2015年高三数学(理)一轮复习讲义：7.7立体几何中的向量方法(一)-证明平行与垂直(人教A版

1、第7讲立体几何中的向量方法(一)-证明平行与垂直最新考纲1理解直线的方向向量及平面的法向量2能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系3能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 知 识 梳 理1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.l1l2n1n2n1n2l1l2n

2、1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmmn0lnmnm平面，的法向量分别为n，m.nmnmnmnm0辨 析 感 悟1平行关系(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行()2垂直关系(3)已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是n0.()(4)(2014青岛质检改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直()感悟提升1一是切莫混淆向量平行

3、与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异，如(2)否则易造成解题不严谨2利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线ab，可证向量ab，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外等.学生用书第125页考点一利用空间向量证明平行问题【例1】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点求证：MN平面A1BD.审题路线若用向量证明线面平行，可转化为判定向量，或证明与平面A1BD的法向量垂直证明法一如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正

4、方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)于是，(1,0,1)，(1,1,0)设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)则n0，且n0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又n(1，1，1)0，n，又MN平面A1BD，MN平面A1BD.法二().，又MN与DA1不共线，MNDA1，又MN平面A1BD，A1D平面A1BD，MN平面A1BD.规律方法 (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量

5、共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算【训练1】 (2013浙江卷选编)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.证明：PQ平面BCD.证明如图所示，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)设点C的坐标为(x0，y0,0)，因为3，所以Q.因为点M为AD的中点，故M(0，1)又点P为BM的中点，故P，所以.又平面BCD的一个法向量

6、为a(0,0,1)，故a0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.考点二利用空间向量证明垂直问题【例2】 (2014济南质检)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.证明(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)于是(0,3,4)，(8,0,0)，(0,3,4)(8,0,0)0，所以，即APB

7、C.(2)由(1)知|AP|5，又|AM|3，且点M在线段AP上，又(8,0,0)，(4,5,0)，(4，5,0)，则(0,3,4)0，即APBM，又根据(1)的结论知APBC，AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BCM.规律方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可 【训练2】

8、如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.证明如图，建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)(1)取AB中点为N，则N(2,0,0)，又C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，.DENC，又NC在平面ABC内，故DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)，(2)22(2)(4)(2)0，则，B1FEF，(

9、2)222(4)00，即B1FAF.又AFEFF，B1F平面AEF.学生用书第126页 考点三利用空间向量解决探索性问题【例3】 (2014福州调研)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由审题路线由长方体特征，以A为坐标原点建立空间坐标系，从而将几何位置关系转化为向量运算第(1)问证明0，第(2)问是存在性问题，由与平面B1AE的法向量垂直，通过计算作出判定(1)证明以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设A

10、Ba，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，B1EAD1.(2)解假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)使得DP平面B1AE，此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.规律方法 立体几何开放性问题求解方法有以下两种：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论

11、；(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在本题是设出点P的坐标，借助向量运算，判定关于z0的方程是否有解【训练3】 如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD.(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由(1)证明连接BD，设AC交BD于O，则ACBD.由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图设底面边长为a

12、，则高SOa，于是S，D，B，C，于是，则0.故OCSD.从而ACSD.(2)解棱SC上存在一点E使BE平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，.设t，则t，由0t.当SEEC21时，.又BE不在平面PAC内，故BE平面PAC. 1用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想2两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的

13、几何意义解释相关问题3运用向量知识判定空间位置关系，仍然离不开几何定理如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外 思想方法8运用空间向量研究空间位置关系中的转化思想【典例】 (2013陕西卷)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.(1)证明：A1C平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小(1)证明法一由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图ABAA1，OAOBOA11，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，A

14、1(0,0,1)由，易得B1(1,1,1)(1,0，1)，(0，2,0)，(1,0,1)，0，0，A1CBD，A1CBB1，且BB1BDB，A1C平面BB1D1D.法二A1O平面ABCD，A1OBD.又底面ABCD是正方形，BDAC，BD平面A1OC，BDA1C.又OA1是AC的中垂线，A1AA1C，且AC2，AC2AAA1C2，AA1C是直角三角形，AA1A1C.又BB1AA1，A1CBB1，又BB1BDB，A1C平面BB1D1D.(2)解设平面OCB1的法向量n(x，y，z)(1,0,0)，(1,1,1)，取n(0,1，1)，由(1)知，(1,0，1)是平面BB1D1D的法向量，cos |

15、cos|.又0，.反思感悟 (1)转化化归是求解空间几何的基本思想方法：中将空间位置、数量关系坐标化和体现了线线垂直与线面垂直的转化，以及将线线垂直转化为向量的数量积为0.在与中主要实施线面、线线垂直的转化中把求“平面夹角的余弦值”转化为“两平面法向量夹角的余弦值”(2)空间向量将“空间位置关系”转化为“向量的运算”应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备【自主体验】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，ACBCBB1.求证：(1)BC1AB1

16、；(2)BC1平面CA1D.证明如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设ACBCBB12，则A(2,0,2)，B(0，2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1，1,2)(1)由于(0，2，2)，(2,2，2)，所以0440，因此，故BC1AB1.(2)连接A1C，取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，所以(0,1,1)，又(0，2，2)，所以，又ED和BC1不共线，所以EDBC1，又DE平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1平面CA1D.对应学生用书P321基础巩固题

17、组(建议用时：40分钟) 一、选择题1已知平面，的法向量分别为(2,3，5)，v(3，1，4)，则()A BC、相交但不垂直 D以上都不正确解析，与v不是共线向量，又v233(1)(5)4290，与v不垂直，平面与平面相交但不垂直答案C2若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内解析，共面则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内答案D3(2014泰安质检)已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)三点，向量n(1,1,1)，则以n为方向向量的直线l与平面ABC的关系是()A垂直 B不垂直C平行 D以上都有可能解析易知(1,1,0)，(

18、1,0,1)，n111100，n0，则n，n，即ABl，ACl，又AB与AC是平面ABC内两相交直线，l平面ABC.答案A4.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P为C1D1的中点，M为BC的中点则AM与PM的位置关系为()A平行 B异面C垂直 D以上都不对解析以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)(，2,0)(0,1，)(，1，)，(，2,0)(2，0,0)(，2,0)，(，1，)(，2,0)0，即，AM

19、PM.答案C5.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A(1,1,1) B.C. D.解析连接OE，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，AMEO，又O是正方形ABCD对角线交点，M为线段EF的中点在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(，1)由中点坐标公式，知点M的坐标.答案C二、填空题6已知平面和平面的法向量分别为a(1,1,2)，b(x，2，3)，且，则x_.解析，abx260，则x4.答案47已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，

20、1，1)则不重合的两个平面与的位置关系是_解析(0,1，1)，(1,0，1)，n0，n0，n，n，故n也是的一个法向量又与不重合，.答案平行8已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_解析0，0，ABAP，ADAP，则正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确由于(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误答案三、解答题9.如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面

21、EFG.证明平面PAD平面ABCD且ABCD为正方形，AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，设st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2.22，又与不共线，与共面PB平面EFG，PB平面EFG.10.如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面A

22、BCD成30的角(1)求证：CM平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PAD.证明以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30.PC2，BC2，PB4.D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，(1)设n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即令y2，得n(，2,1)n2010，n，又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)取AP的中点E，并连接BE，则E(，2,1)，(，2,1)，PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，则BEDA.PADAA.BE平面PAD，又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，