P(X =0) + P(X =-) = 0.7； P(y = 42) = P(X = ) = 0.1 2 所以/的分布律为 Y 0 n2 4n2 P (2) /的可能取值为T。 因为 p(y

5、= -1)= p(x = 0) + P(X = 0.7 ； P(Y = 1)= P(X =-) + P(X =) = 0.3 2 2 所以卩的分布律为 Y -1 1 P 设随机变童/的分布函数为 F(x)= 0.3 0.8 1 (1)求X的概率分布; x-l -1X1 x 2 (2)求Y = X的概率分布。 解：(1)才的可能取值为F(x)的分界点，即 因为 P(X =-1) = 03； P(X =1)=0.8-0.3 = 0.5； P(X = 2) = 1-0.8 = 0.2 所以才的分布律为 -1 1 2 P (2) /的可能取值为1,2。 因为 P(Y = 1) = PX = -1) +

6、 P(X = 1) = 0.8 : P(Y = 2) = P(X =2) = 0.2 所以r的分布律为 Y 1 2 P 设随机变量XN(0,l),求下列随机变量丫概率密度函数: (1) r = 2X-l;(2) Y = ex ；(3)y = X2. 解：(1)已知 fx (x) = _,=e 7 2兀 y +1 因为竹(刃=p(y y) = P(2X-ly) = P(X 2 求导得 A(y) = fx (葺丄)(岁)=|a (岁) 1 i 空 i 归 =丄 I p 2=_e S 2厉2厉 所以丫参数分别为T,公服从正态分布。 已知办(X)= ! e 2兀 Fy(y) = P(Y y) = P(

7、ex y) = P(X -lny) = -P(X - In y) = 1 - Fy (- In y) = 1-J dt 求导得 10,y0； 已知办二法r Fy (刃=Pa y) = P(X2 y) =XV7) x(V7)-Fx(-V?) 求导得 0 ,yo； 解：已知fxW o 其他 yy FY(y) = P(Yy) = P(2hyX y) = P(X e) = Fx(e) y yI yy 求导得 fy (y) = fx ()() = -efx 3) Z111 因为当 0 v，v/r,即 yv21n/r 时，/x 2)=;当 y 取其他值时 /x(2) = 0o 1 所以 齐O)= 习孑八y

8、ot 2。口曲t。 (3)离散 与连续型 随机变量 的关系 P(X = x) a P(x X x + dx) a f(x)dx 积分元f(Qdx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X = *)=以在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。 (4)分布 函数 设X为随机变董，X是任意实数，则函数 F(x) = P(X x) 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 Pa X b) = F(Z?)- F(a) 可以得到X落入区间(“,切的概率。分布 函数F(x)表示随机变量落入区间(-8, x内的概率。 分布函数具有如下性质： 1 0 F(x) 1,OOX 4-00 ； 2。 F(x)是

9、单调不减的函数，即XI X2时，有F(xi) -WC 4 F(x + O) = F(x),即F(x)是右连续的； 5 P(X=x)= F(x)-F(x-0)o 对于离散型随机変量，F(x) = 22: xkx X 对于连续型随机变量，F(x) = jf(x)dx o -X 八大 分布 0-1分布 P(X=1)=p, P(X=O)=q 二项分布 在重贝努里试验中，设事件A发生的概率为卩。事件A发生 的次数是随机变量，设为X,则X可能取值为0丄2, PX=k) = Pn g = CqZ,其中 q = 1一/儿0 v p 0, k =0丄2， k 则称随机变量X服从参数为久的泊松分布，记为X兀（兄）

10、或 者 p(/l) O 泊松分布为二项分布的极限分布（np=Xf 超几何分布 P(X =) 0,1,2 丿 C, 1 = min(M,) 随机变量X服从参数为 n, NtM的超几何分布，记为HCN, M）o 几何分布 P(X =k) = qklp,k = = 1,2,3,其中 p0, q=1-p. 随机变量X服从参数为 p的几何分布，记为G（p）c 均匀分布 设随机变量x的值只落在a, b内，其密度函数/（X）在a, b ? b _ a aWxWb fW = t b - 其他， 0, 则称随机变量X在a, 分布函数为 b上服从均匀分布，记为XU（a, b） C 9 0,xbo 当aWxKxWb

11、时，X落在区间（八孔）内的概率为 -X. Pg 0,则称随 X的分布函数为 x0 9 x0 x0o ?记住积分公式： wc xnexdx = n 0 正态分布 设随机变量X的密度函数为 1 仁L“) f (x) =， ,e 2，-oOXf 其中、b为帑数，则称随机变量X服从参数为“、 b的正态分布或高斯 （Gauss）分布，记为 X N（T）。 /（X）具有如下性质： r /（兀）的图形是关于x=p对称的； T当x = P时，/（“）=十为最大值； .如b 若八的。；）”地 遐的分布函数为 | e J2/KT J o o 参数=0、（7 = 1时的正态分布称为标准正态分布，记为 XN（O,1其葩函数记为 -0OX-BX), 分布函数为 1 ； (x) = 12 dt o J2zr ：x （Q是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 o (-x) =1-0 (x)且 e (0) = 如果 XN(“,b2), X乙 Pg X pa)= a o (7)函数 分布 离散型 已知X的分 O X 、布列为