毕业设计（论文）MIMO无线通信系统容量的研究与仿真

1、目录中文摘要1abstract2第一章 绪论3引言31.1 mimo的概念31.2 无线mimo技术的研究现状41.2.1 已取得的进展41.2.2 尚存在的问题51.3 本论文的主要内容7第二章 mimo无线通信系统82.1 mimo技术的基本原理82.2 空时编码技术92.2.1 空时格状编码102.2.2 空时分组编码102.3 mimo系统容量112.3.1 mimo系统模型112.3.2 mimo系统容量推导13第三章 matlab简介19引言193.1 matlab语言的特点193.2 matlab的语言结构213.3 matlab的主要语法和操作符223.4 matlab操作的注

2、意事项24第四章 mimo系统容量仿真264.1 仿真操作步骤264.2 程序实现274.3 结果分析34第五章 总结36致 谢37参考文献38中文摘要无线通信系统为了达到高速率传输，近年来发展了发射端与接收端都使用多单元天线的架构，称之多输入多输出系统（mimo）。该技术能在不增加带宽的情况下成倍地提高通信系统的容量和频谱利用率，是新一代移动通信系统必须采用的关键技术。在第三代（3g）乃至三代以后（b3g）的移动通信系统中有着广阔的应用前景。本论文从mimo无线通信系统的基本概念入手，介绍了mimo系统发展的必要性，分析了它的结构和工作原理，然后从理论上推导了mimo系统容量的公式，最后应用

3、matlab软件对不同发射天线、不同接收天线、不同信噪比下的mimo系统容量进行计算机仿真。仿真结果正如预期所料。本文的重点是推导mimo系统容量公式并对它进行仿真验证。关键词：多输入多输出 信道模型 信道容量 发射天线 接收天线abstractrecent years, in order to achieve high data rate transmission, wireless communication systems developed architecture used multiple elements antennas at transmitting end and rece

4、iving end called mimo (multiple input multiple output).the technology can enhance the capacity and spectral efficiency of telecommunication systems without increasing bandwidth,which is a key telechology the next generation mobile telecommunication must be applied.and it has wider perspective in 3g

5、telecomunicatiom systems as well as b3g.this thesis begins with the notion of mimo wireless communication systems,introduces the necessity of the development of mimo systems,and its strcture and working principle was analyzed,then the formula of the channel capacity of mimo systems was inferred on t

6、he theory,at last applies matlab software to simulate this system in different transmitting antenna,different receiving antenna and different signal to noise ratio. experimental results are demonstrated.the key of this thesis is to infer the formula of the channel capacity of mimo systems and to ver

7、ify it.key words: mimo channel model channel capacity transmitting antenna receiving antenna第一章 绪论引言多输入多输出(multiple-input multiple-output)技术是无线移动通信领域智能天线技术的重大突破。该技术能在不增加带宽的情况下成倍地提高通信系统的容量和频谱利用率，是新一代移动通信系统必须采用的关键技术。实际上多输入多输出mimo技术由来已久，早在1908年马可尼就提出用它来抗衰落。在70年代有人提出将多入多出技术用于通信系统，但是对无线移动通信系统多入多出技术产生巨大推动

8、的奠基工作则是90年代由at&t bell实验室学者完成的。1995年teladar给出了在衰落情况下的mimo容量；1996年foshinia给出了一种多入多出处理算法对角-贝尔实验室分层空时(d-blast)算法；1998年tarokh等讨论了用于多入多出的空时码；1998年wolniansky等人采用垂直-贝尔实验室分层空时(v-blast)算法建立了一个mimo实验系统，在室内试验中达到了20bit/s/hz以上的频谱利用率，这一频谱利用率在普通系统中极难实现。这些工作受到各国学者的极大注意，并使得多入多出的研究到了迅速发展。1.1 mimo的概念多输入多输出（mimo）系统是在无线通

9、信智能天线技术的基础上发展起来的，其主要特点就是在通信系统的收发两端采用多天线配置，以解决未来移动通信系统大容量高速率传输和日益紧张的频谱资源间的矛盾.和智能天线技术不一样的是，在mimo系统中从任意一个发送天线到任意一个接收天线间的无线信道是相互独立的或者具有很小的相关性.通常，多径要引起衰落，因而被视为有害因素。然而研究结果表明，对于mimo系统来说，多径可以作为一个有利因素加以利用。mimo系统在发射端和接收端均采用多天线(或阵列天线)和多通道，mimo的多入多出是针对多径无线信道来说的。一句话，mimo(multiple-input multiple-output)系统就是利用多天线来

10、抑制信道衰落。根据收发两端天线数量，相对于普通的siso(single-input single-output)系统，mimo还可以包括simo(single-input multiple-output)系统和miso(multiple-input single-output)系统。1.2 mimo技术的研究现状1.2.1 已取得的进展无线mimo通信是一个崭新的、富有挑战性的研究领域。信息论预示了无线mimo系统具有潜在的巨大的信道容量，但在实际中是获得这个容量的全部还是部分以及为此需要花费多大代价等等，都值得我们仔细研究。因此，目前全世界有许多学术机构、大公司(主要分布在欧洲和北美国家)正

11、在对mimo技术展开更深入的研究，推动着这项技术日益朝实用化方向发展。最近itu和3gpp已着手制定在3g和b3g的移动通信中使用mimo技术的有关标准。对于3g，mimo及其相关的技术可以看成是用于提高数据流量、系统性能和频谱效率方面的有力补充，目前具有很强的吸引力。与此相关的技术包括自适应调制和编码、混合arq和快速蜂窝选择等。在蜂窝移动通信中，目前还没有商用化的mimo产品，在3g中，除了使用纯发射分集的解决方案(miso)外，也没有使用mimo技术。几年前，朗迅(lucent)通信技术公司已做过了mimo系统的早期实验，并于去年成功地测试了两款blast芯片，芯片的最高速度达到了19.

12、2mbps，而且blast研究小组最近取得了以前难以想象的无线频谱效率:20-40bps/hz，比较而言，使用传统的无线调制技术，对于蜂窝移动通信系统取得的频谱效率为:1-5bps/hz，对于点对点的微波通信系统取得的频谱效率为:10-12bps/hz，而且在30khz的带宽内，bell实验室在上述的频谱效率上实现了0.5mbps-1mbps的有效载荷数据速率。而使用传统的技术，在该带宽内取得的数据速率仅为50kbps。对于3gpp.表1-1给出了在平衰落条件下，2-4ghz频段、5mhz载波间隔，在移动通信的下行链路中，使用mimo技术所取得的峰值数据速率.表1-1.各种mimo结构的峰值数

13、据速率(m,n)tx技术码速调制方式速率/子数据流子数据流数量数据速率(1,1)传统3/464qam540kbps2010.8mbps(2,2)mimo3/416qam360kbps4014.4mbps(2,2)mimo3/4qpsk180kbps8014.4mbps(4,4)mimo1/28psk540kbps8021.6mbps上述内容只是目前无线mimo技术在应用研究方面己取得的一些进展的简单回顾，实际上可能远不止这些。1.2.2 尚存在的问题自从telatar和foschini在无线mimo系统中做出了开创性的工作以来，目前在蜂窝无线系统、固定接入系统方面，己提出了各种实验性的mimo

14、系统，尽管在这方面己取得了较大的进展，但是距离mimo技术大规模投入商用的时间，专家估计至少还要五年，因为还有许多实际问题需要解决，这些问题主要包括以下几个方面:(1) 天线的数量和间距天线的数量和各天线之间距离是mimo系统设计的关键参数，如果要实现mimo系统的高频谱效率，后者更为重要。在基站安装大量的天线，对周围的环境会造成一定的损害，因此天线的数量宜限制在中等的水平，例如4根，它们之间的距离一般选择为10个波长，这个距离稍微偏大，之所以要这样选择是因为基站一般安装在较高的位置，不能保证总是存在能使衰落去相关的本地散射体。如果使用双极化天线，在2ghz的频率上，10倍波长的间隔，4根天线

15、占据的空间约为1.5米。对于终端，选择半个波长的天线间距足以保证有相当数量的不相关衰落，因为终端一般处于本地散射物之间，而且不存在直接传播路径，终端天线的最大数量预计为4根，但是实际实现时，一般选择最小的数目:2根。据计算4根双极化天线要占据7.5cm的空间，这4根天线可以非常容易地嵌入诸如笔记本电脑的外壳中，然而对于蜂窝手机，即使是安装2根天线也成问题。因为手机目前的设计趋势是把天线嵌入到机壳中，目的是为了改进外观和增加产品的吸引力，这使得天线间距要求成为一个非常严重的问题。(2) 接收机的复杂性mimo接收机与单天线接收机相比，复杂性明显要增加，具体表现在: 由于多用户、多天线的存在，消除

16、空间干扰的空时合并器和信号检测器的设计变得异常复杂，例如(4,4)mimo系统与单天线接收机相比，复杂性要增加约2倍。 由于mimo接收机受周围环境的散射影响，存在角度扩展和延时扩展，在均衡和干扰对消方面需要增加一些附加的处理。 mimo信道估计也要导致复杂性的增加，因为整个信道矩阵的每一条路径延时(在ofdm中为每一个时隙)，都需要及时跟踪和更新，而不是只跟踪和更新单个系数。 额外的复杂性还来自增加的rf链(与rx天线的数目相等)和相应的基带运算单元，还有接收机的隔离算法等。对于蜂窝手机，电池的寿命长短也跟接收机的复杂性有关。(3) mimo信道模型mimo系统的性能，在很大的程度上跟所处环

17、境的多径信号的性质有关，特别要受各条路径之间的相关度、时延扩展和角度扩展的影响，因此，了解和掌握户内和户外环境中，无线mimo信道的特性，对实现潜在的巨大信道容量、取得预期的性能、选择合适的系统结构和设计优良的信号处理算法至关重要.为此除了一些必要的实际测量外，必须建立合适的信道模型，用于预测系统的性能和评估算法的优劣。为了适应无线信道的时变特性，不仅需要建立mimo信道的静态模型，还要建立特定的动态模型，因为提出新的和更具体的信道模型，可用于分析现有的传输算法是如何影响系统的性能的，同时为适应这些更具体的模型要求，是否能提出一些新的算法。传统的无线系统的传播模型已成为了标准5，不过到目前为止

18、，itu还未制定相应的mimo信道模型标准，3gpp已制定出了有关mimo的信道模型标准6.(4) 信道状态信息(csi)获取和利用如何准确地获取信道的状态信息并及时地反馈给发射机是mimo系统设计中一个值得深入研究的课题，信道容量实际上是信道特征模式的函数，mimo信道容量的实现将得益于知道信道状态信息的发射机，因为发射端可以利用信道的状态信息或部分反馈信息依据注水原理而不是平均分配发射功率。而且，如果己知信道的相关矩阵，还可以使信道编码、每一支流的比特分配和放大器的功率管理做到最佳。(5) 系统的集成和信号设计mimo系统需要与现有的非mimo通信网络集成、向后兼容，即未来的mimo接收机

19、应该是双模式的。为此，mimo的信号设计可以从特殊的无线资源控制(rrc)消息中，获得支持和帮助。例如，终端可以通过下行链路的广播信令来知道基站是否处在mimo模式，同时，基站也需要知道终端是处在mimo模式，还是非mimo模式，mimo通信链路可以在呼叫期间确立。另外，在非memo模式通信中，终端也需要给基站提供反馈信息，随时报告信道的质量情况，如果信道条件许可，基站便可安排mimo传输，这些下行和上行的rrc消息一般放在信令消息的第二层。除上述因素外，还有其他一些因素也会使mimo系统的性能退化，例如:不正确的信道估计、天线单元之间存在相关、较高的多普勒频移等。1.3 本论文的主要内容本论

20、文主要研究的是mimo无线通信系统的是容量问题。在弄清mimo系统的原理的基础上，简要的介绍了一下与mimo技术有关的空时编码技术。然后从理论上分析mimo系统的信道，推导mimo系统的容量公式。最后用matlab软件对mimo系统的容量进行计算机仿真，验证它的正确性。此外，由于本文在仿真的时候需要用到matlab软件，因此，我在对系统进行仿真之前，对在仿真中会用到的matlab知识也做了简单的介绍。第二章 mimo无线通信系统2.1 mimo技术的基本原理下图2-1所示为mimo系统的原理图。传输信息流s(k)经过空时编码形成n个信息子流ci(k)，i=1，n。这n个子流由n个天线发射出去，

21、经空间信道后由m个接收天线接收。多天线接收机利用先进的空时编码处理能够分开并解码这些数据子流，从而实现最佳的处理。图2-1 mimo系统的原理特别是，这n个子流同时发送到信道，各发射信号占用同一频带，因而并未增加带宽。若各发射接收天线间的通道响应独立，则多入多出系统可以创造多个并行空间信道。通过这些并行空间信道独立地传输信息，数据率必然可以提高。mimo将多径无线信道与发射、接收视为一个整体进行优化，从而实现高的通信容量和频谱利用率。这是一种近于最优的空域时域联合的分集和干扰对消处理。系统容量是表征通信系统的最重要标志之一，表示了通信系统最大传输率。对于发射天线数为n，接收天线数为m的多入多出

22、(mimo)系统，假定信道为独立的瑞利衰落信道，并设n、m很大，则信道容量c近似为：c=min(m,n)blog2(/2)其中b为信号带宽，为接收端平均信噪比，min(m,n)为m，n的较小者。上式表明，功率和带宽固定时，多入多出系统的最大容量或容量上限随最小天线数的增加而线性增加。而在同样条件下，在接收端或发射端采用多天线或天线阵列的普通智能天线系统，其容量仅随天线数的对数增加而增加。相对而言，多入多出对于提高无线通信系统的容量具有极大的潜力。可以看出，此时的信道容量随着天线数量的增大而线性增大。也就是说可以利用mimo信道成倍地提高无线信道容量，在不增加带宽和天线发送功率的情况下，频谱利用

23、率可以成倍地提高。利用mimo技术可以提高信道的容量，同时也可以提高信道的可靠性，降低误码率。目前mimo技术领域另一个研究热点就是空时编码。常见的空时码有空时块码、空时格码。空时码的主要思想是利用空间和时间上的编码实现一定的空间分集和时间分集，从而降低信道误码率。2.2 空时编码技术空间复用技术追求的是mimo系统中传输速率的最大化，它在不同的天线上传输的是承载信息不同的符号流。为了消除由于无线信道衰落和噪声干扰带来的性能影响，应该通过编码的方式，使不同天线上传输的符号包含的信息具有一定的关系，从而有利于原始的信息在接收端被正确地获取，也就是使系统传输信息中断概率最小，或等价于中断容量最大化

24、，这是空时编码研究的目的。在这种情况下多天线仅提供空间分集的作用，而信息传输的速率没有增加。空时码是一种基于多天线阵发送技术的编码方案，其将多天线技术和信道编码技术结合起来，同时获得空间分集和时间分集。贝尔实验室于1996年提出的分层空时码(lstc)模型是最早的空时编码方案。1998年，朗讯实验室的tarokh等人提出了一种基于编码调制技术的空时编码方案?网格空时码(sttc)，sttc不仅可获得较高的频带利用率，而且具有较好的抗衰落性能。sttc很快受到人们的重视，并在整个通信领域掀起了空时码的研究热潮。除了上述两种空时编码方案以外，另外一种较为简单的空时码是分组空时码(stbc)。以上3

25、种空时编码方案均假设接收端可以准确地估计信道。这一前提在某些情况下可以满足，但在移动终端高速移动的情况下，信道估计是十分困难的，因此不需要信道估计的盲空时编码方案便应运而出，其中包括酉空时码和差分空时码。空时编码技术利用多天线阵提供的并行信道传输信息，可以在保证性能的前提下进一步提高信息传输速率。目前，分组空时码和分层空时码已经被3gpp采用。sttc由于受种种原因限制还很难在实际系统中采用，为了实现sttc的应用，人们正致力于研究sttc在后3g和4g中的应用方案，并取得了一定的进展。下面我们来具体介绍一下空时格状编码(sttc)和空时分组编码(stbc)。2.2.1 空时格状编码at&t公

26、司的tarokh在空时延迟分集和格状码(tcm)的基础上联合考虑了编码与调制，提出了一种适用于无线衰落信道的编码方案?空时网格编码。经过编码后的数据被分成n个数据流，然后通过n个天线同时发送到无线空间。在接收端，可以用单一天线，也可用多个天线进行接收，每一个接收天线接收到的是n个发送信号与干扰噪声线性的叠加，然后通过最大似然检测的方法，正确地识别出发送信号。sttc的性能可以用成对差错率(pep)来衡量，pep为发送的码字矩阵c被接收机检测为另一个有效的码字矩阵e的概率。下面是sttc设计的两条准则：(1)衡量分集好处的秩准则：对于nt副天线的发送分集系统，矩阵a(c,e)满秩时将得到最大分集

27、好处nt?nr。(2)衡量编码好处的行列式准则：如果要设计nt?nr重分集，那么对所有不同的码字对c和e，设计时应尽可能使矩阵a(c,e)的行列式的最小值最大化。因此，在给定分集好处的情况下，可以通过增加格状图状态的方法来提高编码增益，但同时状态数的增加必然会导致编解码复杂度的提高。由此可见，这种编码方法的缺点是，译码复杂度将随着传输速率的增加而呈指数增加。2.2.2 空时分组编码为降低译码复杂度，alamouti提出了一种使用两副发送天线的传输方法。这种方法的译码复杂度要比空时网格编码简单得多。随后，tarokh在正交设计理论的基础上，把alamouti方案推广到多于两个天线的系统中，提出了

28、正交空时分组编码。空时分组编码运用正交设计获得两个优点：(1)在全分集时提供了最大的发送速率，而没有损失传送带宽(2)应用列之间的正交性，接收端可以利用简单的线性处理进行最大似然算法解码。正是由于其相对简单的译码算法和较好的性能，wcdma采用了空时分组编码技术。空时发射分集(sttd)技术即为基于发射分集的空时分组编码。2.3 mimo系统容量2.3.1 mimo系统模型假定一个点对点mimo系统有nt个发射天线、nr个接收天线。集中于用离散时间描述的复基带线性系统模型。系统框图如图3-1所示。用nt1列矩阵表示每个符号周期内的发射信号，其中第i个元素i表示第i根天线发射的信号。空时编码器空

29、时译码器x1r1x2r2xntrnr图2-2 mimo系统框图对于高斯信道，按照信息论，发射信号的最佳分布也是高斯分布。因此，元素是零均值独立同分布的高斯变量。发射信号的协方差矩阵为 (21)式中，代表均值；ah表示矩阵a的厄米特（hermitian）转置矩阵，即a的复共轭转置矩阵。不管发射天线nt为多少，总的发射功率限制为p，可表示为p=tr(rrx) (2-2)式中，tr(a)代表矩阵a的迹，可以通过对a的对角元素求和得到。如信道在发射端未知，则假定从各天线发射的信号都有相等的功率p/nt。发射信号的协方差矩阵为 (2-3)式中，int是ntnt的单位矩阵。由于发射信号的带宽足够窄，因此可

30、认为它的频率响应是平坦的。换句话说，假定信道是无记忆的。用nrnt的复矩阵h描述信道。hij表示矩阵h的第ij个元素，代表从第j根发射天线到第i根接收天线之间的信道衰落系数。为了规范，假定nr根接收天线中的每一根天线的接收功率等于总的发射功率。这种假定，实际忽略了信号传播过程中的信号衰减和放大，包括阴影、天线增益等。于是了有确定系数的信道矩阵h的元素的规范限定，如下式所示： （2-4）当信道矩阵元素为随机变量时，规范就是对上述表达式取期望值。假定已知接收端信道矩阵，但发射端不确定。那么可以通过在接收端发射测试序列来估计信道矩阵。再通过可靠的反馈信道将估计的信道状态信息（csi）发送到发射端。信

31、道矩阵h的元素可能是确定的，也可能是随机的。我们重点对与无线通信相关的示例进行分析，包括信道矩阵的瑞利（ray leigh）分布和赖斯（rician）分布。在多数情况下，假定它是瑞利分布，因为对于非视距(nlos)无线传播来说，它最具有代表性。可以用nr1的列矩阵描述接收端的噪声，表示为n。它的元素是统计独立的复零均值高斯变量，它具有独立的、方差相等的实部和虚部。接收噪声的协方差矩阵为 (25)如果n的元素之间没有相关性，则接收噪声的协方差矩阵为 （26）nr个接收分支中每一个都有相同的噪声功率。接收端基于最大似然准则，在nr根接收天线上进行联合操作。用nr1的列矩阵描述接收信号，表示为r，其

32、中每个复元素代表一根接收天线。pr表示每根接收天线输出端的平均功率。每根接收天线处的平均信噪比（snr）定义为 （27）假定每根天线的总接收功率都等于总发射功率，则snr等于总的发射功率和每根接收天线的噪声功率的比值，而且它独立于nt，可写为 （28）使用线性模型，可将接收矢量表示为r=hxn （29）接收信号的协方差矩阵定义为errh,利用式（2-9），则可以得出rrr=hrxxhh (210)而总接收信号功率可表示为tr(rrr)。2.3.2 mimo系统容量推导系统容量定义为在保证误码率任意小的条件下的最大发射速率。首先，假设信道矩阵在发射端为未知，在接收端为已知。由奇异值分解（svd）

33、理论，任何一个nrnt矩阵h可以写成h=udvh （211）式中，d是nrnt非负对角矩阵；u和v分别是 nrnr和 ntnt 的酉矩阵。则有uuh=inr和vvh=int，其中inr和int分别是nrnr和ntnt单位阵。d的对角元素是矩阵hhh的特征值的非负平方根。hhh的特征值（用表示）定义为hhhy=y, y0 （212）式中，y是与相对应的nr1维矢量，称为特征矢量。特征值的非负平方根也称为h的奇异值，而且u的列矢量是hhh的特征矢量，v的列矢量是hhh的特征矢量。把式（2-11）代入式（2-9），可以得到接收矢量rr=udvhxn （213）引入下列变换：r=uhrx=vhx (2

34、14)n=uhnu和v是可逆的。显然，式（2-14）中定义的矩阵r、x和n与相应矩阵的乘积仅有一个缩放比例的效果。矢量n是一个零均值高斯随机变量，其实部和虚部独立同分布。这样，前面讨论的信道与下式所描述的信道是等价的。r=dxn (215)矩阵hhh的非零特征值的数量等于矩阵h的秩，用r表示。对nrnt矩阵h,秩的最大值为m=min(nr,nt)，也就是说，至多有m个奇异值是非零的。用表示h的奇异值。将代入式（2-15），得到接收信号元素为 (216)式（2-16）显示，接收元素并不依赖于发射信号，即信道增益是零。另一方面，接收元素仅仅取决于发射元素xi。因此，可以认为，通过式（2-15）得到

35、的等效mimo信道是由r个去耦平行子信道组成的。为每个子信道分配的矩阵h的奇异值，相当于信道幅度增益。因此，信道功率增益等于矩阵hhh的特征值。例如，如果ntnr，由于h的秩不可能比nr高，那么式（2-16）显示了在等效的mimo信道中，最多有nr个非零增益子信道，如图2-3所示。x1 r1 x2 r2xnr rnr xnr+1 0xnt 0图2-3 ntnr时的等效mimo信道框图另一方面，如果nrnt，在等效的mimo信道中，最多有nt个非零增益子信道，如图2-4所示。特征值谱是对mimo信道的一种描述方式，适用于对最佳发射路径进行估计。x1 r1 x2 r2 xnt rnt o rnt+

36、1 o rnr 图2-4 nrnt时的等效mimo信道框图由式（2-14），可以导出信号r、x和n的协方差矩阵和它们的迹rrr=uhrrrurxx=vhrxxv （2-17）rnn=uhrnnutr(rrr)=tr(rrr)tr(rxx)=tr(rxx) (218)tr(rnn)=tr(rnn)以上关系显示，r、x和n的协方差矩阵有相等的对角元素和，从而有相等的功率；而对于原始信号和r、x和n,它们是各不相等的。考虑到式（2-16）所描述的等价mimo信道模型中，子信道是去耦的，因此其容量可以直接相加。假设在等效mimo信道中，每根天线的发射功率为p/nt，运用香农公式，可以估算出总的信道容量

37、（用c表示）为 （219）式中，w是每个子信道的带宽；pri是在第i个子信道中接收的信号功率，由下式给出： （220）式中，是信道矩阵h的奇异值。因此信道容量可以写成 （221）下面说明信道容量是如何与信道矩阵h相关的。假定m=min（nr，nt）,式（2-12）定义了特征值-特征矢量的关系，可重新写为 y0 （222）式中，q是威沙特（wishart）矩阵，定义为 （223）即当且仅当是奇异矩阵时，是q的一个特征值。因此的行列式必定为零，即 （224）通过查找式（2-24）的根，即可计算出信道矩阵的奇异值。式（2-24）左边的特征多项式p（）为 （225）其幂次为m，因为在的拉普拉斯最小项乘

38、积式中，的每一行对应的一次乘积项。由于复系数m次多项式刚好有m个零点，因此特征多项式可以写成 （226）式中，是特征多项式p（）的根，等于信道矩阵的奇异值。式（2-24）可以写作 （227）进而令式（2-24）和式（2-27）的左边相等 （228）用替换式（2-28）中的，得到 （229）由式（2-21）得到的容量公式，可以写成由于hhh和hhh的非零特征值相等，信道矩阵h和hh的信道容量也相等。如果信道系数是随机变量，则式（2-21）和式（2-30）表示的是瞬时容量交互信息量。可以通过对所有信道系数的实现取平均得到平均信道容量。第三章 matlab简介引言在科学研究和工程应用中，往往要进行大

39、量的数学计算，其中包括矩阵运算。这些运算一般来说难以用手工精确和快捷地进行，而要借助计算机编制相应的程序做近似计算。目前流行用basic、fortran和c语言编制计算程序,既需要对有关算法有深刻的了解，还需要熟练地掌握所用语言的语法及编程技巧。对多数科学工作者而言，同时具备这两方面技能有一定困难。通常，编制程序也是繁杂的，不仅消耗人力与物力,而且影响工作进程和效率。为克服上述困难，美国mathwork公司于1967年推出了“matrix laboratory”（缩写为matlab）软件包，并不断更新和扩充。目前最新的6.5版本（windows环境）是一种功能强、效率高便于进行科学和工程计算的

40、交互式软件包。其中包括：一般数值分析、矩阵运算、数字信号处理、建模和系统控制和优化等应用程序，并集应用程序和图形于一便于使用的集成环境中。在此环境下所解问题的matlab语言表述形式和其数学表达形式相同，不需要按传统的方法编程。不过，matlab作为一种新的计算机语言，要想运用自如，充分发挥它的威力，也需先系统地学习它。但由于使用matlab编程运算与人进行科学计算的思路和表达方式完全一致，所以不象学习其它高级语言-如basic、fortran和c等那样难于掌握。实践证明，你可在几十分钟的时间内学会matlab的基础知识，在短短几个小时的使用中就能初步掌握它.从而使你能够进行高效率和富有创造性

41、的计算。matlab大大降低了对使用者的数学基础和计算机语言知识的要求，而且编程效率和计算效率极高，还可在计算机上直接输出结果和精美的图形拷贝，所以它的确为一高效的科研助手。自推出后即风行美国，流传世界。3.1 matlab语言的特点1.编程效率高它是一种面向科学与工程计算的高级语言，允许用数学形式的语言编写程序，且比basic、fortran和c等语言更加接近我们书写计算公式的思维方式，用matlab编写程序犹如在演算纸上排列出公式与求解问题。因此，matlab语言也可通俗地称为演算纸式科学算法语言由于它编写简单，所以编程效率高，易学易懂。2.用户使用方便matlab语言是一种解释执行的语言

42、（在没被专门的工具编译之前），它灵活、方便，其调试程序手段丰富，调试速度快，需要学习时间少。人们用任何一种语言编写程序和调试程序一般都要经过四个步骤：编辑、编译、连接以及执行和调试。各个步骤之间是顺序关系，编程的过程就是在它们之间作瀑布型的循环。matlab语言与其它语言相比，较好地解决了上述问题，把编辑、编译、连接和执行融为一体。它能在同一画面上进行灵活操作快速排除输入程序中的书写错误、语法错误以至语意错误，从而加快了用户编写、修改和调试程序的速度，可以说在编程和调试过程中它是一种比vb还要简单的语言。具体地说，matlab运行时，如直接在命令行输入matlab语句（命令），包括调用m文件的

43、语句，每输入一条语句，就立即对其进行处理，完成绩译、连接和运行的全过程。又如，将matlab源程序编辑为m文件，由于mat1ab磁盘文件也是m文件，所以编辑后的源文件就可直接运行，而不需进行编译和连接。在运行m文件时，如果有错，计算机屏幕上会给出详细的出锗信息，用户经修改后再执行，直到正确为止。所以可以说，mat1ab语言不仅是一种语言，广义上讲是一种该语言开发系统，即语言调试系统。3.扩充能力强高版本的matlab语言有丰富的库函数，在进行复杂的数学运算时可以直接调用，而且matlab的库函数同用户文件在形成上一样，所以用户文件也可作为matlab的库函数来调用。因而，用户可以根据自己的需要

44、方便地建立和扩充新的库函数，以便提高matlab使用效率和扩充它的功能。另外，为了充分利用fortran、c等语言的资源，包括用户已编好的fortran，c语言程序，通过建立m调文件的形式，混合编程，方便地调用有关的fortran，c语言的子程序。4.语句简单，内涵丰富mat1ab语言中最基本最重要的成分是函数，其一般形式为a，6，c = fun（d，e，f，），即一个函数由函数名，输入变量d，e，f,和输出变量a，b，c组成，同一函数名f，不同数目的输入变量（包括无输入变量）及不同数目的输出变量，代表着不同的含义（有点像面向对象中的多态性。这不仅使matlab的库函数功能更丰富，而大大减少了

45、需要的磁盘空间，使得matlab编写的m文件简单、短小而高效。5.高效方便的矩阵和数组运算matlab语言象basic、fortran和c语言一样规定了矩阵的算术运算符、关系运算符、逻辑运算符、条件运算符及赋值运算符，而且这些运算符大部分可以毫无改变地照搬到数组间的运算，有些如算术运算符只要增加“”就可用于数组间的运算，另外，它不需定义数组的维数，并给出矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，使之在求解诸如信号处理、建模、系统识别、控制、优化等领域的问题时，显得大为简捷、高效、方便，这是其它高级语言所不能比拟的。在此基础上，高版本的matlab已逐步扩展到科学及工程计算的其它领域。因此，不久的将来，它

46、一定能名符其实地成为“万能演算纸式的”科学算法语言。6.方便的绘图功能matlab的绘图是十分方便的，它有一系列绘图函数（命令），例如线性坐标、对数坐标，半对数坐标及极坐标，均只需调用不同的绘图函数（命令），在图上标出图题、xy轴标注，格（栅）绘制也只需调用相应的命令，简单易行。另外，在调用绘图函数时调整自变量可绘出不变颜色的点、线、复线或多重线。这种为科学研究着想的设计是通用的编程语言所不及的。总之，matlab语言的设计思想可以说代表了当前计算机高级语言的发展方向。我们相信，在不断使用中，读者会发现它的巨大潜力。3.2 matlab的语言结构matlab有两个环境窗口，一个是命令窗口（co

47、mmand windows），即工作环境，一个是记事本窗口（notpad），主要用于创建和编辑函数文档。matlab的语言结构很简单，一般可以归结为：matlab语言结构=窗口命令+m文件在命令窗口输入的matlab语句称为窗口命令，用于调用并执行m文件。m文件的一般形式为：.m。如a1.m,pp.m等都是合法的m文件名。m文件有两种运行方式：一是在命令窗口直接写文件名，按enter键;二是在编辑窗口打开菜单tools，再单击run。m文件保存的路径一定要在搜索路径上,否则m文件不能运行。m文件在记事本窗口建立，扩展名为.m。m文件可以有很多个，它们可以互相调用，也可以调用自己。在功能上m文件

48、可分为两种类型：（1）文本文件。文本文件包含一系列matlab命令，当命令窗口调用它时，自动执行这些命令。文本文件的语句在工作空间中对全局变量进行运算。（2）函数文件。函数文件的第一行是以function开头的语句（文本文件没有这一行），其中至少有一个输入或输出参数，然后是一系列的matlab语句。函数文件中定义的变量都是局部变量，它们只在本函数内部起作用。3.3 matlab的主要语法和操作符1.变量matlab的变量区分字母的大小写，例如a和a是两个不同的变量。函数名必须用小写字母。但是用户也可以根据实际需要通过使用casesen命令使matlab对程序中的文本不区分字母的大小写。matl

49、ab的变量命名规则如下：（1） 变量名应以字母开头。（2） 变量名可以由字母、数字和下划线混合组成，但不能包括其他字符。（3） 组织变量名的字符长度应不大于31个。（4） matlab区分大小写。2.matlab的运算符(1)数学运算符：+（加号），-（减号），*（乘号）, （左除）, / (右除) , (乘幂)(2)关系运算符： (大于), = (大于等于), = =(等于), = (不等于)(3)逻辑运算符：&(逻辑与运算), |(逻辑或运算), (逻辑非运算)3.matlab的矩阵函数matlab提供了大量的函数来创建一些特殊的矩阵，表3-1给出matlab常用的矩阵函数。表3-1常用的

50、矩阵函数函数名称函数功能函数名称函数功能zero(m,n)m行n列的零矩阵eig(a)求矩阵a的特征值eye(n)n阶单位矩阵poly(a)求矩阵a的特征多项式ones(m,n)m行n列的元素为1的矩阵trace(a)求矩阵a的迹rand(m,n)m行n列的随机矩阵cond(a)求矩阵a的条件数randn(m,n)m行n列的正态随机矩阵rref(a)求矩阵a的行最简形magic(n)n阶魔方矩阵inv(a)求矩阵a的逆矩阵hess(a)hess矩阵det(a)求矩阵a的行列式sqrtm(a)求矩阵a的平方根expm(a)求矩阵a的指数值funm(a)按矩阵计算的函数值logm(a)求矩阵a的对

51、数值rank(a)求矩阵a的秩morm(a,1)求矩阵a的范数4.矩阵的运算a+b: 矩阵加法a-b: 矩阵减法a*b: 矩阵乘法ab: 矩阵的左除a/b: 矩阵的右除 transpose(a)或a：a的转置：数k乘以adet(a)： a的行列式：rank(a)：a的秩5.操作符“：”的说明j:k 表示步长为1的等差数列构成的数组：j, j+1, j+2, kj:i:k 表示步长为i的等差数列构成的数组：j,j+i,j+2*i, ka(i:j) 表示a(i)，a(i+1)，a(j)6.for循环语句for循环语句的格式为： for i=表达式可执行语句1可执行语句n end说明：（1）表达式是

52、一个向量，可以是m:n，m:s:n，也可以是字符串、字符串矩阵等。(2) for循环的循环体中，可以多次嵌套for和其它的结构体。7matlab绘图plot(x,y)命令可以用来画通常的函数f(x)图形, 此时向量x常用命令x=a:h:b的形式获得f(x)函数在绘图区间a,b上的自变量点向量数据,对应的函数向量值取为y=f(x)。步长h可以任意选取，一般,步长越小,曲线越光滑,但是步长太小,会增加计算量,运算速度要降低。3.4 matlab操作的注意事项1在matlab工作区输入matlab命令后,还须按下enter键,matlab才能执行你输入的matlab命令,否则matlab不执行你的命令。2matlab是区分字母大小写的。3一般，每输入一个命令并按下enter键, 计算机就会显示此次输入的执行结果。如果用户不想计算机显示此次输入的结果，只要在所输入命令的后